Wahrscheinlichkeitsdichte < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien [mm] f_c:\IR \to \IR [/mm] def durch [mm] f_c(t)=\left\{\begin{matrix}
c*sin^2(t), & \mbox{t element }0\mbox{bis pi} \\
0, & \mbox{sonst }\mbox{}
\end{matrix}\right.
[/mm]
und [mm] c\in\IR
[/mm]
i) Zeigen Sie, dass [mm] f_c(t) [/mm] eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
ii) Sei X eine Zufallsvariable mit Dichte [mm] f_\frac{\pi}{2} [/mm] (pi halbe, scheint bisschen klein zu sein). Gesucht ist die Dichte von [mm] Y=X-\frac{\pi}{2} [/mm] |
Guten Abend, zu i) habe ich keine Frage da habe ich [mm] c=\frac{2}{\pi}, f_c [/mm] ist messbar daraus folgt die Stetigkeit. und dass [mm] f_c [/mm] halt nicht negativ ist.
bei ii) bin ich mir nicht sicher... und komme auch nicht weiter..
Es gilt: [mm] F_y(t)=P(Y \le [/mm] t) = P(X [mm] \le t+\frac{\pi}{2}) [/mm] =
[mm] F_X(t+\frac{\pi}{2}) =\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{t<-pi/2 }\mbox{} \\
Integral von f_\frac{2}{\pi}, & \mbox{ t+pi/2 }\mbox{ element 0 bis pi} \\
1, & \mbox{t>pi/2}\mbox{}
\end{matrix}\right.
[/mm]
nun kommt mein Problem:
In der Mitte müsste ja das Integral noch rein.
[mm] \integral \frac{2}{\pi}sin^2(t+\frac{\pi}{2})\, [/mm] dt
[mm] sin^2(t+\frac{\pi}{2})=cos^2(t)
[/mm]
also ist das Integral [mm] \frac{2cos^2(t)}{\pi} [/mm] wäre das erstmal bis hierhin richtig?
Wenn ja dann setze ich die Lösung des Integrals oben noch ein. Dann gilt, dass [mm] F_Y [/mm] stetig ist und stückweise diffbar.
Was mache ich danach wenn es jetzt bis hierhin richtig ist?
oder ist schon was falsches dabei ^^
PS: Bei dieser Aufgabe hatte ich schwierigkeiten bei der Latex-Schreibweise ich hoffe ihr nimmt mir es nicht übel habe fast 35min dafür gebraucht ^^
|
|
| |
|
Schon die Formulierung von i) stimmt mich bedenklich. Nicht für jedes [mm]c[/mm] liegt eine Wahrscheinlichkeitsdichte vor. Du selber hast die Aufgabe ja auch anders aufgefaßt, nämlich [mm]c[/mm] so zu bestimmen, daß [mm]f_c[/mm] eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
Das geht bei ii) gerade so weiter: Für [mm]c = \frac{\pi}{2}[/mm] haben wir es nicht mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte zu tun.
Überprüfe deine Angaben.
|
|
|
| |
|
Hallo,
(Ich habe die frage falsch aufgeschrieben, ich soll c so bestimmen dass es eine W-keitdichte ist) ja gestern war es spät ^^
ich habe für [mm] c=\frac{2}{\pi} [/mm] und nicht umgekehrt. [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] kommt nur bei aufgabenteil ii) vor.
einzelne Schritte:
c [mm] \integral_{0}^{\pi} sin^2(t)\, [/mm] dt = [mm] c*\frac{\pi}{2}=1 [/mm] und das ist gleich [mm] c=\frac{2}{\pi}. [/mm] Das müsste doch richtig sein?? oder
da für alle c [mm] \ge [/mm] 0 gilt, ist auch [mm] f_c \ge [/mm] 0 (also nur positiv)
[mm] f_c [/mm] ist messbar, da stetig für alle [mm] c\in\IR
[/mm]
bei ii) habe ich [mm] Y=X-\frac{\pi}{2} [/mm] gegeben. und da wird es schwer für mich..
|
|
|
| |
|
Hallo,
> (Ich habe die frage falsch aufgeschrieben, ich soll c so
> bestimmen dass es eine W-keitdichte ist) ja gestern war es
> spät ^^
>
> ich habe für [mm]c=\frac{2}{\pi}[/mm] und nicht umgekehrt.
> [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] kommt nur bei aufgabenteil ii) vor.
>
> einzelne Schritte:
>
> c [mm]\integral_{0}^{\pi} sin^2(t)\,[/mm] dt = [mm]c*\frac{\pi}{2}=1[/mm] und
> das ist gleich [mm]c=\frac{2}{\pi}.[/mm] Das müsste doch richtig
> sein?? oder
Ja, das ist richtig.
> da für alle c [mm]\ge[/mm] 0 gilt, ist auch [mm]f_c \ge[/mm] 0 (also nur
> positiv)
>
> [mm]f_c[/mm] ist messbar, da stetig für alle [mm]c\in\IR[/mm]
>
> bei ii) habe ich [mm]Y=X-\frac{\pi}{2}[/mm] gegeben. und da wird es
> schwer für mich..
Das hast du doch im Startbeitrag auch richtig gelöst (ich denke, Leopold_Gast hat das ja nur wegen der zunächst falschen Aufgabenstellung angezweifelt). Also ich sehe die Aufgabe (mit der jetzt korrekten Aufgabenstellung) als komplett und richtig gelöst an.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo und danke nochmal.
Aufgabenteil ii) war ja noch nicht fertig oder?
Da komme ich ja nicht weiter, oder ist das auch schon vollständig?
LG
|
|
|
| |
|
Hallo,
doch, auch mit der ii) bist du fertig, was sollte denn noch fehlen?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Fr 27.01.2017 | | Autor: | Omega91 |
Hallo,
die Dichte ist gesucht - bei ii) hat er mal die Verteilungsfunktion angeschrieben.
Lg
|
|
|
| |
|
Also muss ich noch was machen?
Ich habe die Verteilungsfunktion aufgeschrieben gesucht ist die Dichte.
müsste ich dann einfach nur $ [mm] \frac{2cos^2(t)}{\pi} [/mm] $ ableiten? Um von meine Verteilung auf die Dichte zu kommen?
Wenn ich es ableite komme ich auf.
[mm] $-\frac{4*sin(t)cos(t)}{\pi}$
[/mm]
bin jetzt verwirrt ^^
|
|
|
| |
|
Hallo,
sorry für das Missverständnis. Aber der Rest ist doch einfach: die Ableitung eines Integrals ist der Integrand. Oder kurz: du musst noch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung beachten.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
