Was heißt "stetig abhängig"? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Sa 01.09.2012 | | Autor: | sqflo |
Hallo! :)
Ich habe hier eine differenzierbare differenzierbare Funktion zwischen zwei Banachräumen: $f: [mm] V\to [/mm] W$ und [mm] $Df(x_0)$ [/mm] ist das Differential in [mm] $x_0\in [/mm] V$. Nun heißt es, dass f stetig differenzierbar ist, falls [mm] $Df(x_0)$ [/mm] stetig von [mm] $x_0$ [/mm] abhängt. Aber was bedeutet das? Das einzige, was google zu dem Thema ausspuckt hat alles mit Differentialgleichungen zu tun.
Ist hier jemand dem Begriff stetige Abhängigkeit schonmal begegnet?
lg
flo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:44 So 02.09.2012 | | Autor: | SEcki |
> Ist hier jemand dem Begriff stetige Abhängigkeit schonmal
> begegnet?
Sei [m]L(V,W)[/m] die Menge der linearen Abbildungen zwischen V und W (mit Topologie zB durch Supremumsnorm. Aufpassen bei unendlich. dim.!). Dann ist f stetig diff.bar falss [m]V\to L(V,W),\,x\mapsto df(x)[/m] stetig ist.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:05 So 02.09.2012 | | Autor: | sqflo |
Oh, tut mir leid, aber das war wphö ein Missverständniss. Ich meinte nicht "was heißt differenzierbar" sondern "was heißt stetig abhängig". Hätte das is Thread nochmal ausdrücklich fragen sollen.
Also, weiß es jemand (also was "stetige abhängigkeit" ist *g*)? :)
lg
flo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 So 02.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hi sqflo,
> Also, weiß es jemand (also was "stetige abhängigkeit" ist
> *g*)? :)
Das ist dasselbe wie "stetig", in diesem Fall dasselbe wie "stetig differenzierbar". Die Aussage "die Funktion [mm] $x\mapsto [/mm] f(x)$ ist stetig von $x$ abhängig" bedeutet dasselbe wie "die Funktion $f$ ist stetig". In diesem Fall ist das die Funktion [mm] $x_0\mapsto Df(x_0)$, [/mm] wobei [mm] $Df(x_0)$ [/mm] eine lineare Abbildung von $V$ nach $W$ ist. Damit [mm] "$x_0\mapsto Df(x_0)f$ [/mm] ist stetig" einen Sinn ergibt, muß Definitionsbereich (hier der Banachraum $V$) und Zielbereich (hier der Raum der linearen Abbildungen von $V$ nach $W$) jeweils mit einer Metrik ausgestattet sein.
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Di 04.09.2012 | | Autor: | sqflo |
Ja, das war auch mein erster Gedanke. Der zweite war dann, dass das unsinnig sein würde, weil dann ja jedes differenzierbare [mm] $f:V\to [/mm] W$ ($V$ und $W$ Banachräume) stetig differenzierbar sein müssten (dass eine Frechet-Ableitung wieder stetig ist, wurde bei der Definition in meinem Skript gefordert um die Aussage "aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit" zu beweisen.)
Das würde die unterscheidung zwischen differenzierbar und stetig differenzierbar ja unnötig machen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Di 04.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, das war auch mein erster Gedanke. Der zweite war dann,
> dass das unsinnig sein würde, weil dann ja jedes
> differenzierbare [mm]f:V\to W[/mm] ([mm]V[/mm] und [mm]W[/mm] Banachräume) stetig
> differenzierbar sein müssten (dass eine Frechet-Ableitung
> wieder stetig ist, wurde bei der Definition in meinem
> Skript gefordert um die Aussage "aus Differenzierbarkeit
> folgt Stetigkeit" zu beweisen.)
>
> Das würde die unterscheidung zwischen differenzierbar und
> stetig differenzierbar ja unnötig machen.
mir ist nicht klar, ob Du da nicht Dinge durcheinanderwirfst:
Für jedes [mm] $x_0 \in [/mm] V$ ist [mm] $Df(x_0)$ [/mm] wieder eine Abbildung:
[mm] $$Df(x_0): [/mm] V [mm] \to [/mm] W$$
mit einer Abbildungsvorschrift $v [mm] \mapsto Df(x_0)(v)\,.$ [/mm]
(Mach's Dir klarer, indem Du etwa [mm] $g=g_{x_0}:=Df(x_0)$ [/mm] setzt!)
D.h. Du kannst jedem [mm] $x_0 \in [/mm] V$ eine Funktion $V [mm] \to [/mm] W$ mittels der Vorschrift
[mm] $$x_0 \mapsto Op(x_0):=Df(x_0)$$
[/mm]
zuordnen. Ich habe diese [mm] $Op\,$ [/mm] in Erinnerung an "Operator" genannt.
Mach' Dir erstmal klar, wie dieser Operator funktioniert:
Klar, es ist eine Abbildung mit Definitionsbereich [mm] $V\,.$ [/mm] Was ist aber der
Zielbereich dieses Operators? Es ist nicht [mm] $W\,,$ [/mm] sondern...?
Ich denke nämlich, dass ihr nicht die Stetigkeit der Funktion
[mm] $Op\,$ [/mm] bewiesen oder benutzt oder gefordert habt.
Vielmehr werdet ihr die Stetigkeit (das nehme ich an: Bei Wiki steht
eigentlich Beschränktheit) von [mm] $Df(x_0)$ [/mm] irgendwo als Forderung haben.
Die Abbildungen [mm] $Op=Op(v)\,$ [/mm] und [mm] $Df=Df(v)\,$ [/mm] sind wohl zu unterscheiden.
Tipp:
Mach' Dir das ganze am besten erstmal an einfachen Beispielen klar. Sei
etwa $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^2\,.$
[/mm]
Was ist hier (präzise aufschreiben!) nun etwa beispielsweise [mm] $Df(4)\,$? [/mm] In
der Schule würde man [mm] $f'(4)=2*4=8\,$ [/mm] rechnen. Das ist jetzt nun aber
eine Zahl - was hat die mit einer linearen Abbildung [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] zu tun?
(Bedenke den Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen zwischen
endlichdimensionalen Vektorräumen und Matrizen.)
Wie würde man zeigen, dass $Df(4): [mm] \IR \to \IR,\,x \mapsto [/mm] 8x$ stetig ist?
Was ist der Unterschied, wenn man zeigen will, dass $v [mm] \mapsto [/mm] Df(v)$
stetig an der Stelle [mm] $v=4\,$ [/mm] ist? Siehst Du, dass bei der letztstehenden
Frage "Abstände zwischen den Funktionen [mm] $Df(v)\,$ [/mm] und $Df(4)$ (das sind
Funktionen [mm] $\IR \to \IR$)" [/mm] klein werden sollen, wenn $v [mm] \to [/mm] 4$ rückt?
(Beachte: [mm] $Op(v)=Df(v)\,$ [/mm] ist ja wieder eine Funktion, während [mm] $Df(v)(x)\,$ [/mm]
(in obigem Beispiel) ein Wert in [mm] $\IR$ [/mm] ist).
Ich denke nämlich, dass Du da einfach verwirrt (worden) bist...
Also grob: An einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] hat man eine Ableitung, das ist selbst
eine Funktion $V [mm] \to W\,.$ [/mm] D.h. [mm] $Df(x_0): [/mm] V [mm] \to W\,.$ [/mm]
Dabei ist [mm] $Df(x_0)(v) \in [/mm] W$ ein Wert in [mm] $W\,$ [/mm] für alle $v [mm] \in V\,.$
[/mm]
Der Operator [mm] $Op\,$ [/mm] mit [mm] $Op(x_0):=Df(x_0)$ [/mm] bildet ein [mm] $x_0 \in [/mm] V$ auf [mm] $Df(x_0)$ [/mm] ab. Also ist insbesondere [mm] $Op(v)\,$ [/mm] eine Abbildung $V [mm] \to W\,.$
[/mm]
Und zusammengefasst: Nur, weil (für [mm] $x_0 \in [/mm] V$) die Abbildung
[mm] $Df(x_0)$ [/mm] stetig ist, heißt das nicht, dass [mm] $Op(v)\,$ [/mm] stetig in [mm] $x_0$ [/mm] ist.
P.S.
Vielleicht kreiert ja jemand hier mal bessere Beispiele, denn bei
$f: [mm] \IR \to \IR,\;x \mapsto x^2$ [/mm] kommt man dann doch mal schnell
durcheinander:
Aber hier wäre etwa [mm] $\overbrace{Df(4): \IR \to\IR\,, x \mapsto 8x}^{\ell_8}$ [/mm] (ich denke, es ist klar, wie [mm] $\ell_p$ [/mm] für $p [mm] \in \IR$ [/mm] definiert
sein soll) und $Op(x): [mm] \IR \to \{\ell: \IR \to \IR,\,\ell \text{ ...(hat noch gewisse weitere Eigenschaften)}\},\, [/mm] x [mm] \mapsto Op(x):=\ell_x\,.$
[/mm]
Das "Blöde" an diesem Beispiel ist halt, dass wir die Matrizen $Op(x) [mm] \in \IR^{1 \times 1}$ [/mm] einfach mit "Zahlen" identifzieren, und dann nicht
unbedingt erkennen, wo "Matrixnormen" ins Spiel kommen - denn wie
gesagt: Erinnere Dich mal an den Zusammenhang zwischen Matrizen
und linearen Abbildungen.
Was man versuchen kann:
Anstatt [mm] $\ell_x$ [/mm] schreibe [mm] $(x)\,$ [/mm] (also eine [mm] $\IR^{1 \times 1}$-Matrix).
[/mm]
Dann ist wenigstens ein wenig besser erkennbar, wo es um Matrizen
geht und wo nur in [mm] $\IR$ [/mm] gerechnet wird.
Gruß,
Marcel
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