Was ist arctan(1) < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Fr 20.07.2012 | | Autor: | yuppi |
Hallo Zusammen,
wie kann man sich leicht herleiten, das der arctan(1) = [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] ist
Danke im Voraus
Gruß yuppi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Fr 20.07.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo yuppi!
Bedenke, dass [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] als Gradmaß [mm]45^{\circ}[/mm] entspricht.
Und am Einheitskreis bzw. am entsprechenden gleichschenkligen Dreieck, sollte man auch schnell sehen, dass gilt:
[mm]\tan\left(45^{\circ}\right) \ = \ \tan\left(\bruch{\pi}{4}\right) \ = \ 1[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Fr 20.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Zusammen,
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> wie kann man sich leicht herleiten, das der arctan(1) =
> [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] ist
neben Loddars direkter anschaulicher Erläutertung oder als Erweiterung seiner Erklärung:
Es ist ja [mm] $\tan(x)=\sin(x)/\cos(x)\,.$ [/mm] Und nun gilt [mm] $y=\arctan(1) \gdw \tan(y)=1 \gdw \sin(x)=\cos(x)\,.$
[/mm]
Und am Einheitskreis siehst Du dann, dass [mm] $\sin(x)=\cos(x)$ [/mm] genau dann gilt, wenn das entsprechende Dreieck im ersten Quadranten liegt und gleichschenklig ist - insbesondere ist dann (Pythagoras!) [mm] $\cos(\pi/4)=\sin(\pi)=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\,.$
[/mm]
P.S.
Beachte auch, dass [mm] $\tan_{|(-\pi/2,\;\pi/2)}$ [/mm] eine Bijektion nach [mm] $\IR$ [/mm] ist!
Gruß,
Marcel
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