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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Mi 08.08.2012 | | Autor: | Voodooko |
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich habe folgendes Problem.
Ich habe die Zahlen 53,64,58,45,39,41. Die Zahlen können in jeder beliebigen Reihenfolge auftreten. Startwert liegt bei 0 und der Nullpunkt liegt bei 50. Beispiel: Wenn die Zahl 53 kommt, werden auf meinen Startwert 3 Punkte draufaddiert, wenn die Zahl 45 kommt werden 5 Punkte wieder abgezogen. Der Grenzwert liegt bei 70.
Wenn ich 1000 Zahlen aus der obigen Reihe zufällig ziehe. Wie kann ich dann die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass mein Grenzwert überschritten wird?
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Hallo,
> Ich habe die Zahlen 53,64,58,45,39,41. Die Zahlen können
> in jeder beliebigen Reihenfolge auftreten. Startwert liegt
> bei 0 und der Nullpunkt liegt bei 50. Beispiel: Wenn die
> Zahl 53 kommt, werden auf meinen Startwert 3 Punkte
> draufaddiert, wenn die Zahl 45 kommt werden 5 Punkte wieder
> abgezogen. Der Grenzwert liegt bei 70.
>
> Wenn ich 1000 Zahlen aus der obigen Reihe zufällig ziehe.
> Wie kann ich dann die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass
> mein Grenzwert überschritten wird?
Das solltest du näher erläutern. Werden die 1000 Zahlen in jedem Fall gezogen oder wird abgebrochen, wenn die 70 einmal erreicht ist?
Ich halte die Aufgabe für schwierig, es ist ja eigentlich eine Art Random-Walk. Sagt dir das etwas?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Mi 08.08.2012 | | Autor: | Voodooko |
Die zufällige Reihenfolge aus 1000 Zahlen wird in jedem Fall gezogen. Merke auch gerade, dass meine Frage etwas schwammig war. Also mein Variabler Wert schwankt immer zwischen -20 (unterster Wert) und +20 und wird wenn er die 20 Überschreitet wieder auf 0 gesetzt und das ganze geht dann wieder von vorne los. Die 70 als Grenzwert war etwas verwirrend als Angabe.
Also andere Frage: Kann man bestimmen, wie oft diese 20 im durchschnitt überschritten werden?
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Hallo Voodooko,
wie muss man sich das Zurücksetzen vorstellen? Und geschieht es beim Überschreiten der Grenze (also Erreichen einer Zahl [mm] \ge21 [/mm] bzw. [mm] $\le-21$) [/mm] oder schon, wenn der Absolutbetrag 20 ist, also beim Erreichen der Grenze?
Und wenn die Bedingung z.B. im 297. Zug erreicht ist, dann wird also auf Null gesetzt, dann folgt der 298. Zug?
Ich würde die Aufgabe vor allem erst einmal darauf reduzieren, dass die zu ziehenden Zahlen 3,14,8,-5,-11,-9 sind (und sie vielleicht noch ordnen, obwohl das nicht wichtig ist), also den Nullpunkt 50 mit verrechnen. Ihre Summe ist Null, das ist schonmal ein guter Ausgangspunkt.
Der Grenzwert ist dann also [mm] \pm20 [/mm] ?
Trotzdem wird es nicht einfach werden, eine Wahrscheinlichkeit für die Häufigkeit des Erfüllens Grenzbedingung zu bestimmen. Einen Baum kann man nicht komplett durch"zählen" - bei [mm] 6^{1000} [/mm] Wegen sind es einfach zuviele.
Ich würde für verschiedene Startwerte die Wahrscheinlichkeiten bestimmen - a) dass sie erreicht werden (dieser Teil ist schwierig) und b) dass im nächsten Zug die Grenzbedingung erreicht bzw. nicht erreicht wird.
Aber erst einmal möchte ich die Aufgabe vollständig verstehen. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Mi 08.08.2012 | | Autor: | Voodooko |
Hey,
ich versuch es nochmal verständlicher zu machen, ist etwas blöd zu erklären.
Also ich habe wie gesagt 1000 Zahlen, die ich aus gegebenen Zahlen ziehe. Nehmen wir an das sind die zahlen 3,14,8,-5,-11,-9 (Eigentlich sind es 14 Zahlen ich dachte ich mach es mal einfacher^^)
Als Beispiel mal der Verlauf des variablen Wertes: Zahl 1 (Variable 3) - Zahl 2 (Variable 17) - Zahl 6 (Variable 8) - Zahl 2 (Variable 0) - Zahl 5 (Variable -11) - Zahl 5 (Variable -20) - Zahl 4 (Variable -20) -Zahl 2 (Variable -6 ) etc.
Also unter den Wert -20 kann das Ganze nicht gehen, dann bleibt der Wert bei -20 und sobald er überschritten wird, wird er sofort auf 0 Gesetzt.
Die 100 Zahlen stehen übrigend fest, die Rechnung wird unabhängig davon gemacht
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Hallo nochmal,
wir kommen der Sache näher...
> ich versuch es nochmal verständlicher zu machen, ist etwas
> blöd zu erklären.
>
> Also ich habe wie gesagt 1000 Zahlen, die ich aus gegebenen
> Zahlen ziehe. Nehmen wir an das sind die zahlen
> 3,14,8,-5,-11,-9 (Eigentlich sind es 14 Zahlen ich dachte
> ich mach es mal einfacher^^)
Vereinfachung ist vielleicht erstmal gut.
> Als Beispiel mal der Verlauf des variablen Wertes: Zahl 1
> (Variable 3) - Zahl 2 (Variable 17) - Zahl 6 (Variable 8) -
> Zahl 2 (Variable 0) - Zahl 5 (Variable -11) - Zahl 5
> (Variable -20) - Zahl 4 (Variable -20) -Zahl 2 (Variable -6
> ) etc.
Ok. Es gibt also eine Variable, die vor dem ersten Zug 0 ist. Dann wird eine der Zahlen gezogen und zu dieser Variablen addiert (was bei einer negativen Zahl dann einer Subtraktion entspricht). Nennen wir die Variable einfach x.
Das Ergebnis ist aber noch nicht unbedingt das Endergebnis in diesem Schritt, denn:
1) Ist x<-20, wird x=-20 gesetzt. x kann also nicht kleiner werden als -20, wird aber auf dieser Seite auch nicht zurück auf 0 gesetzt. Ok?
2) Ist x>20, wird x=0 gesetzt. x=20 ist also möglich, aber größer kann x nicht werden. Auch ok?
Und wenn ich die Anfangsfrage richtig verstehe, willst Du jetzt wissen, wie häufig x voraussichtlich bei 1000 Ziehungen auf 0 zurückgesetzt wird, richtig?
Gib übrigens doch mal Deine 14 Zahlen an, vielleicht können wir dann doch gleich an der richtigen Lösung arbeiten.
***
Ich würde jetzt so vorgehen:
Mit einem kleinen Programm bestimmt man, wie hoch die Wahrscheinlichkeiten für die Werte -20 bis +20 nach einem Zug ist. Gegeben sind dabei für all diese Werte Ausgangswahrscheinlichkeiten, die also vor dem Zug vorliegen. Im ersten Zug hat der Wert 0 die Wahrscheinlichkeit 1, alle anderen Werte die Wahrscheinlichkeit 0.
Nach dem ersten Zug haben die 14 möglichen Werte alle die Wahrscheinlichkeit [mm] \tfrac{1}{14}. [/mm] Danach wird es komplizierter.
Wichtig ist, alle möglichen neuen Variablenwerte mit der Grenzbedingung zu betrachten, d.h. also alle neuen Werte <-20 mit zum Wert -20 zu zählen und alle neuen Werte >20 zum Wert 0 zu zählen.
In den ersten paar Ziehungen verändern sich nun die Wahrscheinlichkeiten sicher noch ziemlich hin und her, aber ich vermute sehr, dass schon nach weniger als 50 Schritten (eher sogar 25) so gut wie keine Änderung mehr eintritt.
Von diesem Ergebnis aus kann man nun leicht bestimmen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Überlauf erreicht wird. Diese Wahrscheinlichkeit ist auch die, die im 51. bis 1000. Zug (oder schon ab dem 26.) gilt, und sie wird als Näherung sogar für die ersten Züge reichen.
Je genauer Du durch Einzelbetrachtung die ersten Züge bestimmst, umso genauer wird Dein Endergebnis sein. So kann ja im ersten Zug z.B. kein Überlauf geschehen.
Grüße
reverend
> Also unter den Wert -20 kann das Ganze nicht gehen, dann
> bleibt der Wert bei -20 und sobald er überschritten wird,
> wird er sofort auf 0 Gesetzt.
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> Die 100 Zahlen stehen übrigend fest, die Rechnung wird
> unabhängig davon gemacht
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