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| Aufgabe | In einer Urne befinden sich 16 gleichartige Kugeln, davon sind 5 weiß und 11 schwarz. Vier Spieler ziehen abwechselnd ohne Zurücklegen. Wer als erster eine weiße Kugel zieht hat gewonnen.
Bestimmen sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum. Modellieren Sie das Experiment so als würden alle Kugeln gezogen werden, obwohl das Spiel vorzeitig zuende ist. Begründen Sie ihre Wahl für das Wahrscheinlichkeitsmaß ausführlich! |
Hallo
Kann mir jemand erklären, wie ich weitermachen muss?
Omega={sxw}
[mm] |O|=\bruch{16!}{11!5!}
[/mm]
Was ist genau mit Wahrscheinlichkeitsmaß gemeint?
LG
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Hallo Mucki,
> Kann mir jemand erklären, wie ich weitermachen muss?
> Omega={sxw}
Was soll das für ein [mm] $\Omega$ [/mm] sein?
> [mm]|O|=\bruch{16!}{11!5!}[/mm]
Was ist jetzt |O|? Die Kardinalität von [mm] $\Omega$?
[/mm]
Da passt einiges nicht zusammen (auch wenn deine Kardinalität stimmt, warum?)
Als erstes solltest du dir ein sauberes aufschreiben angewöhnen!
Im Text ist ja bereits erwähnt, dass du das Modell so modellieren sollst, als würden alle Kugeln gezogen werden.
Deine möglichen Ereignisse sind also was?
> Was ist genau mit Wahrscheinlichkeitsmaß gemeint?
Was ist denn ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Zufallsraum?
Wenn du das nicht weißt, heißt es nacharbeiten.
MFG,
Gono.
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Hallo :)
wenn ich jetzt anfange $ [mm] \Omega [/mm] $ zu modellieren, dann muss ich ja das Urnenmodell ohne zurücklegen mit Reihenfolge wählen.
$ [mm] \Omega [/mm] $= { [mm] w=(w_{1},...,w_{16}) :w_{i}\in [/mm] {1,...,16} [mm] \forall [/mm] i=1,...,16 [mm] w_{i} \not=w_{j} \forall i,j\in{1,...,16} [/mm] mit [mm] i\not=j [/mm] }
dann habe ich aber noch nicht gesagt, dass es weiße und schwarze Kugel gibt. Wie mache ich das deutlich?
|$ [mm] \Omega $|=\bruch{16!}{5!11!} [/mm]
Die Mächtigkeit von $ [mm] \Omega [/mm] $ ist mir total klar.
Meine möglichen Ereignisse sind
A="Kugel weiß"
B="Kugel schwarz"
Zum Wahrscheinlichkeitsmaß:
das W-maß ist eine Abbildung der Potenzmenge von $ [mm] \Omega [/mm] $ in die reelen Zahlen, die jedem möglichen Ereignis einen Wahrscheinlichkeitswert aus [mm] \IR [/mm] zuordnet. Soll die Erklärung derart sein, dass ich die Axiome von Kolgmoroff beweise?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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Hiho,
> wenn ich jetzt anfange [mm]\Omega[/mm] zu modellieren, dann muss ich ja das Urnenmodell ohne zurücklegen mit Reihenfolge wählen.
Ja, generell erstmal schon.
> [mm]\Omega [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]w=(w_{1},...,w_{16}) :w_{i}\in[/mm] {1,...,16} [mm]\forall[/mm] i=1,...,16 [mm]w_{i} \not=w_{j} \forall i,j\in{1,...,16}[/mm] mit [mm]i\not=j[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Naja, das modelliert ja ein Zug, wo alle 16 Kugeln unterscheidbar sind. Das hast du hier ja gar nicht gegeben.
Das tolle an Bezeichnungen ist: Man kann sie immer beliebig umbenennen 
D.h. ich sagte jetzt einfach mal, dass dein weiße Kugeln 1en sind und deine schwarzen Kugeln sind 0en
Versuche jetzt mal dein \Omega zu modellieren:
$\Omega = \left\{ \omega\in \{0,1\}^{16} | \ldots \right}$
> Die Mächtigkeit von [mm]\Omega[/mm] ist mir total klar.
Das ist schön.
> Meine möglichen Ereignisse sind
> A="Kugel weiß"
> B="Kugel schwarz"
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Deine Ereignisse müssen doch Elemente aus deinem Wahrscheinlichkeitsraum sein!
D.h. ein Element deines Raums ist immer ein 16-Tupel und nicht das Ziehen einer Kugel.
> Soll die Erklärung derart sein, dass ich die Axiome von Kolgmoroff beweise?
Nein, du sollst ein WMaß angeben. Ein WMaß ist im endlichen Fall wie hier beispielsweise eindeutig durch seinen Wert auf jedem Ereignis definiert.
D.h. du sollst jedem Ereignis einen sinnvollen Wert zuweisen.
Dazu musst du natürlich erstmal wissen, wie deine Ereignisse aussehen
MFG,
Gono.
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ok ich versuche es mal :)
[mm] \Omega [/mm] = { [mm] \omega\in \{0,1\}^{16} [/mm] | [mm] w_{i} \in [/mm] {1} [mm] \forall [/mm] i=1,...,5 [mm] w_{j} \in [/mm] {0} [mm] \forall [/mm] j=6,...,16 [mm] w_{i} \not= w_{j} \forall [/mm] i,j [mm] \in [/mm] {1,...,16} mit [mm] i\not=j [/mm] }
Dann sind die i-ten Kugel weiß und die j-ten Kugel schwarz?
Ein mögliches Ereignis wäre dann z.B.
A= "Dritte Kugel weiß" ?
A={(0,0,1,...), (0,1,1, ...), (1,1,1,...), (1,0,1,...)}
Hier kann ich die Mächtigkeit von A nicht so leicht bestimmen wie von [mm] \Omega
[/mm]
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Hiho,
> ok ich versuche es mal :)
>
> [mm]\Omega[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]\omega\in \{0,1\}^{16}[/mm] | [mm]w_{i} \in[/mm] {1} [mm]\forall[/mm]
> i=1,...,5 [mm]w_{j} \in[/mm] {0} [mm]\forall[/mm] j=6,...,16 [mm]w_{i} \not= w_{j} \forall[/mm]
> i,j [mm]\in[/mm] {1,...,16} mit [mm]i\not=j[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Dann sind die i-ten Kugel weiß und die j-ten Kugel
> schwarz?
Was du beschreibst, ist NUR das Ereignis: $(1,1,1,1,1,0,0,0,\ldots,0)$
Du sagst ja:
> [mm]w_{i} \in[/mm] {1} [mm]\forall[/mm] i=1,...,5
Das sagt doch, dass die ersten 5 Kugeln weiß sein sollen.
Von der unsauberen Notation mal abgesehen.
Du willst ja aber gar nicht, dass die Positionen festgelegt sind.
Ich hatte dir ja schon gesagt, dass es sinnvoller ist, statt schwarz und weiß 0en und 1en zu betrachtne.
Warum? Das hast du ja noch gar nicht benutzt..... heißer Tip: Was weißt du denn über die Summe der Einträge?
> Ein mögliches Ereignis wäre dann z.B.
> A= "Dritte Kugel weiß" ?
> A={(0,0,1,...), (0,1,1, ...), (1,1,1,...), (1,0,1,...)}
Naja, bis auf die Tatsache, dass du da Klassen von Mengen hinschreibst, stimmt das schon. Denn jedes Tupel steht ja für mehrere Tupel! Was kommt denn statt der .... ?
> Hier kann ich die Mächtigkeit von A nicht so leicht bestimmen wie von [mm]\Omega[/mm]
Das ist korrekt. Aber das musst du ja auch gar nicht.
Ich sagte dir ja, dass es ausreicht EINZELNE Ereignisse zu betrachten.
D.h. welches Maß hat:
[mm] $\left\{(\omega_1,\ldots,\omega_{16})\right\}$?
[/mm]
MFG,
Gono.
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Hey:)
die Summe der Einträge ist 5.
Wäre dann [mm] \Omega [/mm] ={ w [mm] \in {0,1}^{16} [/mm] : [mm] \summe_{i=1}^{16} w_{i} [/mm] = 5 } ? Das kann doch nicht alles sein?
statt ... kommen da noch Einsen und Nullen.
A= { [mm] w=(w_{1},...,w_{16}): w_{i} \in [/mm] {0,1} [mm] \forall [/mm] i=1,2,4,...,16 und [mm] w_{3}=1 [/mm] }
Danke für deine Geduld!
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Hiho,
> Wäre dann [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \left\{ w \in \{0,1\}^{16}: \summe_{i=1}^{16} w_{i} = 5 \right\}$ [/mm] ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Beachte nur, dass du vor geschweiften Klammern ein \ setzen musst, damit sie angezeigt werden
> Das kann doch nicht alles sein?
Doch, manchmal ist es so einfach.
> $A= [mm] \left\{ w=(w_{1},...,w_{16}): w_{i} \in \{0,1\} \wedge w_{3}=1 \right\}$
[/mm]
Jo, das wäre nun die Menge aller Ziehungen, wo an dritter Stelle eine 1 gezogen wird.
MFG,
Gono.
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