Wahrscheinlichkeitsverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Di 19.10.2010 | | Autor: | jacob17 |
Hallo zusammen.
Ich stelle mir die Frage ob durch den Ausdruck
P(A) = [mm] \summe_{i \in A}^{} p(1-p)^i [/mm] eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf IN \ {0} definiert wird. Muss man hier einfach zeigen dass das eine Funktion beschreibt die nur auf das Intervall [0,1] abgebildet wird?
jacob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Di 19.10.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Jacob,
du musst zeigen, $P_$ die Eigenschaften eines ![[]](/images/popup.gif) W-Masses besitzt.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Di 19.10.2010 | | Autor: | jacob17 |
Vielen Dank für deine Antwort :)
Ok Wie schaut denn die Ergebnismenge aus? Der Grundraum ist doch gegeben durch [mm] \sigma [/mm] = {1,2,3.....} oder? Ist dann [mm] P(\sigma) [/mm] = [mm] P(\bigcup_{i=1}^{\infty} [/mm] {n}) Wobei n eben ein Elementarereignis also eine Teilmenge von [mm] \sigma [/mm] ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:55 Mi 20.10.2010 | | Autor: | luis52 |
Also ich sehe das so: [mm] $\Omega=\{1,2,3,\dots\}=\IN$ [/mm] und [mm] $P(A)=\sum_{\omega\in A}P(\{\omega\})$ [/mm] fuer [mm] $A\subset\Omega$.
[/mm]
Ich meine, es gibt ein Problem im Nachweis von [mm] $P(\Omega)=1$\dots
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mi 20.10.2010 | | Autor: | jacob17 |
Glaubst du dass das nicht stimmen kann warum?
Also hingeschrieben lautet, dass dann doch
[mm] P(\sigma)= P(\bigcup_{w=1}^{\infty}{w})=\summe_{w=1}^{\infty} [/mm] P{w}) = [mm] \summe_{w=1}^{\infty} p(1-p)^w [/mm]
Natürlich unter der Voraussetzung dass die Additivität erfüllt ist. Kann man das bis hierher lassen? Nun müsste man natürlich noch den Grenzwert berechnen. Könnte man hierzu den Term aufsplitten in [mm] \summe_{w=1}^{\infty} [/mm] p * [mm] \summe_{w=1}^{\infty} (1-p)^w [/mm] Wahrscheinlich eher nicht, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Mi 20.10.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
*ich* rechne so:
[mm] $\summe_{w=1}^{\infty} p(1-p)^w [/mm] =p(1-p) [mm] \summe_{w=1}^{\infty} (1-p)^{w-1} [/mm] =p(1-p) [mm] \summe_{w=0}^{\infty}(1-p)^w=\frac{p(1-p)}{p}=1-p$ [/mm]
(geometrische Reihe).
Du bist aus dem Schneider, wenn du setzt
[mm] $P(A)=\sum_{\omega\in A}p(1-p)^{\omega-1}$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Mi 20.10.2010 | | Autor: | jacob17 |
Dürfte ich das dann einfach so setzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:53 Do 21.10.2010 | | Autor: | luis52 |
> Dürfte ich das dann einfach so setzen?
Warum nicht? So macht die Chose Sinn.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Do 21.10.2010 | | Autor: | jacob17 |
Dann wäre jetzt nur noch die Additivität zu zeigen. Hast du eine Idee wie man dazu ansetzen könnte. Rätsel' schon die ganze Zeit und komm' auf nichts vernünftiges
nils
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Do 21.10.2010 | | Autor: | luis52 |
> Dann wäre jetzt nur noch die Additivität zu zeigen.
Dein Beispiel ist ein Spezialfall des folgenden allgemeineren Ansatzes. Sei [mm] $p_1,p_2,p_3,\dots$ [/mm] eine Folge nichtnegativer Zahlen mit [mm] $\sum_{i=1}^\infty p_i=1$. [/mm] Setze [mm] $P(A)=\sum_{\omega\in A}p_\omega$ [/mm] fuer [mm] $A\subset \IN$. [/mm] Klar ist [mm] $P(\IN)=1.
[/mm]
Sei [mm] $A_1,A_2,A_3,\dots\subset\IN$ [/mm] eine Folge disjunkter Ereignisse. Zu zeigen ist [mm] $P\left(\bigcup_{i\ge1} A_i\right) \, [/mm] = [mm] \, \sum_{i\ge1} P\left(A_i\right)$. [/mm] Die linke Seite ist eine Teilsumme von [mm] $p_1,p_2,p_3,\dots$, [/mm] die rechte Seite ist eine Umordung jener Summe. Nach einem bekannten (?) Satz der Analysis stimmen beide Summen ueberein.
vg Luis
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:47 So 24.10.2010 | | Autor: | jacob17 |
Hallo Luis.
Hab mich in der Aufgabenstellung ein wenig vertippt. Es heißt doch
P(A) = [mm] \summe_{k \in A}^{} p(1-p)^{k-1} [/mm]
Somit stimmt dann der erste Teil. Glaubst du dass der Beweis zur Additivität ausreichend ist? Würde den gerne so beweisen, dass ich aus [mm] P(\bigcup_{i=1}^{\infty} [/mm] A) irgendwann [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] P(A) folgere Aber irgendwie fehlt mir dazu der richtige Trick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 24.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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