Warum funkft. sin so? < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 So 18.09.2011 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Guten Abend,
ich habe eine Einf. in die Trigonometrie gelesen. Dort stand
"alte" Def.: Die Winkel-Fkt., also die Seitenverhältnisse von sin, cos usw.
gültig für rechtwinklige Dreiecke, mit einem max. Winkel von 90°
"neue" Def.: Einh.kreis, P (cos/sin) u. gültig f. Dreiecke, deren Winkeln von 0 bis 360° gehen.
Anstatt weiterzulesen u. noch mehr Fakten anzuhäufen, stelle ich mir nun,
nach der erweiterten Def., die Frage, was mir das sagen soll. Was kann ich mit der erweiterten Def. anfangen?
Meine Überlegung:
Ich kann jetzt ohne Tasch.rechner mit den sin- u. cos-Kurven zu den Seitenlängen gelangen. D.h. ich komme so langsam dahinter, was der TR macht, wenn ich z.B. sin drücke.
Ich habe 2 Din A4-Blätter.
Auf dem einen die sin u. cos Gaphen am Einh.kreis,
auf dem anderen 1. u. 2. Quadranten des Einh.kreises, auf dem ich mich für einen pos. Drehwinkel von 116° entschieden habe (ergibt das schraffierte Dreieck).
Aus den sin u. cos-Kurven kann ich die Fkt.werte für x=116° ablesen.
Ich lese also ab
sin 116° =0,77
cos116° =0,4
Ich muss jetzt aus 0,77 einen Bruch machen. Aber wie? Und dann auch nur einen ganz bestimmten Bruch, denn da ich im Einh.kreis bin bleibt doch nur ein bestimmtes Dreieck (ähnliche Dreiecke ausgeschlossen). Dann ein Lichtblitz: r= H = 1, damit ergibt sich
0,77= GK
0,4 = AK
Dann schön umgerechnet, da ich nicht 1:1 gewählt habe (wäre zu fitzelig), aber es haut trotzdem nicht hin.
r ist auf meinem gelben Blatt 12cm u. entspricht 1.
Von dem schraffierten Dreieck (116°) will ich die Seitenlängen haben.
Aber 9,24 cm sind 20,5 cm keineswegs ähnlich.
Aber das kleinere Nachbardreieck hat evtl. meine Werte, wenn man die Ungenauigkeiten vielleicht vernachlässigt (mit rot ran geschrieb. Zahlen in cm)
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Was habe ich vergessen?
Wo ist der Wurm drin?
Oder habe ich doch was falsch gemacht?
Und unabhg. von all diesen Fragen: Ist meine Überleg. zu "was fange ich jetzt mit der erweiterten Def. an" richtig? Oder geht es um noch etw. ganz Anderes?
(Niveau 10. Kl. Gym Hamburg)
Euch allen - wie immer vielen DANK f. alle Hilfen!!!
Gute Nacht (gucke morgen erst wieder hier)
Sabine
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Sabine
> Guten Abend,
>
> ich habe eine Einf. in die Trigonometrie gelesen. Dort
> stand
> "alte" Def.: Die Winkel-Fkt., also die Seitenverhältnisse
> von sin, cos usw.
> gültig für rechtwinklige Dreiecke, mit einem max. Winkel
> von 90°
> "neue" Def.: Einh.kreis, P (cos/sin) u. gültig f.
> Dreiecke, deren Winkeln von 0 bis 360° gehen.
Das geht sogar noch viel weiter: für die allgemeine Definition
der trigonometrischen Funktionen muss man überhaupt nicht
mehr an Dreiecke denken - die Funktionen sin, cos, tan
lösen sich also quasi von ihrem "trigonometrischen" (die
Dreiecksberechnung betreffenden) Hintergrund komplett ab.
Mit den Funktionen sin und cos kann man nämlich etwa
Schwingungen und Wellenphänomene wie das Licht und
andere elektromagnetische Strahlungen beschreiben.
> Anstatt weiterzulesen u. noch mehr Fakten anzuhäufen,
> stelle ich mir nun,
> nach der erweiterten Def., die Frage, was mir das sagen
> soll. Was kann ich mit der erweiterten Def. anfangen?
>
> Meine Überlegung:
> Ich kann jetzt ohne Tasch.rechner mit den sin- u.
> cos-Kurven zu den Seitenlängen gelangen. D.h. ich komme so
> langsam dahinter, was der TR macht, wenn ich z.B. sin
> drücke.
>
> Ich habe 2 Din A4-Blätter.
> Auf dem einen die sin u. cos Gaphen am Einh.kreis,
> auf dem anderen 1. u. 2. Quadranten des Einh.kreises, auf
> dem ich mich für einen pos. Drehwinkel von 116°
> entschieden habe (ergibt das schraffierte Dreieck).
> Aus den sin u. cos-Kurven kann ich die Fkt.werte für
> x=116° ablesen.
> Ich lese also ab
> sin 116° =0,77 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> cos116° =0,4
das sollte heißen:
sin(116°) [mm] \approx [/mm] 0.90
cos(116°) [mm] \approx [/mm] -0.44
>
> Ich muss jetzt aus 0,77 einen Bruch machen. Aber wie? Und
> dann auch nur einen ganz bestimmten Bruch, denn da ich im
> Einh.kreis bin bleibt doch nur ein bestimmtes Dreieck
> (ähnliche Dreiecke ausgeschlossen).
Mit falschen Zahlenwerten weiter zu rechnen, macht
eigentlich keinen Sinn.
Gib doch mal den Originaltext der Dreiecksaufgabe an !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 So 18.09.2011 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Al-Chw.,
das ist ja schön, dass du es wieder bist!!!!
> "neue" Def.: Einh.kreis, P (cos/sin) u. gültig f.
> Dreiecke, deren Winkeln von 0 bis 360° gehen.
Das geht sogar noch viel weiter: für die allgemeine Definition
der trigonometrischen Funktionen muss man überhaupt nicht
mehr an Dreiecke denken
was? ist ja abgefahren
- die Funktionen sin, cos, tan
lösen sich also quasi von ihrem "trigonometrischen" (die
Dreiecksberechnung betreffenden) Hintergrund komplett ab.
Mit den Funktionen sin und cos kann man nämlich etwa
Schwingungen und Wellenphänomene wie das Licht und
andere elektromagnetische Strahlungen beschreiben.
Du: " Das geht sogar noch viel weiter: ...."
Ich habe sowas schon geahnt. Aber soweit...
Holla holla, man staunt nicht schlecht.
Naja, ich glaube ich will nur die Grundlagen, das sollte für Schulniveau ausreichen oder?
> sin(116°) [mm]\approx[/mm] 0.90
> cos(116°) [mm]\approx[/mm] -0.44
oh aber ja, d.h. ich bin sehr einverstanden mit dem Ungefährzeichen u. dem nun nicht mehr fehlenden Minus; aber warum die Klammern um den Winkel? Wenn da mehr stünde ja, aber nur der Winkel - sind sie dann auch zwingend erforderlich?
> Mit falschen Zahlenwerten weiter zu rechnen, macht
> eigentlich keinen Sinn.
Ich habe die doch abgelesen will den Einsatz des TR nicht.
> Gib doch mal den Originaltext der Dreiecksaufgabe an!
Ja, das würde Sinn machen, wenn es eine Aufg. gäbe.
Es ist aber eine mir selbst gestellte Aufg., die Trigonometrie in der Ebene zu verstehen oder besser: ihr näher zu kommen.
Ich las eine Einf. mit alter u. neuer Def. u. bevor ich weiterlesen wollte habe ich mal rumprobiert, was so geht. Auch um die erweiterte Def. zu kapieren. Bin drauf gekommen, dass man damit Seitenlängen in Dreiecken mit größerem Winkel von 90° bestimmen können müßte und zwar ohne TR. Aber es ist mir nicht gelungen.
Und ich weiß net warum.
LG
Sabine
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> Naja, ich glaube ich will nur die Grundlagen, das sollte
> für Schulniveau ausreichen oder?
Ja. Ich denke, dass du dir das Wichtigste dazu am besten
im Umgang mit rechtwinkligen (kartesischen) und Polar-
koordinaten in der Ebene merken kannst. Die Lage eines
Punktes P in der Ebene kann durch seine üblichen recht-
winkligen Koordinaten (x,y) beschrieben werden oder aber
durch seinen Abstand r vom Ursprung und seinen Polarwinkel
[mm] \varphi [/mm] , der von der positiven x-Achse aus im positiven
Drehsinn (=Gegenuhrzeigersinn) bis zum Strahl OP ge-
messen wird. Liegt P im ersten Quadranten (ist also x>0
und y>0), so kann man im rechtwinkligen Stützdreieck
der Strecke OP sehen: r ist die Hypotenuse und in Bezug
auf den (spitzen) Dreieckswinkel [mm] \varphi [/mm] (an der Ecke O)
ist x die Ankathete und y die Gegenkathete. Es gilt deshalb:
1.) $\ [mm] cos(\varphi)\ [/mm] =\ [mm] \frac{x}{r}$ [/mm]
2.) $\ [mm] sin(\varphi)\ [/mm] =\ [mm] \frac{y}{r}$
[/mm]
3.) $\ [mm] tan(\varphi)\ [/mm] =\ [mm] \frac{y}{x}$
[/mm]
Die Verallgemeinerung der Winkelfunktionen auf beliebige
Winkel geht nun einfach so, dass man diese Gleichungen
einfach beibehält (wenigstens so weit, als kein Nenner
gleich Null wird).
In deinem Beispiel hast du etwa den Punkt P mit r = 12 (cm)
und dem Polarwinkel [mm] \varphi [/mm] = 116°.
Dann muss gelten:
$\ [mm] x_P\ [/mm] =\ [mm] r*cos(116^{\circ})\ [/mm] =\ [mm] 12*(-0.438...)\approx [/mm] -5.26$
$\ [mm] y_P\ [/mm] =\ [mm] r*sin(116^{\circ})\ [/mm] =\ [mm] 12*(0.898...)\approx [/mm] 10.79$
> warum die Klammern um den Winkel? Wenn da mehr stünde
> ja, aber nur der Winkel - sind sie dann auch zwingend
> erforderlich?
In der Regel schreibt man Funktionen in der Mathematik mit
Klammern. In CAS-Rechnern sind die Funktionsklammern
obligatorisch, und z.B. in Mathematica werden zu diesem
Zweck der Eindeutigkeit halber besondere (eckige) Klammern
benützt. Für mich sind Klammern deshalb mehr oder weniger
zur Gewohnheit geworden.
Es besteht aber auch die Konvention, dass man bei solchen
Termen wie $\ [mm] sin(\alpha)$ [/mm] oder $\ [mm] cos(116^{\circ})$ [/mm] auch auf die Klammern
verzichten darf, also $\ [mm] sin\, \alpha$ [/mm] oder $\ [mm] cos\, 116^{\circ}$
[/mm]
> Es ist aber eine mir selbst gestellte Aufg., die
> Trigonometrie in der Ebene zu verstehen oder besser: ihr
> näher zu kommen.
> Ich las eine Einf. mit alter u. neuer Def. u. bevor ich
> weiterlesen wollte habe ich mal rumprobiert, was so geht.
> Auch um die erweiterte Def. zu kapieren. Bin drauf
> gekommen, dass man damit Seitenlängen in Dreiecken mit
> größerem Winkel von 90° bestimmen können müßte und
> zwar ohne TR.
Ganz ohne Rechner geht es wohl nur, wenn du "nur" formale
Lösungen suchst oder wenn du "schöne" Winkel wie z.B. 120° ,
135° , 210° , 315° .... benützt.
> Aber es ist mir nicht gelungen.
> Und ich weiß net warum.
>
> LG
> Sabine
Zum Thema rechtwinklige und Polarkoordinaten hier noch
ein ![[]](/images/popup.gif) Applet zum Spielen ...
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Di 20.09.2011 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Ihr Beiden,
das erste applet gefällt mir sehr gut.
Mein PC ist defekt, d.h. ich sitze im Internet-Cafe u. kann hier leider nichts abspeichern.
Aber ich habe mir eure Antw. ausgedruckt u. werde zu Hs. damit weiterarbeiten.
[mm]\varphi[/mm] Wie spricht man das aus? Warfie?
> In deinem Beispiel hast du etwa den Punkt P mit r = 12
> u. dem Polarwinkel [mm]\varphi[/mm] = 116°.
> Dann muss gelten:
> [mm]\ x_P\ =\ r*cos(116^{\circ})\ =\ 12*(-0.438...)\approx -5.26[/mm]
>
> [mm]\ y_P\ =\ r*sin(116^{\circ})\ =\ 12*(0.898...)\approx 10.79[/mm]
Das sind doch meine Werte, die ich ohne TR, d.h. nur durch Ablesen u. 2-fachen umrechnen raus habe:
-5,2
10,8
Diese beiden Zahlen aber stehen an dem kl. Nachbardreieck dran (s. Bild oben, rote Zahlen), aber mich interessiert doch das gr. Dreieck, das mit dem Winkel 116°?
Wie kommt das?
Vorab schon mal vielen Dank!
LG
Sabine
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> [mm]\varphi[/mm] Wie spricht man das aus? Warfie?
Das ist einfach ein kleines phi , ausgesprochen wie "Vieh" ... 
> > In deinem Beispiel hast du etwa den Punkt P mit r = 12
> > u. dem Polarwinkel [mm]\varphi[/mm] = 116°.
> > Dann muss gelten:
> > [mm]\ x_P\ =\ r*cos(116^{\circ})\ =\ 12*(-0.438...)\approx -5.26[/mm]
>
> >
> > [mm]\ y_P\ =\ r*sin(116^{\circ})\ =\ 12*(0.898...)\approx 10.79[/mm]
>
> Das sind doch meine Werte, die ich ohne TR, d.h. nur durch
> Ablesen u. 2-fachen umrechnen raus habe:
> -5,2
> 10,8
> Diese beiden Zahlen aber stehen an dem kl. Nachbardreieck
> dran (s. Bild oben, rote Zahlen),
Ja; es sind eben einfach die x- und y-Koordinaten des
Punktes P in dem gegebenen Koordinatensystem.
mit dem schraffierten Dreieck hat dies eigentlich nicht
zu tun, sondern nur mit dem Pfeil, der vom Koordinaten-
nullpunkt zum Punkt P zeigt.
> aber mich interessiert
> doch das gr. Dreieck, das mit dem Winkel 116°?
Naja, von diesem hast du noch eine weitere Seitenlänge
(20.5 cm) angegeben. Damit könnte man jetzt ev. weiter-
rechnen, um z.B. herauszufinden, wo der Endpunkt dieser
Seite auf der x-Achse liegt oder wie groß der Dreieckswinkel
bei dieser Ecke ist ...
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Mi 21.09.2011 | | Autor: | Giraffe |
Guten Morgen Al-Chw. ,Guten Morgen Al-Chw. ,
> Das sind doch meine Werte, die ich ohne TR, d.h. nur durch
> Ablesen u. 2-fachen umrechnen raus habe: -5,2 u. 10,8
> Diese beiden Zahlen aber stehen an dem kl. Nachbardreieck
> dran (s. Bild oben, rote Zahlen),
Ja; es sind eben einfach die x- u. y-Koordinaten von P.
Hm, ah, gut, natürlich, aber da muss doch ein Zus.hg. bestehen, zwischen den gr. Dreieck mit dem Winkel 116° (von dem ich die Seitenlängen bestimmen möchte) u. dem kl. Nachbardreieck, von dem ich ja doch die richtigen Werte durch Ablesen u. Umrechnen, oh. TR, raushabe.
Weiter schreibst du:
"Mit dem schraffierten Dreieck hat dies eigentlich nichts zu tun, sondern nur mit dem Pfeil, der vom Koordinatennullpunkt zum Punkt P zeigt."
Soll das heißen, dass es keinen Zus.hg. gibt?
> aber mich interessiert doch das gr. Dreieck, das mit dem Winkel 116°?
Du schreibst:
"Naja, von diesem hast du noch eine weitere Seitenlänge (20.5 cm) angegeben."
Nein, die hatte ich nur ausgemessen. Brauche den Wert doch zur Kontrolle, wenn ich die Seiten von Dreieck mit 116° bestimmt habe, um zu sehen, ob es richtig ist, was ich da ohne TR ertüffelt habe.
(Übrigens: die 20,5 cm sind original auf dem Papier u. müssten noch umgerechnet werden.)
Du:
"Damit könnte man jetzt ev. weiterrechnen, ....."
Nein, denn das wäre gemogelt.
Ich sag nochmal was ich gern möchte.
Ich möchte kapieren u. erklären können, was der TR macht, wenn man z.B. sin drückt. Ich möchte das zu Fuß, also manuell nachmachen können, was der TR macht.
Ach, so pardon u. was nun hinzukommt ist, dass ich das an Dreiecken nachvollziehen will, deren Winkel gr. sind als 90°.
Die Dinger mit der Hypothenuse, die alle im 1.Quadranten sind, da ist es leicht. Ich kapiere noch nicht, wie es funktioniert, wenn sich das Dreieck über die y-Achse oben hinaus ausdehnt. Dazu habe ich einfach einen Winkel von z.B. 116° gewählt. Und dann interessieren mich die Seitenlängen, die zu genau diesem Dreieck (mit 116°) gehören u. nicht die Ergänzung zu 180°, also die Seiten v. kl. Nachbardreieck.
Nochmal folgendes: Kann sein, dass ich mich mal wieder in was verrannt habe, dann möchte ich diesen Weg natürl. nicht weiterverfolgen.
Ist es überhaupt möglich von Dreiecken, die sich über den 1. Quadranten hinaus erstrecken (Winkel gr. als 90°) zu Fuß, d.h. oh. TR die Seiten zu best.? (alles, was mit TR geht muss zu Fuß auch gehen!!!!!)
Mir geht es draum, zu kapieren, was da los ist, was da abgeht, wie´s funktioniert mit dem sin, cos usw.
Ist meine Herangehensweise richtig?
Ach u. nochmal eine Frage, auch in diesem Zus.hg.:
Bei den überstreckten Dreiecken, die keine Hypothenuse mehr haben, weil es keinen rechten Winkel gibt, wieso funktionieren die Winkel-Fkt. da im Prinzip genauso?
Wenn der Drehwinkel bei (1/0) entgegengesetzt der Uhr beginnt u. so mein Dreieck mit 116° entsteht, ist die Hypothenuse weg. Bzw. die ist dann beim Nachbardreieck. Aber von dem wollte ich ja nicht die Seitenlängen haben.
Das ist das, was ich nicht kapiere.
Ich hoffe, du hast nochmal die Geduld, dass aufzuklären.
(Weiß aber noch nicht, wann ich hier wieder gucken kann)
Vielen DANK für die Zeit, die du mir widmest u. Investiert, um mir zu helfen.
LG
Sabine
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Hallo Sabine,
wenn du statt rechtwinkliger Dreiecke ganz beliebige Dreiecke,
also auch solche mit drei spitzen Winkeln und solche mit
zwei spitzen und einem stumpfen Winkel behandeln willst,
dann brauchst du die wichtigsten Sätze der Trigonometrie
am allgemeinen Dreieck, nämlich den Sinussatz und den
Cosinussatz. Ich dachte, dass die dir bekannt sind.
Andernfalls schau mal da nach:
Sinussatz
Kosinussatz
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Mo 26.09.2011 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Al-Chw.,
mein Gott habe ich mir mal wieder Gedanken gemacht u. dann kommt alles ganz anders:
Ich habe damals im LK den Sin- u. Kossatz nicht kennengelernt, bzw. das haben wir nicht gehabt. Aber das behaupte ich auch von Matrizen.
Doch ein Mitschüler von damals, der, ich glaube eine 1oder 2 in Mathe LK hatte, sagt dass das nicht stimmt.
Ich will damit sagen, dass ich gar nichts von Sin- u. Kossatz wußte, die waren in meinem Gehirn gar nicht existent.
Die Lösung meiner Frage aber ist die Anwendg. dieser beiden Sätze.
DAS war es
DANKE
LG
Sabine
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:40 Mi 21.09.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Sabine,
nur eine ganz kurze Reaktion auf einen kleinen Teil Deiner Mitteilung:
> Ich sag nochmal was ich gern möchte.
> Ich möchte kapieren u. erklären können, was der TR
> macht, wenn man z.B. sin drückt. Ich möchte das zu Fuß,
> also manuell nachmachen können, was der TR macht.
>
> zu Fuß, d.h. oh. TR die Seiten zu best.? (alles, was mit
> TR geht muss zu Fuß auch gehen!!!!!)
> Mir geht es draum, zu kapieren, was da los ist, was da
> abgeht, wie´s funktioniert mit dem sin, cos usw.
> Ist meine Herangehensweise richtig?
Der TR hat einen Algorithmus, mit dem er den Sinus etc. berechnet. Der ist nicht so leicht mathematisch zu verstehen, auch wenn man eigentlich nur Ableitungen braucht, um die Rechnung durchzuführen. Der TR verwendet eine sogenannte Reihenentwicklung, die gegen den Funktionswert konvergiert, und rechnet stur die Reihe so weit, bis die Abweichung vom tatsächlichen Funktionswert kleiner ist als die Rechengenauigkeit des TR.
Für den Sinus ist das z.B. die Reihe
[mm] \sin{x}=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=\bruch{x}{1!}-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^7}{7!}+\bruch{x^9}{9!}-\cdots
[/mm]
Diese Reihenentwicklung gilt allerdings nicht für x in Grad, sondern für x im Bogenmaß.
Es gibt mehrere Reihenentwicklungen für solche Funktionen. Der TR verwendet nicht unbedingt die am einfachsten zu merkende wie die oben, sondern eine, die möglichst schnell gegen den Funktionswert konvergiert.
Solche Reihenentwicklungen sind da fest einprogrammiert für sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan, ln, exp(x).
Du müsstest aber etwas mehr als die Schulmathematik beherrschen, um das wirklich zu verstehen, wenn auch nicht viel mehr. Wenn Du das also tatsächlich lernen willst, kann es Dir hier bestimmt jemand erklären.
Früher, in den Zeiten vor den Taschenrechnern, hatte man an der Schule ganze Tabellenbücher für den Logarithmus und auch für die trigonometrischen Funktionen, eben weil es doch recht aufwändig ist, so einen Reihenwert auszurechnen. Der TR tut das aber sehr schnell und zuverlässig - das ist ja gerade Vorteil und Funktionsweise dieser Geräte: sie wissen nichts und verstehen nichts, können aber sture Rechenarbeit sehr sehr schnell erledigen. Bei den Grundrechenarten macht sich das eigentlich noch gar nicht bemerkbar, aber bei den Funktionen sehr deutlich.
Im 18. Jahrhundert haben ganze Heerscharen von "Rechnern" (damals durchaus ein Beruf, fast ein Handwerk) Logarithmentafeln berechnet, und eben auch Tafeln der trigonometrischen Funktionen. Es muss sehr sture und langweilige Arbeit gewesen sein, die aber trotzdem hohe Konzentration verlangte.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:23 Mo 26.09.2011 | | Autor: | Giraffe |
Hallo reverend,
vielen DANK für deine sehr interessante Antw.
Nein, das wollte ich nicht lernen.
Wußte nicht, dass der TR das ganz anders rechnet.
Aber sehr interessant.
Ich staune immer wieder auch nicht schlecht, was
die Leute hier alles so wissen.
LG
Sabine
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