Wahrscheinlichkeitsmaß < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Fr 19.08.2011 | | Autor: | folken |
| Aufgabe | Auf [mm] \Omega =\IN [/mm] sei P gegeben durch P({k}) = [mm] \bruch{-p^k}{
k* ln(1- p)} [/mm] , wobei 0 < p < 1.
Zeigen Sie, dass P ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist und berechnen Sie Erwartungswert und
Varianz der Verteilung. |
Hallo, ich habe hier mehrere Fragen:
reicht es für das Wahrscheinlichkeitsmaß die Normierung zu zeigen oder muss mann noch etwas machen.
Bei der Normierung komme ich nicht weiter bzw, ich weiss nicht wie man hier auf 1 kommen soll: [mm] P(\IN) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{-p^k}{
k* ln(1- p)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{ln(1- p)} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{-p^k}{
k}
[/mm]
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Hallo folken,
> Auf [mm]\Omega =\IN[/mm] sei P gegeben durch P({k}) = [mm]\bruch{-p^k}{ k* ln(1- p)}[/mm] , wobei 0 < p < 1.
> Zeigen Sie, dass P ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist und
> berechnen Sie Erwartungswert und
> Varianz der Verteilung.
> Hallo, ich habe hier mehrere Fragen:
>
> reicht es für das Wahrscheinlichkeitsmaß die Normierung
> zu zeigen oder muss mann noch etwas machen.
Hast du gezeigt, dass es ein Maß ist?
>
> Bei der Normierung komme ich nicht weiter bzw, ich weiss
> nicht wie man hier auf 1 kommen soll: [mm]P(\IN)[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{-p^k}{ k* ln(1- p)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{ln(1- p)}[/mm] * [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{-p^k}{ k}[/mm]
Ziehe die [mm]-1[/mm] noch raus:
[mm]=-\frac{1}{\ln(1-p)}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{p^k}{k}[/mm]
Nun betrachte mal [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}p^k \ = \ \frac{1}{1-p}[/mm] und integriere beiderseits ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Fr 19.08.2011 | | Autor: | folken |
Ok, aber warum darf ich denn hier integrieren, und stört nicht noch das [mm] \bruch{1}{k} [/mm] bei der Summe.
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Hallo nochmal,
> Ok, aber warum darf ich denn hier integrieren, und stört
> nicht noch das [mm]\bruch{1}{k}[/mm] bei der Summe.
Das ist doch eine Potenzreihe, da darfst du innerhalb des Konvergenzradius nach Herzenslust differenzieren und integrieren ...
Das $1/k$ stört nicht, integriere mal [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}p^k$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{1-p}$ [/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Fr 19.08.2011 | | Autor: | folken |
> Hallo nochmal,
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> > Ok, aber warum darf ich denn hier integrieren, und stört
> > nicht noch das [mm]\bruch{1}{k}[/mm] bei der Summe.
>
> Das ist doch eine Potenzreihe, da darfst du innerhalb des
> Konvergenzradius nach Herzenslust differenzieren und
> integrieren ...
>
> Das [mm]1/k[/mm] stört nicht, integriere mal
> [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}p^k[/mm] und [mm]\frac{1}{1-p}[/mm] ...
Integration von [mm] \bruch{1}{1-p} [/mm] ist -log(1-p) das ist ja schonmal gut. Die Summe integriert ergibt glaube ich [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty}\bruch{p^k}{log(p)}.
[/mm]
Wahrscheinlich ist das ganz logisch, aber ich verstehe leider immer noch nicht was mit dem [mm] \bruch{1}{k} [/mm] passiert.
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Sa 20.08.2011 | | Autor: | Fry |
Hi
Versuchs doch mal mit [mm] \bruch{x^k}{k}=\int_{0}^{x}t^{k-1}dt
[/mm]
Jetzt kannst du die Summe und das Integral vertauschen.
Die Summe ist dann ne geometrische Reihe.
Gruß
Fry
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