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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 So 16.11.2014 | | Autor: | Arthaire |
| Aufgabe | Das Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf [mm] \mathcal{B} [/mm] sei gegeben durch
Q(B) = [mm] \integral_{B}{f(x) dx}, [/mm] B Intervall,
wobei mit a > 0, b > 0
[mm] f(x)=\begin{cases} ae^{bx}, & \mbox{für} x<0, \\ a-\bruch{a}{b}x, & \mbox{für } 0\le x \le b, \\ 0, & \mbox{für} x>b. \end{cases} [/mm]
a) Welcher Zusammenhang muss zwischen a und b bestehen?
Hinweis: Man beachte [mm] Q(\IR) [/mm] = 1.
b) Für die zu Q zugehörige Verteilungsfunktion F: [mm] \IR \to \IR. [/mm] definiert durch
F(x) := [mm] Q((-\infty,x]), [/mm] x [mm] \in \IR,
[/mm]
gebe man eine integralfreie Darstellung an.
c) Für den spezielen Fall b = 0,025 berechne man Q((-30,]80]). |
Hallo zusammen. Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.
a) Hier fehlt mir ein passender Ansatz. Ich habe versucht, [mm] ae^{bx} [/mm] und [mm] a-\bruch{a}{b} [/mm] in irgendeiner Form gleichzusetzen oder anders zu verknüpfen, aber das ist mir nicht gelungen. Gibt es einen Zusammenhang, vielleicht mit dem Hinweis in der Aufgabenstellung, den ich übersehen habe?
b) Handelt es sich hier nicht um eine diskrete Verteilung, bei der man die Funktion über die Summe mit P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] \summe_{k=- \infty}^{x} [/mm] P(X=k) angibt? Oder bin ich da auch auf dem falschen Weg?
Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.
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Hallo,
> Das Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf [mm]\mathcal{B}[/mm] sei gegeben
> durch
>
> Q(B) = [mm]\integral_{B}{f(x) dx},[/mm] B Intervall,
>
> wobei mit a > 0, b > 0
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} ae^{bx}, & \mbox{für} x<0, \\ a-\bruch{a}{b}x, & \mbox{für } 0\le x \le b, \\ 0, & \mbox{für} x>b. \end{cases}[/mm]
>
> a) Welcher Zusammenhang muss zwischen a und b bestehen?
> Hinweis: Man beachte [mm]Q(\IR)[/mm] = 1.
>
> b) Für die zu Q zugehörige Verteilungsfunktion F: [mm]\IR \to \IR.[/mm]
> definiert durch
>
> F(x) := [mm]Q((-\infty,x]),[/mm] x [mm]\in \IR,[/mm]
>
> gebe man eine integralfreie Darstellung an.
>
> c) Für den spezielen Fall b = 0,025 berechne man
> Q((-30,]80]).
> Hallo zusammen. Ich habe diese Frage noch in keinem
> anderen Forum gestellt.
>
> a) Hier fehlt mir ein passender Ansatz. Ich habe versucht,
> [mm]ae^{bx}[/mm] und [mm]a-\bruch{a}{b}[/mm] in irgendeiner Form
> gleichzusetzen oder anders zu verknüpfen, aber das ist mir
> nicht gelungen. Gibt es einen Zusammenhang, vielleicht mit
> dem Hinweis in der Aufgabenstellung, den ich übersehen
> habe?
Berechne doch einfach [mm] $Q(\mathbb [/mm] R)$ in Abhängigkeit von a und b.
> b) Handelt es sich hier nicht um eine diskrete Verteilung,
> bei der man die Funktion über die Summe mit P(X [mm]\le[/mm] x) =
> [mm]\summe_{k=- \infty}^{x}[/mm] P(X=k) angibt? Oder bin ich da auch
> auf dem falschen Weg?
Ja zum falschen Weg. Hier ist weder die Zufallsvariable noch der Wahrscheinlichkeitsraum diskret. Kontunuierlicher als die rrellen Zahlen geht schlecht.
> Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 So 16.11.2014 | | Autor: | Arthaire |
Dankeschön,
Ich habe nun die Integrale von [mm] -\infty [/mm] bis 0 und von 0 bis b berechnet. Die Summe der Ergebnisse (a/b und ab(1-b/2)) müssen nun 1 ergeben, richtig?
Also folgt a = [mm] \bruch{1}{1/b + b(1-b/2)}.
[/mm]
Bei Teilaufgabe b hast du natürlich völlig recht. Aber die Definition erfolgt doch nur über ein Integral. Und die Lösung ist dann sicherlich nicht nur F(x) - [mm] F(-\infty), [/mm] oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 So 16.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Für das zweite Integral habe ich [mm] $\frac{1}{2}ab$ [/mm] raus, ansonsten ist das Vorgehen ok.
Integralfrei darstellen heißt einfach nur das "Integral ausrechnen". Ich kann z.B. [mm] G(x)=\integral_{0}^{x}{1 dt} [/mm] definieren, kann $G$ aber auch integralfrei als G(x)=x schreiben (x>0).
Du hast nun [mm] F(x)=\integral_{-\infty}^{x}{f(x) dx} [/mm] gegeben und musst das Integral ausrechnen, ein Ergebnis mit Falluntercheidungen ist ok.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mo 17.11.2014 | | Autor: | Arthaire |
Danke. Ich habe auch 1/2 ab für das zweite Integral raus. Hatte ein b vergessen.
Wenn ich das Integral ausrechne, mache ich doch genau das gleiche wie in Teilaufgabe a, oder?
Also $ [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{a}{b}e^{bx}, & \mbox{für} x<0, \\ \bruch{1}{2}ab, & \mbox{für } 0\le x \le b, \\ 0, & \mbox{für} x>b. \end{cases} [/mm] $
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> Danke. Ich habe auch 1/2 ab für das zweite Integral raus.
> Hatte ein b vergessen.
> Wenn ich das Integral ausrechne, mache ich doch genau das
> gleiche wie in Teilaufgabe a, oder?
> Also [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{a}{b}e^{bx}, & \mbox{für} x<0, \\ \bruch{1}{2}ab, & \mbox{für } 0\le x \le b, \\ 0, & \mbox{für} x>b. \end{cases}[/mm]
Diese Funktion ist keine Verteilungsfunktion, so ist weder monoton steigend, nach ist der Grenzwert gegen unendlich 1.
Also muss deine Antwort falsch sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Mo 17.11.2014 | | Autor: | Arthaire |
Okay, das stimmt natürlich. Aber wie komme ich dann auf die Verteilungsfukntion? Wie muss sie im Zusammenhang zu dem Wahrscheinlichkeitsmaß stehen?
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Die musst die abschnittsweise definierte Funktion integrieren.
Und das heißt nicht jeden Abschnitt einzeln zu integrieren, sondern die Funktion als Ganzes.
Lass dir die Funktion plotten wenn's hilft.
Bzw. schreib die Integration sauber hin.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 Di 18.11.2014 | | Autor: | Arthaire |
Sorry, aber ich stehe auf dem Schlauch. Welche Funktion muss ich integrieren? Die Funktion ist nur als f(x) angegeben mit der Fallunterscheidung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Di 18.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sorry, aber ich stehe auf dem Schlauch. Welche Funktion
> muss ich integrieren?
Diese:
$ [mm] f(x)=\begin{cases} ae^{bx}, & \mbox{für} x<0, \\ a-\bruch{a}{b}x, & \mbox{für } 0\le x \le b, \\ 0, & \mbox{für} x>b. \end{cases} [/mm] $
> Die Funktion ist nur als f(x)
> angegeben mit der Fallunterscheidung.
Na und ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Di 18.11.2014 | | Autor: | Arthaire |
Wenn ich diese Funktion mit den Grenzen [mm] -\infty [/mm] und x integriere, bekomme ich doch:
$ [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{a}{b}e^{bx}, & \mbox{für} x<0, \\ \infty, & \mbox{für } 0\le x \le b, \\ 0, & \mbox{für} x>b. \end{cases} [/mm] $
Und die ist dann wieder nicht stetig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Di 18.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich diese Funktion mit den Grenzen [mm]-\infty[/mm] und x
> integriere, bekomme ich doch:
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{a}{b}e^{bx}, & \mbox{für} x<0, \\ \infty, & \mbox{für } 0\le x \le b, \\ 0, & \mbox{für} x>b. \end{cases}[/mm]
Das ist doch Unsinn !
Berechne doch konkret
[mm] \integral_{- \infty}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
FRED
>
> Und die ist dann wieder nicht stetig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Di 18.11.2014 | | Autor: | Arthaire |
Aber konkret hieße ja nur: $ [mm] \integral_{- \infty}^{x}{f(t) dt} [/mm] $ = [mm] F(x)-F(-\infty)
[/mm]
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> Aber konkret hieße ja nur: [mm]\integral_{- \infty}^{x}{f(t) dt}[/mm]
> = [mm]F(x)-F(-\infty)[/mm]
Du scheinst hier mit F eine Stammfunktion zu meinen (also den HDI.)
Die Aufgabe hat die Bezeichnung F aber für die hier zu berechnende Verteilsungsfunktion reserviert.
Und die kann man nunmal als zusammengesetzte Funktion ohne irgendwelche [mm] $\int$ [/mm] angeben.
Ich hab keine Ahnung was du falsch machst, du gibst auch nicht an was du machst, aber das ist hier eine eigentlich ziemlich standardmäßige Riemannintegralberechnung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Di 18.11.2014 | | Autor: | Arthaire |
Wenn ich die Funktion f (x) aufschreibe, sieht sie doch so aus:
[mm] \integral_{B}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{x}^{0}{ae^{bx} dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{b}{a-\bruch{a}{b}x dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{x}{0 dx} [/mm] = [mm] \integral_{x}^{b}{(ae^{bx} + a-\bruch{a}{b}x) dx}
[/mm]
Muss ich also das Integral [mm] \integral_{-\infty}^{x}{(ae^{bx} + a-\bruch{a}{b}x) dx} [/mm] berechnen?
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> Wenn ich die Funktion f (x) aufschreibe, sieht sie doch so
> aus:
>
> [mm]\integral_{B}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\integral_{ - \infty}^{0}{ae^{bx} dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{b}{a-\bruch{a}{b}x dx}[/mm] + [mm]\integral_{b}^{x}{0 dx}[/mm]
Ich hab's mal etwas korrigiert, damit es für x > b wenigstens stimmt.
Für x < b sieht das aber anders aus.
Du musst hier Fallunterscheidungen machen.
> = [mm]\integral_{x}^{b}{(ae^{bx} + a-\bruch{a}{b}x) dx}[/mm]
Nein. Da ist keine Gleichheit.
Mit welcher Integralrechenregel soll denn das auch gelten?
> Muss ich also das Integral [mm]\integral_{-\infty}^{x}{(ae^{bx} + a-\bruch{a}{b}x) dx}[/mm]
> berechnen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Di 18.11.2014 | | Autor: | Arthaire |
Ich meinte auch:
$ [mm] \integral_{B}{f(x) dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{-\infty}^{0}{ae^{bx} dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{0}^{b}{a-\bruch{a}{b}x dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{b}^{x}{0 dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{-\infty}^{x}{(ae^{bx} + a-\bruch{a}{b}x) dx} [/mm] $
Handelt es sich hier nicht um das gesuchte Integral, da die Verteilungsfunktion von [mm] -\infty [/mm] bis x geht?
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> Ich meinte auch:
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> [mm]\integral_{B}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\integral_{-\infty}^{0}{ae^{bx} dx}[/mm]
> + [mm]\integral_{0}^{b}{a-\bruch{a}{b}x dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{b}^{x}{0 dx}[/mm] = [mm]\integral_{-\infty}^{x}{(ae^{bx} + a-\bruch{a}{b}x) dx}[/mm]
>
> Handelt es sich hier nicht um das gesuchte Integral, da die
> Verteilungsfunktion von [mm]-\infty[/mm] bis x geht?
Nein, tut es nicht wie bereits vorher gesagt.
Und wie auch bereits gesagt, du kannst nicht einfach so Integrale mit verschiedenen Integrationsgrenzen und Integranden zusammenschmeißen.
Ich weiß nicht was ich noch sagen soll was hier im Thread nicht bereits mehrfach gesagt wurde.
Außer vielleicht, dass du dir scheinbar die Integralrechnung nochmal anschauen musst.
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