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| Aufgabe | Servus!
Bei dieser Aufgabe bin ich leider total überfragt:
Sei $X$ eine auf dem Intervall $(0,1)$ gleichverteilte Zufallsvariable.
Sei weiter $F$ die Verteilungsfunktion von einem W-keitsmaß $Q$ auf [mm] $(\IR,B_1)$, [/mm] wobei [mm] $B_1$ [/mm] die Borel'sche [mm] \sigma [/mm] -Algebra in [mm] \IR [/mm] ist.
Und schließlich sei [mm] $F^{-1}:(0,1)\to \IR,\ F^{-1}(x):=\inf \{t\in \IR\ |\ F(t)\ge x\}.
[/mm]
Behauptung: [mm] $F^{-1}(X)$ [/mm] besitzt die Verteilung Q. |
Es fängt schon damit an, dass ich nicht weiß, was das Paar [mm] $(\IR,B_1)$ [/mm] ist. Ist das ein Messraum? Also ist [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \IR$ [/mm] die Ergebnismenge? Und wie kann man sich [mm] B_1 [/mm] eigentlich vorstellen? Sind das hier einfach Teilmengen von [mm] \IR?
[/mm]
Als Tipp haben wir bekommen, das wir diese Aussage beweisen sollen: [mm] $\forall \, x\in [/mm] (0,1), [mm] r\in \IR$ [/mm] gilt:
[mm] $F^{-1}(x)\le [/mm] r [mm] \iff x\le [/mm] F(r)$
Leider hilft mir das auch nicht weiter... :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 22.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:16 So 23.06.2013 | | Autor: | Marschal |
Ich bin doch noch weiter an einem Tipp interessiert :)
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Hallo,
zunächst einmal ist die Aufgabe ein bisschen komisch gestellt. Zu zeigen ist eigentlich, dass die Zufallsvariable [mm] $F^{-1}\left(X\right)$ [/mm] die Verteilungsfunktion [mm] $F_{Q}$, [/mm] also die Verteilungsfunktion des Wahrscheinlichkeitsmaßes $Q$ besitzt.
Zu deiner ersten Frage:
Das Paar [mm] $\left(\IR, \mathcal{B}_{1}\right)$ [/mm] ist ein Messraum. Dabei ist [mm] $\IR$ [/mm] die Ergebnismenge (um mal im Stochastik-Terminus zu bleiben) und [mm] $\mathbb{B}_{1}$ [/mm] ist die Ereignismenge.
Ihr hattet sicher in der Vorlesung den Begriff der Sigma-Algebra. [mm] $\mathbb{B}_{1}$ [/mm] ist die Sigma-Algebra, die von allen offenen Mengen des [mm] $\IR_{1}$ [/mm] erzeugt wird.
Wenn ich jetzt das Paar [mm] $\left(\IR_\mathbb{B}_{1}\right)$ [/mm] mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß $Q$ ausstatte, wird aus dem Messraum ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Wir wollen nun zunächst mal den Hinweis zeigen. Die Rückrichtung
mach ich dir vor.
$x [mm] \leq [/mm] F(r) [mm] \Rightarrow F^{-1}(x)\leq [/mm] r [mm] \text{ für jedes } [/mm] x [mm] \in \left(0,1\right) [/mm] $
Wenn $x [mm] \leq [/mm] F(r)$ dann ist $r [mm] \in \lbrace [/mm] t [mm] \in \IR \; [/mm] | [mm] F(t)\geq [/mm] x [mm] \rbrace$. [/mm] Also gilt $r [mm] \geq \inf \lbrace [/mm] t [mm] \in \IR \; [/mm] | [mm] F(t)\geq [/mm] x [mm] \rbrace=F^{-1}(x)$ [/mm] nach Definition des Infimuns.
Versuch mal die Rückrichtung und dann sehen wir weiter
Viele Grüße
Blasco
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