Wahrscheinlichkeitsverteilung < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Do 07.02.2013 | | Autor: | TioZ |
| Aufgabe | Ein Glücksspiel besteht darin, zwei ideale Münzen mit den Ergebnissen "Wappen und "Zahl" gleichzeitig zu werfen. Ein Spieler setzt einen Betrag entweder auf "zweimal Wappen"(WW) oder "zweimal Zahl" (ZZ).
Spielregeln:
- Setzt der Spieler auf WW und es erscheint WW, so erhält er den doppelten Einsatz.
Setzt er auf ZZ und es erscheint ZZ, so erhält er den doppelten Einsatz
-Setzt der Spieler auf WW und es erscheint ZZ, dann verliert er seinen Einsatz. Setzt er auf ZZ und es erscheint WW, dann verliert er seinen Einsatz.
-Zeigt eine Münze auf W und die andere auf Z, so wird der Wurf wiederholt.
-Spätestens nach dem fünften Wurf ist das Spiel beendet. Liegen auch jetzt WZ oder ZW vor, so hat der Spieler seinen Einsatz verloren
c) Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Würfe dieses Glücksspiels.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgröße.
Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße X und interpretieren Sie ihn im Sachzusammenhang |
Ich habe schon einige Ansätz zu dieser Aufgabe, weil ich die früher schon einmal rechnen musste und jetzt anfange das Thema zu wiederholen.
Jetzt muss man ja für jeden Wurf (also 1-5) die Wahrscheinlichkeit ausrechnen.
1. Wurf = 0,5
2. Wurf = 0,25
3. Wurf = 0,125
4. Wurf = 0,0625
5. Wurf = 0,6255
Ich versteh nicht nach welchem Prinzip da vorgeht? Wie kommt man auf diese Wahrscheinlichkeiten?
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Hallo,
das Spiel ist ja zu Ende, wenn entwerder WW oder ZZ kommt. Diese beiden Fälle haben bei einem Wurf eine Wahrscheinlichkeit von je [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] so dass wir für die Beendigung des Spiels zu einem gewissen Zeitpunkt
P(ZZ oder [mm] WW)=\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}=\bruch{1}{2}
[/mm]
haben. Für die Fortsetzung haben wir damit
P=1-P(ZZ oder [mm] WW)=1-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
also die Wahrscheinlichkeiten für Beenden und Fortsetzen sind bis zum 4. Durchgang gleich. Nennen wir noch für die ersten 4 Runden B: das Spiel wird beendet und F: das Spiel wird fortgesetzt, so bekommen wir zunächst
[mm] P(X=1)=P(B)=\bruch{1}{2}=0.5
[/mm]
[mm] P(X=2)=P(F)*P(B)=\left(\bruch{1}{2}\right)^2=\bruch{1}{4}=0.25
[/mm]
[mm] P(X=3)=P(F)*P(F)*P(B)=\left(\bruch{1}{2}\right)^3=\bruch{1}{8}=0.125
[/mm]
[mm] P(X=4)=P(F)*P(F)*P(F)*P(B)=\left(\bruch{1}{2}\right)^4=\bruch{1}{16}=0.06125
[/mm]
So, nun wird das Spiel jedoch nach der 5. Runde in jedem Fall beendet. Aus der Forderung
P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1
folgt dann die letzte Wahrscheinlichkeit
[mm] P(X=5)=1-(P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4))=1-\left(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{16}\right)=\bruch{1}{16}=0.06125
[/mm]
Du hast dich an dieser Stelle wohl vertippt?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Do 07.02.2013 | | Autor: | TioZ |
Ja, da habe ich mich vertippt.
Was sagen die einzelnen Wahrscheinlichkeiten denn dann aus?
Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit beim 4. Wurf = 0,06125.
das die wahrscheinlichkeit 0,06125 beträgt, um bis zum vierten Wurf zu kommen?
Und beim zweiten Teil der Aufgabe habe ich dann folgendes gerechnet:
1 * 0,5 + 2 * 0,25 + 3 * 0,125 + 4 * 0,06125 + 5 * 0,06125 = 1,9375
Aber was sagt mir dieses Ergebnis?
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Hallo,
> Ja, da habe ich mich vertippt.
>
> Was sagen die einzelnen Wahrscheinlichkeiten denn dann
> aus?
> Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit beim 4. Wurf =
> 0,06125.
> das die wahrscheinlichkeit 0,06125 beträgt, um bis zum
> vierten Wurf zu kommen?
Ganz genau, so ist es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und beim zweiten Teil der Aufgabe habe ich dann folgendes
> gerechnet:
>
> 1 * 0,5 + 2 * 0,25 + 3 * 0,125 + 4 * 0,06125 + 5 * 0,06125
> = 1,9375
Auch das ist richtig.
> Aber was sagt mir dieses Ergebnis?
Es ist der Erwartungswert deiner Zufallsvariablen, die ja die möglichen Spieldauern beschreibt. Der Erwartungswert sagt dir nun, dass wenn man dieses Spiel sehr oft durchführt, es im Mittel (man kann auch sagen: im Durchschnitt) nach 1,9375 Runden zu Ende ist.
Gruß, Diophant
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