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| Aufgabe | Es sei V ein Vektorraum über dem Körper K der reellen oder komplexen Zahlen. [mm] (\tau_{j})_{j\in\ J} [/mm] mit J={1,...,k} seien Linearformen auf V*. Zu zeigen ist, dass die Linearformen genau dann linear unabhängig sind, wenn [mm] \tau_{1}\wedge...\wedge\tau_{k}\not=0
[/mm]
(Tut mir leid, wenn etwas nicht richtig dargestellt ist oder wenn etwas fehlt, aber die Eingabe funktioniert leider nur ziemlich schlecht) |
Die [mm] \tau_{j} [/mm] sind linear unabhängig. Das ist gleichbedeutend zu
[mm] \forall I\subseteq J\forall a_{j}\in K:\summe_{j\in I}(a_{j}\tau_{j})\not=0_{K} [/mm] wobei nicht alle [mm] a_{j} [/mm] 0 sind, also [mm] \summe_{j\in I}|a_{j}|\not= [/mm] 0 und [mm] 0_{K} [/mm] die konstante Nullabbildung aus V ist. Aus der Vorlesung, bzw. aus einem Buch, das wir benutzen dürfen ist bekannt, dass
[mm] \tau_{1}\wedge...\wedge\tau_{k}=\bruch{1}{(1!)^{k}}\summe_{\pi\in S_{k}}(sgn(\pi)\produkt_{j\in J}(\tau_{\pi(j)}))=\summe_{\pi\in S_{k}}(sgn(\pi)\produkt_{j\in J}(\tau_{\pi(j)})) [/mm] . Ich bin mir sicher, dass ich diesen Ausdruck für die Aufgabe verwenden soll, weil ich keinen anderen Weg sehe. Könnte mir jemand einen Tipp geben, wie ich das am besten angehe?
LG
Gabor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mi 18.05.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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