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| Aufgabe | Gegeben sei eine Urne mit roten und schwarzen Kugeln im Verhältnis 4 zu 1.
Wie oft zieht man bei n Versuchen mit Zurücklegen m Rote Kugeln hintereinander aus der Urne? |
Hallo liebe Forummitglieder,
Seit geraumer Zeit stehe ich bei dieser scheinbar einfachen Frage ziemlich auf dem Schlauch.
Mein Ansatz ist folgender:
Ich habe zunächst versucht ein Beispiel mit n = 1000 und m=10 zu rechnen, also 1000 Ziehungen und 10 Rote Kugeln hintereinander.
Die 1000 Ziehungen habe ich in 100 Gruppen mit je 10 Ziehungen aufgeteilt.
Die Wahrscheinlichkeit 10 Rote Kugeln zu ziehen ist [mm] 0.8^{10}
[/mm]
Somit würde man in [mm] 0.8^{10}*100 [/mm] Gruppen 10 rote Kugeln hintereinander ziehen. Damit wären aber natürlich nicht alle Möglichkeiten behandelt, allerdings komme ich nicht drauf wie es weiter gehen soll.
Außerdem habe ich das Gefühl, der Ansatz wäre an sich falsch.
Ich freue mich über eure Hilfe.
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:21 So 22.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sei eine Urne mit roten und schwarzen Kugeln im
> Verhältnis 4 zu 1.
> Wie oft zieht man bei n Versuchen mit Zurücklegen m Rote
> Kugeln hintereinander aus der Urne?
> Hallo liebe Forummitglieder,
>
> Seit geraumer Zeit stehe ich bei dieser scheinbar einfachen
> Frage ziemlich auf dem Schlauch.
>
> Mein Ansatz ist folgender:
> Ich habe zunächst versucht ein Beispiel mit n = 1000 und
> m=10 zu rechnen, also 1000 Ziehungen und 10 Rote Kugeln
> hintereinander.
>
> Die 1000 Ziehungen habe ich in 100 Gruppen mit je 10
> Ziehungen aufgeteilt.
> Die Wahrscheinlichkeit 10 Rote Kugeln zu ziehen ist
> [mm]0.8^{10}[/mm]
>
> Somit würde man in [mm]0.8^{10}*100[/mm] Gruppen 10 rote Kugeln
> hintereinander ziehen. Damit wären aber natürlich nicht
> alle Möglichkeiten behandelt, allerdings komme ich nicht
> drauf wie es weiter gehen soll.
Hallo,
die Aufgabe kann in zwei Teilaufgaben zerlegt werden.
1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (bzw die Anzahl der Möglichkeiten) überhaupt in n Versuchen genau m Kugeln zu ziehen.
2) In wie vielen dieser Möglichkeiten liegen die m Kugeln unmittelbar aufeinanderfolgend?
Der zweite Teil ist leicht beantwortert:
rrrrr.......
.rrrrr.......
..rrrrr......
...rrrrr.....
usw.
........rrrrr
Gruß Abakus
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> Außerdem habe ich das Gefühl, der Ansatz wäre an sich
> falsch.
>
> Ich freue mich über eure Hilfe.
>
> ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Vielen Dank abakus!
Da hast du mich auf eine interessante Idee gebracht, ich habe nochmal nachgefragt wie die Aufgabe genau gemeint ist und es sollte eigentlich "mindestens m rote Kugeln hintereinander" heißen, hat man 2m rote hintereinander gezogen, so zählen sie als 2 Erfolge usw.. Das ist aber für den Lösungsweg weniger wichtig.
Die Wahrscheinlichkeit genau m kugeln in n versuchen zu Ziehen ist nach Binomialverteilung:
[mm] 0.8^{m}*0.2^{n-m}*\vektor{n \\ m}
[/mm]
hierzu kommen noch die Wahrscheinlichkeiten mehr als m Kugeln gleicher Farbe zu ziehen, sodass mein Gesamtergebnis folgendermaßen aussieht:
[mm] 0.8^{m}*0.2^{n-m}*\vektor{n \\ m} [/mm] + [mm] 0.8^{m+1}*0.2^{n-(m+1)}*\vektor{n \\ m+1} [/mm] + [mm] 0.8^{m+2}*0.2^{n-(m+2)}*\vektor{n \\ m+2}+ [/mm] .... + [mm] 0.8^{n}*0.2^{n-n}*\vektor{n \\ n})
[/mm]
bzw.
[mm] \summe_{k=0}^{n-m}0.8^{m+k}*0.2^{n-(m+k)}*\vektor{n \\ m+k}
[/mm]
Multipliziert man das noch mit n, so erhält man die Anzahl der Fälle.
Stimmt das bis jetzt?
Zum Teil 2
> rrrrr........
> .rrrrr.......
> ..rrrrr......
> ...rrrrr.....
> usw.
> ........rrrrr
Das leuchtet ein, allerdings gibt es noch z.B. folgende Fälle:
...rr...rrrrr.......r..... (Zählt als 1 Mal)
oder
.rrrrrrrrrr.....r......... (Zählt als 2 Mal)
oder
...rrrrr...r..rr..rrrrr... (Zählt als 2 Mal)
Noch fällt mir nicht wirklich ein wie das geht...
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