Wahrscheinlichkeitsdichte < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:44 Fr 30.11.2007 | | Autor: | kittie |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo zusammen,
hoffe ihr könnt mir heirbei helfen, komme mit dieser Aufgabe leider garnicht zurecht.
Ich muss die Funktion doch nach Fubini integrieren und schauen wie ich das c zu bestimmen habe, sodass das Integral gerade mal 1 ergibt, oder??
Aber irgendwie schaffe ich das nicht, weil ich nicht weiß wie ich mit der Funktion umgehen soll (mit der Indiekatorfunktion in der Funktion).
Kann/Muss man das umschreiben oder wie mach ich das??
zu den anderen Teilaufgaben habe ich mir jetzt erstmal noch nicht viel Gedanken gemacht.
Man muss ja erstmal vorne anfangen!
Also ich wäre um schnellstmögliche Hilfe wirklich sehr dankbar!
viele Grüße, die kittie
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Fr 30.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo kittie,
bezeichne [mm] $\varphi$ [/mm] die Dichte der Standardnormalverteilung. Im folgenden
mache ich wiederholt Gebrauch von Gleichungen wie
[mm] $\int_0^\infty\exp[-x^2/2]\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$.
[/mm]
Dies folgt aus
[mm] $\int_{0}^\infty\exp[-x^2/2]\,dx=\sqrt{2\pi}\int_{0}^\infty\varphi(x)\,dx=\sqrt{\pi/2}$.
[/mm]
Es gilt $f(x,y)>0$ in genau zwei Teilmengen des [mm] $\IR^2$, [/mm] naemlich in
[mm] $I=\{(x,y)\mid x>0,y>0\}$ [/mm] und in [mm] $III=\{(x,y)\mid x<0,y<0\}$. [/mm] In der
ersten Teilmenge ist
[mm] $F_I=c\int_{0}^\infty\int_{0}^\infty\exp[-(x^2+y^2)/2]\,dx\,dy= c\int_{0}^\infty\exp[-y^2/2]\,dy\int_{0}^\infty\exp[-x^2/2]\,dx=c \pi/2 [/mm] $
Analog ist fuer die zweite Teilmenge
[mm] $F_{III}=c\int_{-\infty}^0\int_{-\infty}^0\exp[-(x^2+y^2)/2]\,dx\,dy=c\pi/2$
[/mm]
Aus [mm] $1=F_I+F_{III}=c\pi$ [/mm] folgt [mm] $c=1/\pi$.
[/mm]
Bezeichnen wir nun die Randdichte von $Y$ mit $g$. Dann ist
[mm] $g(y)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,dx =\int_{-\infty}^0 f(x,y)\,dx+\int_{0}^\infty f(x,y)\,dx$
[/mm]
Fuer [mm] $y\le [/mm] 0$ ist $f(x,y)=0$ fuer [mm] $x\ge0$, [/mm] so dass der zweite Summand
verschwindet. Es ist dann
[mm] \begin{matrix}
g(y)&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^0\exp[-(x^2+y^2)/2]\,dx\\
&=&\frac{1}{\pi}\exp[-y^2/2]\int_{-\infty}^0\exp[-x^2/2]\,dx \\
&=&\frac{1}{\pi}\exp[-y^2/2]\times\sqrt{\frac{\pi}{2}} \\
&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp[-y^2/2] \\
&=&\varphi(y)
\end{matrix} [/mm]
Fuer $y>0$ ist $f(x,y)=0$ fuer [mm] $x\le0$, [/mm] so dass der erste Summand
verschwindet. Es ist auch dann [mm] $g(y)=\varphi(y)$.
[/mm]
Damit ist der zweite Teil der Aufgabe geloest.
Der dritte Teil ist einfach: Da $X$ und $Y$ beide standardnormalverteilt
ist, muesste bei Unabhaengikeit gelten [mm] $f(x,y)=\varphi(x)\varphi(y)$ [/mm] fuer alle
$x,y$. Es ist jedoch [mm] $f(-1,1)=0<\varphi(-1)\varphi(+1)$.
[/mm]
lg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Fr 30.11.2007 | | Autor: | kittie |
hallo luis,
erstmal vielen lieben Dank für deine ausführliche Hilfe.
Habe aber leider noch ein paar fragen:
> bezeichne [mm]\varphi[/mm] die Dichte der Standardnormalverteilung.
> Im folgenden
> mache ich wiederholt Gebrauch von Gleichungen wie
>
> [mm]\int_0^\infty\exp[-x^2/2]\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}[/mm].
>
> Dies folgt aus
> [mm]\int_{0}^\infty\exp[-x^2/2]\,dx=\sqrt{2\pi}\int_{0}^\infty\varphi(x)\,dx=\sqrt{\pi/2}[/mm].
>
diesen Schritt verstehe ich noch nicht ganz. Die Dichtefunktion hat doch die Eigenschaft, dass ihr Integral 1 ist. Aber müsste dann nicht [mm] \wurzel{2\pi} [/mm] rauskommen??
>
> Es gilt [mm]f(x,y)>0[/mm] in genau zwei Teilmengen des [mm]\IR^2[/mm],
> naemlich in
> [mm]I=\{(x,y)\mid x>0,y>0\}[/mm] und in [mm]III=\{(x,y)\mid x<0,y<0\}[/mm].
> In der
> ersten Teilmenge ist
>
> [mm]F_I=c\int_{0}^\infty\int_{0}^\infty\exp[-(x^2+y^2)/2]\,dx\,dy= c\int_{0}^\infty\exp[-y^2/2]\,dy\int_{0}^\infty\exp[-x^2/2]\,dx=c \pi/2[/mm]
>
>
> Analog ist fuer die zweite Teilmenge
>
>
>
> [mm]F_{III}=c\int_{-\infty}^0\int_{-\infty}^0\exp[-(x^2+y^2)/2]\,dx\,dy=c\pi/2[/mm]
>
> Aus [mm]1=F_I+F_{III}=c\pi[/mm] folgt [mm]c=1/\pi[/mm].
Habe ich alles soweit verstanden, aber ist die Indikatorfunktion nicht genau andersrum definiert, nämlich, 1 für xy<0, und 0 sont.???
> Bezeichnen wir nun die Randdichte von [mm]Y[/mm] mit [mm]g[/mm]. Dann ist
>
>
> [mm]g(y)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,dx =\int_{-\infty}^0 f(x,y)\,dx+\int_{0}^\infty f(x,y)\,dx[/mm]
>
> Fuer [mm]y\le 0[/mm] ist [mm]f(x,y)=0[/mm] fuer [mm]x\ge0[/mm], so dass der zweite
> Summand
> verschwindet. Es ist dann
>
> [mm]\begin{matrix}
g(y)&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^0\exp[-(x^2+y^2)/2]\,dx\\
&=&\frac{1}{\pi}\exp[-y^2/2]\int_{-\infty}^0\exp[-x^2/2]\,dx \\
&=&\frac{1}{\pi}\exp[-y^2/2]\times\sqrt{\frac{\pi}{2}} \\
&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp[-y^2/2] \\
&=&\varphi(y)
\end{matrix}[/mm]
>
>
> Fuer [mm]y>0[/mm] ist [mm]f(x,y)=0[/mm] fuer [mm]x\le0[/mm], so dass der erste
> Summand
> verschwindet. Es ist auch dann [mm]g(y)=\varphi(y)[/mm].
>
> Damit ist der zweite Teil der Aufgabe geloest.
>
> Der dritte Teil ist einfach: Da [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] beide
> standardnormalverteilt
> ist, muesste bei Unabhaengikeit gelten
> [mm]f(x,y)=\varphi(x)\varphi(y)[/mm] fuer alle
> [mm]x,y[/mm]. Es ist jedoch [mm]f(-1,1)=0<\varphi(-1)\varphi(+1)[/mm].
das ist alles klar, frage ist nur ob du die indikatorfunktion falsch gelesen hast?Oder mache ich hier irgendwas total falsch??
Hoffe du meldest dich nochmal!
liebe grüße, kittie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Fr 30.11.2007 | | Autor: | luis52 |
> hallo luis,
>
> erstmal vielen lieben Dank für deine ausführliche Hilfe.
>
> Habe aber leider noch ein paar fragen:
>
> > bezeichne [mm]\varphi[/mm] die Dichte der Standardnormalverteilung.
> > Im folgenden
> > mache ich wiederholt Gebrauch von Gleichungen wie
> >
> > [mm]\int_0^\infty\exp[-x^2/2]\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}[/mm].
> >
> > Dies folgt aus
>
> >
> [mm]\int_{0}^\infty\exp[-x^2/2]\,dx=\sqrt{2\pi}\int_{0}^\infty\varphi(x)\,dx=\sqrt{\pi/2}[/mm].
> >
>
> diesen Schritt verstehe ich noch nicht ganz. Die
> Dichtefunktion hat doch die Eigenschaft, dass ihr Integral
> 1 ist. Aber müsste dann nicht [mm]\wurzel{2\pi}[/mm] rauskommen??
Das Integral ist 1, wenn du auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] integrierst. Dieses Integral
spielt sich aber auf [mm] $(0,+\infty)$ [/mm] ab und [mm] $\phi$ [/mm] ist symmetrische um Null.
Deswegen ist es die Haelfte von 1, also 1/2.
> >
> > Es gilt [mm]f(x,y)>0[/mm] in genau zwei Teilmengen des [mm]\IR^2[/mm],
> > naemlich in
> > [mm]I=\{(x,y)\mid x>0,y>0\}[/mm] und in [mm]III=\{(x,y)\mid x<0,y<0\}[/mm].
> > In der
> > ersten Teilmenge ist
> >
> >
> [mm]F_I=c\int_{0}^\infty\int_{0}^\infty\exp[-(x^2+y^2)/2]\,dx\,dy= c\int_{0}^\infty\exp[-y^2/2]\,dy\int_{0}^\infty\exp[-x^2/2]\,dx=c \pi/2[/mm]
>
> >
> >
> > Analog ist fuer die zweite Teilmenge
> >
> >
> >
> >
> [mm]F_{III}=c\int_{-\infty}^0\int_{-\infty}^0\exp[-(x^2+y^2)/2]\,dx\,dy=c\pi/2[/mm]
> >
> > Aus [mm]1=F_I+F_{III}=c\pi[/mm] folgt [mm]c=1/\pi[/mm].
>
> Habe ich alles soweit verstanden, aber ist die
> Indikatorfunktion nicht genau andersrum definiert, nämlich,
> 1 für xy<0, und 0 sont.???
>
Wie peinlich! ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") Ich koennte jetzt behaupten, ich wollte dir
einen didaktischen Knochen hinwerfen...  Stimmt aber nicht, ich hab's
falsch angepackt. Bin eben immer fuers Positive.
Aber irgendwie ist das alles symmetrisch, und ich denke,
du kannst das nun korrekt aufschreiben...
lg Luis
|
|
|
|
