Wahrscheinlichkeitsverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 So 08.03.2009 | | Autor: | froehli |
| Aufgabe | Ein Ideales Glücksrad ist wie in der nebenstehenden Skizze in drei Felder geteilt, die mit den Ziffern 1,2 und 3 beschriftet sind. Nach dem Drehen des Rades zeigt der Pfeil immer auf ein Feld.
(Feld 3 nimmt 2/4 ein und 1,2 jeweils 1/4 des rades)
a) Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit, dass der zeiger auf die Ziffer i(i= 1,2,3) zeigt.
b) Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
A: Die Ziffer 1 erscheint genau einmal,
B: Die Ziffer 1 erscheint mindestens zweimal,
C: Die Ziffer 1 erscheint zweimal, die 2 zweimal,
D: Die Summe der vier Zahlen beträgt genau 6.
c)Der Spieler dreht das Glücksrad n-mal. Ab welchem n Lohnt es sich darauf zu wetten, dass mindestens einmal die Ziffer 1 erscheint? |
Hallo,
Ich habe gestern mehrere Stunden an dieser aufgabe geknobelt. Mir fehlen aber irgendwie die Grundlagen zum ansätzen an dieser Aufgabe.
Teil a) ist für mich kein problem gewesen aber bei Teil b) hab ich es auf die verschiedensten arten probiert.
Mit abziehen von gegenereignissen mit multiplizieren usw.
bei teil b) dachte ich an soetwas wie: 0,25*0,25*0,5*4.
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hallo,
also zu A und B: einfach die bernoulli-kette anwenden, falls die jedoch noch nich behandelt wurde, die einzelnen pfade durchgehen und summieren.
genauso bei C die einzelnen pfade durchgehen und summieren : also da gäbs beispielsweise 6 pfade in folgenden verschiedenen reihenfolgen:
1122, 1212, 1221, 2112, 2121, 2211. Bei D erst mal gucken, wie man mit 4maligem drehen auf die summe 6 kommt und für diese möglichkeiten je die wahrscheinlichkeit berechnen und auch hier summieren.
viele grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 So 08.03.2009 | | Autor: | froehli |
Kann mit der Antwort leider nichts anfangen.
Unser Lehrer erklärt nichts und rechnet ab und zu was vor.
Aber darum gehts hier nicht.
Ich habe eine Lösung zu der Aufgabe durch Googlen gefunden:
http://www.pleu.de/Schule/Ablage/Klausur11_Ue.pdf
Da wurde wohl so eine Kette angwendet. Aber ich seh mich noch nicht in der Lage die selber anzuwenden, da ich das Schema nicht richtig verstehe.
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Hallo froehli,
a) scheinst Du richtig bestimmt zu haben, jedenfalls kommen die dort zu erhaltenden Wahrscheinlichkeiten schon vor: [mm] p_3=\tfrac{1}{2},\quad p_1=p_2=\tfrac{1}{4}.
[/mm]
b) viermalige Drehung:
bA) genau eine 1:
Die Drehungen liefern unabhängige Ergebnisse. Jedesmal ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 kommt, [mm] p_1=\tfrac{1}{4}. [/mm] Die Wahrscheinlichkeit, dass keine 1 kommt, ist also [mm] \overline{p}_1=1-p_1=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}=p_2+p_3.
[/mm]
Untersuchen wir einmal den Fall, dass die 1 als erstes kommt, dann nicht mehr. Die Wahrscheinlichkeit ist dann bei der ersten Drehung [mm] \tfrac{1}{4}, [/mm] bei der zweiten bis vierten Drehung [mm] \tfrac{3}{4}.
[/mm]
Dann ist insgesamt die Wahrscheinlichkeit für den untersuchten Fall (erst die 1, dann nicht mehr):
[mm] p_{1\overline{111}}=p_1*{\overline{p}_1}^3=\bruch{1}{4}*\left(\bruch{3}{4}\right)^3=\bruch{27}{256}
[/mm]
Wenn nun nur bei der zweiten Drehung die 1 kommt, sonst nicht, sieht die Rechnung fast genauso aus:
[mm] p_{\overline{1}1\overline{11}}=\bruch{3}{4}*\bruch{1}{4}*\left(\bruch{3}{4}\right)^2=\bruch{27}{256}
[/mm]
Und genauso gehts für die dritte und vierte Stelle/Drehung.
Insgesamt also ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau einmal eine 1 "gezogen" wird:
[mm] 4*\bruch{1}{4}*\left(\bruch{3}{4}\right)^3=\bruch{27}{64}
[/mm]
Verstehst Du diese Rechnung soweit? Wenn ja, dann versuch mal die anderen Teilaufgaben und gib Deinen Rechenweg samt Ergebnis hier an. Dann schauen wir gern mal drüber.
Und wenn nein, dann frag.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 So 08.03.2009 | | Autor: | froehli |
Okay zu B:
Wenn mindistens 2x die 1 vorkommen soll wäre das Gegenereignis ja das höchstens einmal die 1 vorkommen soll.
Beide Ereignisse zusammen würden den Gesamten Ereignisraum beschreiben.
Also muss ich von 1 das Gegenereignis abziehen.
Das ist in dem Obengenannten Link zur lösung auch schon passiert.
Nun steht da "Das Ereignis A vereinigt mit dem Ereignis, dass die Ziffer 1 keinmal erscheint, ergibt [mm] \overline{B}."
[/mm]
Aber den zusammenhang versteh ich nicht.
Die Variante dadrunter ist verständlicher. Addiere einfach die einzelnen wahrscheinlichkeiten der möglichen anordnungen.
2x die 1 hat 6 möglichkeiten
0011
0101
0110
1001
1010
1100
3x die 1 dann nurnoch 4
1110
1101
1011
0111
und 3x die 1 dann nurnoch eine
1111
Also hab ich
[mm] 6*(\bruch{1}{4})^{2}*(\bruch{3}{4})^{2}+4*(\bruch{1}{4})^{3}*\bruch{3}{4}+(\bruch{1}{4})^{4} [/mm] = 0.261719
Aber so eine richtige regelmäßigkeit an die ich mich bei solchen aufgaben klammern kann seh ich nicht.
Die Rechenwege kann man ja schlecht durch logic auf die schnelle herleiten.
Eine sache noch.
Ich habe in einem Mathe video für die erklährung der Benoulli formel soetwas wie "k über n" gehört
Das sah dann so aus [mm] \vektor{k \\ n} [/mm] oder so ähnlich
Was bedeutet das? Die Benoulli formel selbst haben wir noch nie so richtig angewendet.
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hallo,
zuerst mal zur sache mit dem gegenereignis: das gegenereignis von mind. 2mal die 1 is doch höchstens 1-mal die 1. und was is höchstens einmal die 1: das is die wahrscheinlichkeit für keine 1 + wahrscheinlichkeit für genau eine 1 (was ja bei A schon berechnet wurde), daher auch die vereinigung. so und die wahrscheinlichkeit für das gegenereignis muss jetzt noch von 1 abgezogen werden und somit kommt man auf das selbe, was du ausgerechnet hast.
dann noch zu [mm] \vektor{k \\ n}= [/mm] k! /((k-n)!*n!), das beschreibt quasi die anzahl der möglichen permutation, z.b. bei aufgabe a) da hättest du als k=4 und als n=1 , [mm] \vektor{4 \\ 1} [/mm] beschreibt also genau die 4 möglichkeiten die auftreten können: 1000, 0100, 0010, 0001 wobei 0 hier jetzt für nicht-eins stehen soll. die einzelwahrscheinlichkeit eine eins zu bekommen beträgt 1/4. somit kommt auf die formel: P(A)= [mm] \vektor{4 \\ 1}* (1/4)^{1}*(3/4)^{3}. [/mm] ich hoffe jetz is es klarer geworden.
viele grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 So 08.03.2009 | | Autor: | froehli |
Noch nicht ganz.
Die Formel versteh ich nicht:
$ [mm] \vektor{k \\ n}= [/mm] $ k! /((k-n)!*n!)
Wenn ich das auf die aufgabe anwende dann steht doch an der stelle wo [mm] \vektor{4 \\ 1} [/mm] steht eine 4
Also kann man doch gleich 4/1 sagen => 4
In einem Video zu einem Multiple Choice Test gibt es 50 Aufgaben zu á 5 Antworten. Es ist immer nur eine Richtig.
Und man soll durch raten 15 aufgaben richtig haben.
Nun steht da:
[mm] \vektor{50 \\ 15} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{5})^{15} [/mm] * [mm] (\bruch{4}{5})^{35}
[/mm]
Kann ich dann für den ausdruck [mm] \vektor{50 \\ 15} [/mm] einfach 50/15 bzw 10/3 schreiben und damit rechnen?
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eben nicht, also ich glaub dir is der begriff der fakultät noch nicht klar:
[mm] \vektor{50 \\ 15}, [/mm] das bedeutet nach dem was ich geschrieben hab offensichtlich: 50!/((50-15)!*15!)= 50!/(35!*15!). nun zum begriffe der fakultät: 50!= 50 * 49 * 48 *... * 3 * 2 * 1. analog 35! und 15!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 So 08.03.2009 | | Autor: | froehli |
Hab grad das ausrufezeichen auf meinem Taschenrechner gefunden.
Damit klappt und damit kommt bei 4 über 1 auch 4 raus.
Aber ich glaube nicht das ich das in der Klausur nutzen darf, da ich weder begründen kann warum das so ist noch wir das behandelt haben.
Habe den Aufgaben teil b nun abgeschlossen.
Jetzt kommt c.
p = 0,25 also ist
p(keine 1) = [mm] 0,75^{n}
[/mm]
also ist 1 - [mm] 0,75^{n} [/mm] die Warscheinlichkeit bei n mal drehen eine 1 zu haben.
Also schreib ich auf:
1 - [mm] 0,75^{n} [/mm] = 1
Aber nun kürzt sich mir die 1 weg und ich kann keinen logerythmus von 0 bilden.
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Hallo froehli,
wenn Ihr die sogenannten Binomialkoeffizienten [mm] \vektor{n\\k}=\bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] noch nicht behandelt habt, darfst Du sie in der Tat auch noch nicht verwenden. Dafür werden aber nur kleine Gesamtgrößen vorkommen, also wohl höchstens irgendetwas mit max. fünf Kugeln etc.
Dafür lohnt es sich, die ersten paar Zahlen des ![[]](/images/popup.gif) Pascalschen Dreiecks zu kennen. Es ist einfach aufgebaut. In jeder Zeile kommt eine Zahl dazu. Außen stehen immer Einsen. Ansonsten ist jede Zahl die Summe der beiden über ihr stehenden:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Von links nach rechts (oder umgekehrt, es ist ja symmetrisch) gelesen stehen die Zahlen für folgendes. Nimm mal die 14641-Zeile. Sie gibt (u.a.) an, wieviele Möglichkeiten es gibt, aus vier Objekten k Objekte zu ziehen. Dabei ist die erste Zahl (immer eine 1) die Zahl der Möglichkeiten, 0 Objekte zu ziehen. Dann die Möglichkeiten, 1 Objekt zu ziehen (bei insgesamt 4 Stück also 4 Möglichkeite). Mögliche Paarungen gibt es 6: ab,ac,ad,bc,bd,cd. Dreierkombinationen sind wieder weniger, nur 4 - ist ja logisch, ein Objekt fehlt jeweils, auch dafür gibt es ja nur 4 Möglichkeiten. Und zuletzt die Zahl der Möglichkeiten, 4 von 4 Objekten zu haben: 1.
Dabei kommt es hier nicht auf die Reihenfolge der Objekte an. abc=bac=cab=acb=bca=cba und so weiter.
***
Nun noch zu Aufgabe c). Die lautete ja:
c)Der Spieler dreht das Glücksrad n-mal. Ab welchem n Lohnt es sich darauf zu wetten, dass mindestens einmal die Ziffer 1 erscheint?
> p = 0,25 also ist
> p(keine 1) = [mm]0,75^{n}[/mm]
>
> also ist 1 - [mm]0,75^{n}[/mm] die Warscheinlichkeit bei n mal
> drehen (mindestens) eine 1 zu haben.
Ja, genau.
> Also schreib ich auf:
> 1 - [mm]0,75^{n}[/mm] = [mm] \red{1}
[/mm]
Die linke Seite der Gleichung hast Du oben gut erklärt. Aber wo kommt jetzt die 1 auf der rechten Seite her?
Du musst berechnen: [mm] p_{(mind. eine 1)}=1-0,75^n
[/mm]
Jetzt suchst Du das n, bei dem [mm] p\le0,5 [/mm] gilt. Dafür nehmen wir etwas an, das die Aufgabe leider nicht angibt, nämlich die Wettquote. Tun wir also so, als handle es sich um eine einfache Wette um Eintreten oder Nichteintreten eines Ereignisses, das genauso wahrscheinlich ist wie sein Gegenteil, etwa der Wurf einer Münze.
Also: für welche [mm] n\ge n_0 [/mm] gilt [mm] 1-0,75^n\ge0,5 [/mm] ?
> Aber nun kürzt sich mir die 1 weg und ich kann keinen
> logerythmus von 0 bilden.
Hübsches Wort. Ich habe mich im Lauf der Jahre aber schon an die Schreibweise Logarithmus gewöhnt... 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 So 08.03.2009 | | Autor: | froehli |
Also ich rate jetzt einfach das die warscheinlichkeit bei n würfen größer als 50% sein soll?
Das find ich irgendwie sonderbar.
Für das Dreieck brauch ich noch ein wenig aber ich denke ich hab nen bischen plan davon bekommen.
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was heißt raten, sobald die wahrscheinlichkeit größergleich 50% is, gilt das eintreten eines ereignisses als wahrscheinlich und daher lohnt es sich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 So 08.03.2009 | | Autor: | froehli |
Gut, Dann habe ich jetzt für n rund 2,4 raus
Also muss er mindistens 3x drehen um einmal die 1 zu treffen.
Ist das richtig?
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ja richtig, generell bei so ner art von aufgabe immer aufrunden!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 So 08.03.2009 | | Autor: | froehli |
| Aufgabe | Ein Tierarzt scheut die Behandelung von Katzen, da er bei 30% der Behandlungen von diesen gebissen wird. Heute muss er wieder drei Katzen behandeln.
a) Bestimmen Sie für dieses Zufallsexperiment die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse
A: "Der Tierarzt wird mindestens zweimal gebissen" und
B: "Der Tierarzt wird genau einmal gebissen"
mithilfe eines Baumdiagramms
b) Formulieren Sie das Ereignis C [mm] =\overline{A \cup B} [/mm] in Worten und bestimmen sie dessen Wahrscheinlichkeit
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Tierarzt bei der Behandlung von Acht Katzen
(1) nur von der fünften Katze,
(2) von der fünften Katze als erster,
(3) frühstens von der fünften Katze,
(4) spätestens von der fünften Katze als erster,
(5) nicht gebissen? |
Meine Ergebnisse:
a)
p(A) = [mm] 3*0,3^{3} [/mm] + 1* [mm] 0,3^{2} [/mm] *0,7 = 0,144
p(B) = 3 * 0,3 * [mm] 0,7^{2} [/mm] = 0,441
b)
C [mm] =\overline{A \cup B} [/mm]
C = [mm] \overline{A} \cap \overline{B}
[/mm]
[mm] \overline{A}: [/mm] Er wird höchstens 1mal gebissen.
[mm] \overline{B}: [/mm] Er wird garnicht oder zwei oder drei mal gebissen.
C: Er wird nicht gebissen
Es ergibt sich eine Mächtigkeit von 8 für das Ereignis des Beißens.
C nimmt davon eine möglichkeit auf also
C = [mm] \bruch{1}{8}
[/mm]
Bei d) habe ich bisjetzt keine richtigen ansätze und find die Formulierung merkwürdig.
Sorry das es schon so späd ist aber das ist auch die Letzte aufgabe an die ich mich heute ransetze :)
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a)also bei p(A) sind die faktoren genau umgekehrt: [mm] p(A)=1*0,3^3 [/mm] + [mm] 3*0,3^2*0,7
[/mm]
b) im prinzip alles richtig was du geschrieben hast, außer der berechnung der wahrscheinlichkeit, ich versteh nich was du mit mächtigkeit 8 meinst. der ansatz is einfach: er wird in 70% der behandlungen nicht gebissen, also is P(C) offensichtlich [mm] =0,7^3=0,343
[/mm]
zu d) (1) der tierarzt wird nur von katze 5 gebissen, also von 1-4 nicht, von 5, von 6-8 nicht,
(2) hier wird er von katze 1-4 nicht gebissen aber von 5
(3) is das gleiche wie bei (2)+ von katze 6 als erster+ von katze 7 als erster+ von katze 8 als erster + gar nicht gebissen
der rest sollte nun klar sein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 So 08.03.2009 | | Autor: | froehli |
also bei p(A) hab ich das falsch abgeschrieben. Das ist mir klar.
Aber bei b) dachte ich das es so aussieht:
A: [mm] \overline{A}
[/mm]
011 000
101 001
110 010
111 100
B: [mm] \overline{B}
[/mm]
001 000
010 011
100 101
110
111
Also habe ich 5 Ereignisse bei [mm] \overline{B} [/mm] und 4 bei [mm] \overline{A}
[/mm]
Eines ist dabei vereinbar.
also dachte ich an [mm] \bruch{(5+4)-1}{8}
[/mm]
Das muss doch dann C = $ [mm] \overline{A} \cap \overline{B} [/mm] $ entsprechen.
Zu d) wäre ein Rechenbeispiel super.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:38 So 08.03.2009 | | Autor: | froehli |
falls das vor der beantwortung noch gelesen wird.
ich hab für d) (1) 2,47% raus
(2) und (3) find ich aber biseln schwiriger
Die formulierung als erster ist immer biseln merkwürdig.
Wenn bei (2) von der fünften als erster gebissen wird, was ist dann mit 6,7,8. Wird er da auch gebissen oder nicht? Oder ist das irrelevant.
und bei (3) frühstens von der dritten. Da muss ich jetzt ja wieder über das p-dreieck gehen, oder?
und (4) spätestens von der fünften Katze als erster?
Also der erste biss kann nur von 1-5 erfolgen?
(5) wäre [mm] 0,7^8 [/mm] oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 So 08.03.2009 | | Autor: | ms2008de |
bei (4) stimmen die fälle und bei (3) heißts laut aufgabenstellung frühestens von der fünften statt von der dritten, die erste katze die ihn beißt kann also die 5. 6. 7. 8. oder gar keine sein, die wahrscheinlichkeiten für diese 5 versch. ereignisse einfach addieren, dann hast das ergebnis
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zu b) wie du richtig sagtest, ein ereignis is vereinbar von nicht-A und nicht-B, nämlich dass der arzt von keiner katze gebissen wird. da jedoch das auftreten der von dir erwähnten ereignisse nicht alle die gleichen wahrscheinlichkeiten haben, ist die wahrscheinlichkeit eben nicht ein achtel.
beispiel für das ereignis 001: [mm] 0,7^{2} [/mm] * 0,3 [mm] \not= [/mm] ereignis 000: [mm] 0,7^{3}. [/mm] wenn jetzt die wahrscheinlichkeit bei ner behandlung gebissen zu werden gleich der wk bei ner behandlung nich gebissen zu werden wäre, dann könntest du das so machen, so jedoch nicht.
zu d) (1): [mm] 0,7^{4} [/mm] *0,3 * [mm] 0,7^{3}= 0,3*0,7^{7}
[/mm]
den rest bekommst du hin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 So 08.03.2009 | | Autor: | froehli |
(2) [mm] 0,7^4*0,3
[/mm]
(3) - 16 Möglichkeiten ab der fünften Katze, aber wie das kompakt ausdrücken? Ein Baumdiagramm würde das Blatt sprengen. Andere Möglichkeit?
(4) ??
(5) [mm] 0,7^8
[/mm]
Ist bischen späd weiter komm ich nicht. Wenns keine umstände macht wäre ne ausführung ganz gut.
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2 und 5 stimmen, 3 und 4 stehen in der letzten mitteilung wie du vorgehen musst
zu 3) bei 2 hast ja schon berechnet wie groß die wahrscheinlichkeit is, dass katze 5 ihn als erste beißt, jetz berechne mal wie groß die wk is, das katze 6 ihn als erste beißt, katze 7 als erste, katze 8als erste, und gar keine katze hast ja auch schon, die 5 wk addiert du und fertig.
zu 4) einfach mal rechnen die wk, dass katze 1 ihn als erste beißt, katze 2 als erste, katze 3 als erste, katze 4 als erste und katze 5 als erste und nun die 5 wk auch wieder addieren, fertig
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Mo 09.03.2009 | | Autor: | froehli |
okay 1,2,4,5 sind klar
Aber bei 3 steht ja nur frühestens von der fünften Katze.
Also kann er ja auch von mehreren gebissen werden, oder nicht?
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schon klar, allerdings darf er nich vor der 5. katze gebissen werden und wenn du die ereignisse so berechnest wie ich sie dir geschrieben hab, dass du addierst wie wahrscheinlich es is dass er je zuerst von katze 5, 6, 7 oder 8 oder gar keiner gebissen is ja völlig egal, was passiert nachdem er zum ersten mal gebissen wurde. wie schon bei der aufgabe (2) als wir sagten, [mm] 0,7^{4}*0,3 [/mm] is die wk, dass die 5. katze die erste is die ihn beißt, was danach passiert is ja völlig irrelevant ob die restlichen katzen ihn noch beißen oder nicht, die können dann tun was sie wollen und hier is es genauso
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 Mo 09.03.2009 | | Autor: | froehli |
Wunderbar. Dann denke ich das ich fertig bin.
p(3) = 18,25%
p(4) = 83,2%
Vielen dank für deine Geduld und Hilfe :)
Hast mir sehr weitergeholfen.
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kein problem, ich komm aber bei p(3) auf 24,01 % statt 18,25%, du hast hier wohl nich berücksichtigt dass der arzt auch gar nich gebissen werden könnte, das sind nämlich genau die paar prozent die fehlen, p(4) stimmt
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zu (2) ja genau, was bei 6,7,8 passiert is hier völlig irrelevant.
zu (3) ne, pascal-dreieck musst hier nich beachten, einfach die einzelnen fälle durchgehen die ich dir sagte, bei (4) dann analog, und die letzte mit [mm] 0,7^8 [/mm] stimmt
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