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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo ihr alle!
Ich habe eine kleine Frage zur Definiton eines zusammengesetzten Weges.
Hier erstmal die Definition:
Es seien [mm] \gamma_1:[a,b]\to\IC [/mm] , [mm] \gamma_2:[c,d]\to\IC [/mm] Wege mit [mm] \gamma_1(b)=\gamma_2(c) [/mm] . Dann wird der zusammengesetzte Weg [mm] \gamma_2\gamma_1:[a,b+(d-c)]\to\IC [/mm] definiert durch
[mm] t\mapsto\begin{cases} \gamma_1(t), & \mbox{für } t\in[a,b] \mbox{ } \\ \gamma_2(t+c-b), & \mbox{für } t\in[b,b+(d-c)] \mbox{ } \end{cases} [/mm]
Mir ist die hintere Grenze des Intervalls [a,b+(d-c)] bzw. [b,b+(d-c)] nicht klar.
So intuitiv würde ich sagen, dass der zusammengesetze Weg als Definitionsintervall das Intervall [a,d] haben müsste, nämlich von Anfang des [mm] \gamma_1-Intervalls [/mm] bis zum Ende des [mm] \gamma_2-Intervalls.
[/mm]
Ich hab mir jetzt einfach mal ein Beispiel gemacht. Ich nehme mal [mm] \gamma_1:[1,5]\to\IC [/mm] und [mm] \gamma_2:[6,8]\to\IC. [/mm] So, einfach mal ohne Funktionsvorschrift, ich kann mir nichts ausdenken, bei dem End- und Anfangspunkt übereinstimmen 
So, demnach müsste nun der zusammengetzte Weg wie folgt definiert sein:
[mm] \gamma_2\gamma_1:[a,b+(d-c)]\to\IC\gdw\gamma_2\gamma_1:[1,5+(8-6)]\to\IC\gdw\gamma_2\gamma_1:[1,5+2]\to\IC\gdw\gamma_2\gamma_1:[1,7]\to\IC
[/mm]
Das find ich irgendwie voll komisch, dass das Intervall bei 7 endet. Was ist mit der 8? Die muss doch auch noch mit rein, schließlich ist [mm] \gamma_2 [/mm] auf 8 auch definiert?
Schlimmer wirds jetzt noch bei der Funktionsvorschrift:
t wird ja auf [mm] \gamma_2(t+c-b) [/mm] abgebildet, wenn [mm] t\in[b,b+(d-c)], [/mm] also wenn [mm] t\in[5,7].
[/mm]
Aber die 5 gehört doch noch zum Definitionsbereich von [mm] \gamma_1, [/mm] warum wird es dann über die Funktion/Weg [mm] \gamma_2 [/mm] abgebildet? Vor allem könnte ich für die 5 ja beide Zweige nehmen... 5 ist Element von [a,b]=[1,5] und von [b,b+(d-c)]=[5,7].
Irgendwas kann da doch nicht stimmen, oder ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]") Aber ich hab extra nochmal ins Buch geguckt, und es steht so da drin...
Und was ist mit t=8? Das geht in der Abbildungsvorschrift völlig verloren. Weder im ersten Zweig der tauscht es auf, und im zweiten auch nicht. Aber t kann für [mm] \gamma_2 [/mm] doch den Wert 8 annehmen.
Das verstehe ich nicht.
Kann mir jemand helfen?
LG, Nadine
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> Hallo ihr alle!
>
>
>
> Ich habe eine kleine Frage zur Definiton eines
> zusammengesetzten Weges.
>
> Hier erstmal die Definition:
>
>
>
> Es seien [mm]\gamma_1:[a,b]\to\IC[/mm] , [mm]\gamma_2:[c,d]\to\IC[/mm] Wege
> mit [mm]\gamma_1(b)=\gamma_2(c)[/mm] . Dann wird der
> zusammengesetzte Weg [mm]\gamma_2\gamma_1:[a,b+(d-c)]\to\IC[/mm]
> definiert durch
>
> [mm]t\mapsto\begin{cases} \gamma_1(t), & \mbox{für } t\in[a,b] \mbox{ } \\ \gamma_2(t+c-b), & \mbox{für } t\in[b,b+(d-c)] \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
>
>
> Mir ist die hintere Grenze des Intervalls [a,b+(d-c)] bzw.
> [b,b+(d-c)] nicht klar.
Dieses Intervall, $[a,b+(d-c)]$, hat eine Länge, die gerade gleich der Summe der Längen der beiden Intervalle $[a,b]$ und $[c,d]$ ist.
>
> So intuitiv würde ich sagen, dass der zusammengesetze Weg
> als Definitionsintervall das Intervall [a,d] haben müsste,
Ja, unter der Voraussetzung, dass $b=c$, sonst hingegen eher nicht...
> nämlich von Anfang des [mm]\gamma_1-Intervalls[/mm] bis zum Ende des
> [mm]\gamma_2-Intervalls.[/mm]
Das Problem, das mit der etwas "komischen" Wahl des Endpunktes des Parameterintervalls für den zusammengesetzten Weg gelöst werden soll, ist einfach, dass [mm] $b\neq [/mm] c$ sein kann.
> Ich hab mir jetzt einfach mal ein Beispiel gemacht. Ich
> nehme mal [mm]\gamma_1:[1,5]\to\IC[/mm] und [mm]\gamma_2:[6,8]\to\IC.[/mm]
> So, einfach mal ohne Funktionsvorschrift, ich kann mir
> nichts ausdenken, bei dem End- und Anfangspunkt
> übereinstimmen
>
> So, demnach müsste nun der zusammengetzte Weg wie folgt
> definiert sein:
>
> [mm]\gamma_2\gamma_1:[a,b+(d-c)]\to\IC\gdw\gamma_2\gamma_1:[1,5+(8-6)]\to\IC\gdw\gamma_2\gamma_1:[1,5+2]\to\IC\gdw\gamma_2\gamma_1:[1,7]\to\IC[/mm]
>
> Das find ich irgendwie voll komisch, dass das Intervall bei
> 7 endet. Was ist mit der 8? Die muss doch auch noch mit
> rein, schließlich ist [mm]\gamma_2[/mm] auf 8 auch definiert?
Es geht nur darum, ein Parameterintervall für den zusammengesetzten Weg zu haben, dessen Länge gleich der Summe der Längen der Parameterintervalle der Teilwege ist. Die absolute Position des Parameterintervalles des zusammengesetzten Weges ist ohnehin vergleichsweise unerheblich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Somebody!
Vielen Dank für deine Antwort.
Leider hilft sie mir für mein Verständnis nicht wirklich weiter ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Hättest du vielleicht ein Beispiel?
Bzw. wo ist der Denkfehler in meinem Beispiel?
Auch wenn die absolute Position wie du sagst eher unerheblich ist, würde ich es trotzdem gerne wissen.
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Blech |
> So intuitiv würde ich sagen, dass der zusammengesetze Weg als Definitionsintervall das Intervall [a,d] haben müsste, nämlich von
> Anfang des $ [mm] \gamma_1$-Intervalls [/mm] bis zum Ende des $ [mm] \gamma_2$-Intervalls.
[/mm]
Und was machst Du dann in der Lücke zwischen den Intervallen?
> Bzw. wo ist der Denkfehler in meinem Beispiel?
Du hast ein Länge 4 Intervall und ein Länge 2 Intervall. Zusammen ergeben sie ein Länge 6 Intervall. Ob Du jetzt dabei den Parameter von 1 bis 7, 0 bis 6 oder von 20000 bis 20006 laufen läßt ist unerheblich.
(Wenn Du beim Integrieren nur verschiebst, ändert sich der Wert des Integrals nicht:
[mm] $$\int_{[d-c,e-c]} f(\gamma'(t))\ [/mm] dt [mm] \underset{\Rightarrow ds=dt}{\overset{s:=t+c}{=}} \int_{[d,e]}f(\gamma(s))\ [/mm] ds$$
wobei [mm] $\gamma'(t):=\gamma(t+c)$, [/mm] also ein Weg, bei dem wir die Absolutwerte verändert haben.
Hingegen hat eine Änderung der Geschwindigkeit schon einen Einfluß:
[mm] $$\int_{[d/a,e/a]} f(\gamma'(t))\ [/mm] dt [mm] \underset{\Rightarrow ds=adt}{\overset{s:=at}{=}} \frac{1}{a}\int_{[d,e]}f(\gamma(s))\ [/mm] ds$$
wobei [mm] $\gamma'(t):=\gamma(at)$, [/mm] d.h. hier haben wir die Intervallänge geändert.
)
EDIT: Sry, es war zuerst sehr knapp, dann wollte ich es noch etwas erweitern und hab es dabei gehörig verschlimmbessert. Jetzt paßt es denk ich.
Beim ersten verschieben wir das Intervall und kompensieren, indem wir den Parameter zurückverschieben, um im Endeffekt den gleichen Weg zu beschreiten.
Beim zweiten verändern wir die Intervallänge und kompensieren mit der Geschwindigkeit, mit der wir den Weg durchlaufen.
Das erste verändert das Integral nicht, das zweite schon.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Blech!
Auch die danke für deine Antwort.
Leider verstehe ich das immer noch nicht.
Auch nicht, warum t mein Parameter ist.
t ist doch meine ganz normale Funktions-Variable oder nicht ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Und warum ist die Länge des Intervalls so entscheident?
Es muss doch auch die absolute Position entscheident sein, weil davon hängt doch ab, auf welchen Wert abgebildet wird... oder nicht?
Ich steh im Moment (mal wieder) völlig auf' Schlauch....
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Sa 21.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Gretel führt die Kuh Muh in der Zeit von 1Uhr bis 5Uhr auf dem [mm] Weg\gamma1 [/mm] von ihrem Haus [mm] \gamma_1(1) [/mm] zum Baum bei [mm] \gamma_1(5). [/mm] da bindet sie sie fest. Muh frisst eine Stunde lang. Um 6Uhr kommt Hans, bindet Muh ab nennt den Baum [mm] \gamma_2(6) [/mm] und führt sie in der Zeit von 6 bis 8 auf dem Weg [mm] \gamma_2 [/mm] nach [mm] \gamma_2(8) [/mm] dem wirtshaus, wo er sie verkauft, um seine Schulden zu bezahlen.
Muh war also insgesamt 6 Stunden unterwegs.
Wo war sie zur Zeit t? für 1<t<5 bei [mm] \gamma_1(t) [/mm] für 5<t<7 bei [mm] \gamma_2(t+6-5)=\gamma_2(t+1) [/mm] die +1 stammen von der Zeit Muhs am Baum.
so läuft die gezählte Zeit zwar nur von 1 bis 7 aber nach 7 Stunden unterwegs ist sie ja bei [mm] \gamma_2(7+1) [/mm] also am Wirtshaus.
Klar? die Fresszeit von Muh wird für die Länge des Zeitintervalls nicht gerechnet, weils da ja auch keinen Weg gibt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 Di 24.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo leduart!
Vielen Dank für dein tolles Beispiel!
Ich denke, die Sache ist mir nun ein bisschen klarer ![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
LG, Nadine
P.S.: Hast du dir dieses Beispiel selber ausgedacht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Do 03.07.2008 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | | Es sei [mm] \gamma_2:[0,2]\to\IC [/mm] , [mm] \gamma_2(t)=\begin{cases} 1-t*(1+i), & \mbox{für } t\in[0,1] \mbox{ } \\ 1-t+i*(t-2), & \mbox{für } t\in[1,2] \mbox{ } \end{cases}. [/mm] Skizziere [mm] Sp(\gamma_2) [/mm] und berechne [mm] \integral_{\gamma_2}^{}{\bruch{1}{z} dz} [/mm] . |
Hallo!
Ich hab jetzt hier mal eine Aufgabe, bei der ich das Intervall über einen zusammengesetzten Weg berechnen soll.
Aber irgendwie krieg ich das nicht so wirklich hin...
Also erstmal hab ich mir überlegt, dass ich ja das Interal über einen zusammengesetzten Weg aufsplitten kann, nämlich in das Interal über den ersten Weg plus dem Integral über den zweiten Weg.
Wäre dann [mm] \integral_{\gamma_2}^{}{\bruch{1}{z} dz}=\integral_{\gamma_{2,1}}^{}{\bruch{1}{z} dz}+\integral_{\gamma_{2,2}}^{}{\bruch{1}{z} dz}
[/mm]
Aber irgendwie weiß ich garnicht genau wie [mm] \gamma_{2,1} [/mm] und [mm] \gamma_{2,2} [/mm] aussehen.
Allgemein ist mein zusammengesetzter Weg ja wie folgt definiert: [mm] \gamma(t)=\begin{cases} \gamma_1(t), & \mbox{für } t\in[a,b] \mbox{ } \\ \gamma_2(t+c-b), & \mbox{für } t\in[b,b+d-c] \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Wenn ich das nun mit meiner Vorschrift vergleiche, dann kann ich ja jetzt ablesen:
[mm] \gamma_1(t)=1-t*(1+i) [/mm] mit [a,b]=[0,1]
[mm] \gamma_2(t+c-b)=1-t+i*(t-2) [/mm] mit [b,b+d-c]=[1,2]
Und jetzt?
Jetzt weiß ich zwar, wie mein erster Teilweg aussieht, nämlich [mm] \gamma_{2,1}(t)=1-t*(1+i) [/mm] im Intervall [0,1].
Aber was fange ich mit [mm] \gamma_{2,2}(t+c-b)=1-t+i*(t-2) [/mm] im Intervall [1,2] an? Damit kann ich doch garnicht weiterrechnen
Ich brauch doch [mm] \gamma_{2,2}(t) [/mm] ohne b und c... b kenn ich zwar, aber c ja nicht. Ich weiß nur 2=b+d-c. Aber jetzt kenn ich ja d wieder nicht...
Kann mir jemand weiterhelfen?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Do 03.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo nadine
Dein Weg ist doch schon richtig parametrisiert. der erste Weg läuft von t=0 bis 1, der zweite von t=1 bis 2 bei t=1 ist ja (wie du nachrechnen kannst) [mm] \gamma_2_1=\gamma_2_2
[/mm]
warum malst du die Wege nicht auf? da sie linear in t sind, musst du ja nur Anfangs und Endpunkt durch ne Strecke verbinden!
Warum du das alles erst in a,b,c,d umtaufen musst ist mir unklar, vorallem wos gar kein d oder c gibt.
Also 1. Schritt: Weg aufzeichnen, dann siehst du klarer! dass man 2 Teile braucht liegt daran, dass er ne Ecke hat.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mi 16.07.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Leduart!
So, ich hab den Weg jetzt mal gezeichnet. Es ist ein Streckenzug von 1 nach -i nach -1. Ich weiß auch nicht so genau, was ich da mit den a,b,c,d wollte. Ich glaube, ich wollte wissen, wie die Funktionsvorschriften meiner beiden Teilwege sind, und deshalb hab ich da irgendwie versucht mit der Definition rumzubasteln.
Könntest du vielleicht mal über meine Rechnung drübergucken? Ich hatte nämlich ein paar Probleme, mein Tutor hat mir ein paar Sachen angestrichen, die ich nicht verstehe und ich komme auf ein falsches Ergebnis.
[mm] \gamma_{2,1}(t)=1-t(1+i) [/mm] und [mm] \gamma_{2,1}'(t)=-1-i
[/mm]
[mm] \gamma_{2,2}(t)=1-t+i(t-2) [/mm] und [mm] \gamma_{2,1}'(t)=-1+i
[/mm]
[mm] \integral_{\gamma_2}^{}{f(x) dx}=\integral_{\gamma_{2,1}}^{}{f(x) dx}+\integral_{\gamma_{2,2}}^{}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{\gamma_2}^{}{\bruch{1}{z} dx}=\integral_{\gamma_{2,1}}^{}{\bruch{1}{z} dx}+\integral_{\gamma_{2,2}}^{}{\bruch{1}{z} dx}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1-(1+t)}*(-1-i) dt}+\integral_{1}^{2}{\bruch{1}{1-t+i(t-2)}*(-1+i) dt}
[/mm]
Jetzt substituiere ich. Im ersten Integral setze ich a=1-(1+i)*t und im zweiten Integral b=1-t+i*(t-2). Jetzt berechne ich die neuen Grenzen, indem ich einfach meine alten Grenzen für t in die Substitutionsgleichungen einsetze. Damit geht im ersten Integral die Null über in 1 und die 1 über in -i. Analog dann im zweiten Integral. Jetzt hat mir mein Tutor an die Grenzen-Berechnung geschrieben: Geht so nicht, wir arbeiten mit Kurvenintegralen! Aber wie soll ich die Grenzen denn sonst bestimmen?
Naja, ich mach erstmal weiter:
[mm] =\integral_{1}^{-i}{\bruch{1}{a} da}+\integral_{-i}^{-1}{\bruch{1}{b} db}
[/mm]
So, jetzt hat der Tutor mein erstes Integral angestrichen und mich gefragt, was das bedeutet. Hmmm, keine Ahnung. Ja eigentlich, dass mein Weg von 1 nach -i geht. Wobei ich bisher immer dachte, dass die Grenzen, die da am Integral stehen, die Grenzen des Intervalls sind, auf dem [mm] \gamma [/mm] definiert ist. Also wenn [mm] \gamma [/mm] ein Weg [mm] [a,b]\to\IC [/mm] ist, dann schreibt man ja die a und b nach der Wegintegral-Transformation gerade an das Integral. Aber wenn ich das jetzt so mit meinem Bild vergleiche, dann scheinen es ja diesmal eher Anfangs- und Endpunkt der Spur von [mm] \gamma [/mm] zu sein, die Grenzen des Definitionsintervalls standen ja vor der Substitution am Intervall. Hmm, irgendwie verwirrt mich das gerade. Kannst du mir das erklären?
So, dann trotzdem erstmal weiter:
[mm] =\integral_{1}^{-i}{\bruch{1}{a} da}+\integral_{-i}^{-1}{\bruch{1}{a} da}=\integral_{1}^{-1}{\bruch{1}{a} da}
[/mm]
So, jetzt kommt die Bildung der Stammfunktion. Ich habe mal gelernt, dass die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] gleich ln(|x|) ist und nicht ln(x). Wenn ich jetzt allerdings mit ln(|x|) rechne, dann bekomme ich als Stammfunktion ln(|a|) in den Grenzen von 1 bis -1, und wenn ich das dann einsetze, erhalte ich 0. Das ist aber falsch. Laut Buch soll da [mm] -i\pi [/mm] (oder [mm] i\pi, [/mm] ich bin nicht mehr ganz sicher) rauskommen.
Wenn ich jetzt mal ln(x) als Stammfunktion benutze, dann erhalte ich ln(a) in den Grenzen von 1 bis -1 und damit ln(-1)-ln(1). Der ln von 1 ist 0, bleibt also ln(-1). So, ich hab jetzt mal ein bisschen bei Wikipedia geblättert, weil wir den Logaritmus von komplexen Zahlen bis dato noch nicht eingeführt haben. Da stand dann die Formel [mm] ln(-x)=ln(x)+i\pi [/mm] für [mm] x\in\IR^+. [/mm] Damit bin ich dann auf [mm] i\pi [/mm] gekommen. Allerdings hat mir der Tutor dann da ein dickes f für falsch hingemalt ![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]")
So, ich habe keine Ahnung, wie ich dann auf das richtige Ergebnis kommen soll
Kannst du mir vielleicht weiterhelfen?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Mi 16.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Nadine
Du gehst mit dem komplexen Integralen um, wie mit deinen reellen "Schulintegralen". Das geht so leider nicht.
Insbesondere, da ihr den komplexen logaritmus noch nicht hattet.
Was du in Wirklichkeit verkürzt tust ist 1/z genauso integrieren, wie 1/x von -1 bis +1. Das geht so nicht, es gibt zwar den komplexen log, aber er ist nicht eindeutig in der ganzen komplexen Ebene definiert bzw. definierbar!
Dann irgendwas aus wiki zu entnehmen, was ihr noch nicht hattet ist nicht gut!
Ebenso kannst du deine "reellen" Substitutionsregeln nicht einfach so blindlings anwenden.
Du kannst deine Integrale in einen Realteil und einen Imaginärteil aufteilen, i aus dem Imaginärteil ausklammern und DANN aber nur dann mit denen wie mit reellen umgehen, die es dann ja sind.
Deine "Substitution" macht rückgängig, was du mit den Wegen eigentlich erreichen wolltest, nämlich das komplexe integral in ein reelles (bzw eines über Realteil und eines über im. Teil ) überzuführen. NUR SO IST EIN KOMPLEXES INTEGRAL DEFINIERT!
Wenn man 1/z integriert, dann immer in Polarkoordinaten.
Deinen Weg kannst du (nach dem Cauchyschen Integralsatz) in einen Halbkreis von 1 bis -1 deformieren, ohne das Resultat zu ändern. dann ist der Weg [mm] \gamma=1*e^{it} [/mm] t von 0 bis [mm] -\pi
[/mm]
[mm] 1/\gamma*\gamma'=i [/mm] und due hast das Integral
[mm] \integral_{\gamma_2}^{}{\bruch{1}{z} dz}=\integral_0^{-\pi}{\bruch{i*r*e^{it}}{r*e^{it}} dt}=i*\integral_0^{-\pi}{ 1 dt}
[/mm]
was einfach zu lösen ist.
Wenn du mit deinen [mm] \gamma [/mm] arbeiten willst gibts den Weg über Real und imaginärteil, oder Zusammenfassen der 2 Integrale indem du auch den zweiten Weg von 0 bis 1 parametrisierst.
aber so ist das sicher nicht gedacht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Do 14.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo leduart!
> Wenn man 1/z integriert, dann immer in Polarkoordinaten.
Was genau meinst du damit?
> Deinen Weg kannst du (nach dem Cauchyschen Integralsatz) in einen Halbkreis von 1 bis -1 deformieren, ohne das
> Resultat zu ändern. Dann ist der Weg [mm]\gamma=1*e^{it[/mm], t von 0 bis [mm]-\pi[/mm], [mm]1/\gamma*\gamma'=i[/mm] und du hast das Integral [mm]\integral_{\gamma_2}^{}{\bruch{1}{z} dz}=\integral_0^{-\pi}{\bruch{i*r*e^{it}}{r*e^{it}} dt}=i*\integral0^{-\pi}{ 1 dt}[/mm]
Auch das versteh ich nicht. Bei mir lautet der Cauchysche Integralsatz wie folgt:
Es sei [mm] G\subset\IC [/mm] ein konveyes Gebiet, [mm] f:G\to\IC [/mm] eine stetige Funktion, die in G mit evtl. Ausnahme eines Punktes holomorph ist.Dann gilt für jeden in G verlaufenden geschlossenen Integrationsweg: [mm] \integral_{\gamma}^{}{f(x) dx}=0 [/mm]
Ich sehe da keinen Zusammenhang
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Do 14.08.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo nadine
> Hallo leduart!
>
>
>
> > Wenn man 1/z integriert, dann immer in Polarkoordinaten.
>
> Was genau meinst du damit?
dass man nicht z+x+iy sondern [mm] z=r*e^{i\phi} [/mm] verwendet, weil das viel einfacher ist.
> > Deinen Weg kannst du (nach dem Cauchyschen Integralsatz)
> > in einen Halbkreis von 1 bis -1 deformieren, ohne das
> > Resultat zu ändern. Dann ist der Weg [mm]\gamma=1*e^{it[/mm], t von
> > 0 bis [mm]-\pi[/mm], [mm]1/\gamma*\gamma'=i[/mm] und du hast das Integral
> > [mm]\integral_{\gamma_2}^{}{\bruch{1}{z} dz}=\integral_0^{-\pi}{\bruch{i*r*e^{it}}{r*e^{it}} dt}=i*\integral0^{-\pi}{ 1 dt}[/mm]
der letzte teil war ein Druckfehler: richtig ist
[mm]\integral_{\gamma_2}^{}{\bruch{1}{z} dz}=\integral_0^{-\pi}{\bruch{i*r*e^{it}}{r*e^{it}} dt}=i*\integral0^{-\pi}{ 1 dt}[/mm]
> Auch das versteh ich nicht. Bei mir lautet der Cauchysche
> Integralsatz wie folgt:
>
> Es sei [mm]G\subset\IC[/mm] ein konveyes Gebiet, [mm]f:G\to\IC[/mm] eine
> stetige Funktion, die in G mit evtl. Ausnahme eines Punktes
> holomorph ist.Dann gilt für jeden in G verlaufenden
> geschlossenen Integrationsweg: [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(x) dx}=0[/mm]
>
> Ich sehe da keinen Zusammenhang
>
zeichne deinen Weg und den Halbkreis.Das integral ueber die beiden Teile zusammen, also eine Kurve hin, die andere zurueck ist nach dem Integralsatz 0, also ist das ueber die 2 einzelnen wege gleich.
Die idee ist oft nuetzlich , einen komplizierteren weg durch nen einfacheren mit denselben endpunkten zu ersetzen, solange f(z) indem von den 2 kurven eingeschl. gebiet holomorph ist!
Gruss leduart
>
> LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Fr 15.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo leduart!
> > > und du hast das Integral
> > > [mm]\integral_{\gamma_2}^{}{\bruch{1}{z} dz}=\integral_0^{-\pi}{\bruch{i*r*e^{it}}{r*e^{it}} dt}=i*\integral0^{-\pi}{ 1 dt}[/mm]
> der letzte teil war ein Druckfehler: richtig ist
> [mm]\integral_{\gamma_2}^{}{\bruch{1}{z} dz}=\integral_0^{-\pi}{\bruch{i*r*e^{it}}{r*e^{it}} dt}=i*\integral0^{-\pi}{ 1 dt}[/mm]
Ich sehe zwischen den beiden Integralen keinen Unterschied
> zeichne deinen Weg und den Halbkreis.Das integral ueber die
> beiden Teile zusammen, also eine Kurve hin, die andere
> zurueck ist nach dem Integralsatz 0, also ist das ueber
> die 2 einzelnen wege gleich.
Ich habe den Weg und den Halbkreis gezeichnet. Du meinst, wenn ich die beiden Kurven als eine Kurve betrachte, dann habe ich einen geschlossenen Integrationsweg, und das Integral darüber ist nach dem CIS gleich 0. Aber woher weiß ich dass ich mich in einem konvexen Gebiet befinde? Denn nur dann kann ich ihn doch anwenden, oder?
Und wie ist das mit der Orientierung der beiden Wege? Der lineare Weg beginnt ja bei 1 und endet bei -1. Genauso der Halbkreis. Um den geschlossenen Weg zu erhalten, muss ich ja dann von einem der beiden Wege den entgegengesetzten Weg benutzen. Wenn ich nun das Integral über den Halbkreis berechnen will, welchen Weg muss ich dann nehmen? Den "originalen" oder den entgegengesetzten Weg? Weil aufheben tun sich die beiden Integrale doch eigentlich nur, wenn ich den entgegengesetzten Weg betrachte, weil der erhält ja dann in der Berechnung ein Minus vorneweg.
Wäre es dann nicht einfacher, den Halbkreis in der unteren Halbebene von -1 nach 1 laufen zu lassen? Und könnte ich genauso den Halbkreis auch in der oberen Halbebene verlaufen lassen?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Fr 15.08.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo nadine
richtig ist
[mm]\integral_{\gamma_2}^{}{\bruch{1}{z} dz}=\integral_0^{-\pi}{\bruch{i*r*e^{it}}{r*e^{it}} dt}=i*\integral_0^{-\pi}{ 1 dt}[/mm]
Ich hoff jetzt kann mans lesen!
>
> > zeichne deinen Weg und den Halbkreis.Das integral ueber die
> > beiden Teile zusammen, also eine Kurve hin, die andere
> > zurueck ist nach dem Integralsatz 0, also ist das ueber
> > die 2 einzelnen wege gleich.
>
> Ich habe den Weg und den Halbkreis gezeichnet. Du meinst,
> wenn ich die beiden Kurven als eine Kurve betrachte, dann
> habe ich einen geschlossenen Integrationsweg, und das
> Integral darüber ist nach dem CIS gleich 0. Aber woher weiß
> ich dass ich mich in einem konvexen Gebiet befinde? Denn
> nur dann kann ich ihn doch anwenden, oder?
Ja, aber diee Weg von 1 bis -i , und von -i bis -1 beranden jeweils selbst ein konv. Gebiet, es ist auch leicht, ein groesseres konvexes drumrum zu legen, das 0 nicht enthaelt.
Du kannst also, wenn du genau sein willst erstmal nur den halben Weg gehen.
Wenn du von 1 bis -i auf der geraden und dann von -i bis 1 zurueck auf dem kreisstueck gehst ist das Int=0. d,h. die beiden einzelintegrale sind entgegengesetzt gleich, oder die beiden in derselben Richtung sind gleich.
entsprechend fuer den zweiten Teilweg.
Wenn du das fuer die 2 Halbwege gezeigt hast, dann natuerlich auch fuer den ganzen. also ist das integral ueber den halbkreis = dem gesuchten Integral. das ueber den oberen Halbkreis ist ja ein anderer Weg, du kannst den Weg untenrum niccht in einen obenrum deformieren, ohne ueber die 0 zu laufen.
Ausserdem kannst du ja leicht die integrale fuer die 2 wege ausrechnen und vergleichen.
Gruss leduart
>
> Und wie ist das mit der Orientierung der beiden Wege? Der
> lineare Weg beginnt ja bei 1 und endet bei -1. Genauso der
> Halbkreis. Um den geschlossenen Weg zu erhalten, muss ich
> ja dann von einem der beiden Wege den entgegengesetzten Weg
> benutzen. Wenn ich nun das Integral über den Halbkreis
> berechnen will, welchen Weg muss ich dann nehmen? Den
> "originalen" oder den entgegengesetzten Weg? Weil aufheben
> tun sich die beiden Integrale doch eigentlich nur, wenn ich
> den entgegengesetzten Weg betrachte, weil der erhält ja
> dann in der Berechnung ein Minus vorneweg.
>
> Wäre es dann nicht einfacher, den Halbkreis in der unteren
> Halbebene von -1 nach 1 laufen zu lassen? Und könnte ich
> genauso den Halbkreis auch in der oberen Halbebene
> verlaufen lassen?
>
>
>
> LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 So 17.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Leduart!
> richtig ist
> [mm]\integral_{\gamma_2}^{}{\bruch{1}{z} dz}=\integral_0^{-\pi}{\bruch{i*r*e^{it}}{r*e^{it}} dt}=i*\integral_0^{-\pi}{ 1 dt}[/mm]
>
> Ich hoff jetzt kann mans lesen!
Ja, alles super!
> Ja, aber diee Weg von 1 bis -i , und von -i bis -1
> beranden jeweils selbst ein konv. Gebiet, es ist auch
> leicht, ein groesseres konvexes drumrum zu legen, das 0
> nicht enthaelt.
Ok. Was aber ist daran so wichtig, dass die 0 nicht enthalten ist?
> Du kannst also, wenn du genau sein willst erstmal nur den
> halben Weg gehen.
> Wenn du von 1 bis -i auf der geraden und dann von -i bis 1
> zurueck auf dem kreisstueck gehst ist das Int=0.
Ja, aber auch hier wieder mein Problem: Ich weiß nicht, ob ich zur Berechnung mit den beiden "Originalwegen" rechnen muss (die ja beide von 1 nach -i laufen) oder ob ich bei einem der beiden Wege mit dem entgegengesetzten Weg arbeiten muss, also mit [mm] \gamma^{-1} [/mm] (der dann ja von -i nach 1 läuft).
> d,h. diebeiden einzelintegrale sind entgegengesetzt gleich, oder
> die beiden in derselben Richtung sind gleich.
Und wie bekomme ich dann raus, welche der beiden es sind?
> entsprechend fuer den zweiten Teilweg.
> Wenn du das fuer die 2 Halbwege gezeigt hast, dann
> natuerlich auch fuer den ganzen. also ist das integral
> ueber den halbkreis = dem gesuchten Integral.
Hmm, ok.
> das ueber den oberen Halbkreis ist ja ein anderer Weg, du kannst
> den Weg untenrum niccht in einen obenrum deformieren, ohne ueber
> die 0 zu laufen.
Hmm, das verstehe ich nicht. Wieso ist der obere Halbkreis ein anderer Weg und der untere? Und was hat das ganze wieder mit der 0 zu tun? Ist das, weil ich die 0 nicht in [mm] \bruch{1}{z} [/mm] einsetzen darf? Aber eion oberer Halbkreis berührt die 0 doch gar nicht...
> Ausserdem kannst du ja leicht die integrale fuer die 2
> wege ausrechnen und vergleichen.
Das mit dem "normalem" Ausrechnen des Weges hatte ich doch ganz am Anfang dieses Threads versucht. Wo ich doch das i in den Grenzen stehen hatte. Da hattest du mir doch den Tipp gegeben, das Integral eben nicht so, sondern über die Sache mit dem Halbkreis zu berechnen... Wie soll ich es nun leicht ausrechnen
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 So 17.08.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
langsam versteh ich deine Fragen nicht mehr.
1/z ist in 0 nicht holomorph. d.h. fuer jedes Gebiet das 0 enthaelt gilt der CIS nicht.
warum soll der obere Weg gleich dem unteren sein nur weil sie denselben Anfangs und Endpunkt haben? Es kann sein, muss aber nicht! Denk an die Kuh Muh, ob se linksrum um ein Loch geht oder rechtsrum mag zwar dieselbe Weglaenge sei, aber sie muss nicht auf beiden wegen gleichviel zu fressen fnden!
Die Frage nach der Richtung versteh ich nicht: dein gegebener Weg geht von 1 ueber -i nach -1 der untere Halbkreis auch. wenn Int von A ueber B nach auf dem weg AB=g1 und BA=g2 0ist gilt doch
[mm] \integral_{A}^{A}{g(t) dt}=0=\integral_{A}^{B}{g1(t) dt}+\integral_{B}^{A}{g2(t) dt}
[/mm]
und damit
[mm] \integral_{A}^{B}{g1(t) dt}=-\integral_{B}^{A}{g2(t) dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{A}^{B}{g2(t) dt}
[/mm]
dabei ist etwa g1 das Geradenstueck und g2 das Kreisstueck, g der aus den zweien zusammengestzte Weg!
ist es jetzt noch klarer?
Mit 2 Wege nehmen meinte ich den Halbkreis unten rum und den Halbkreis oben rum!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo leduart!
> langsam versteh ich deine Fragen nicht mehr.
Ich glaube, ich seh im Moment einfach den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr...
> [mm]\integral_{A}^{A}{g(t) dt}=0=\integral_{A}^{B}{g1(t) dt}+\integral_{B}^{A}{g2(t) dt}[/mm]
>
> und damit
> [mm]\integral_{A}^{B}{g1(t) dt}=-\integral_{B}^{A}{g2(t) dt}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{A}^{B}{g2(t) dt}[/mm]
Hierzu noch kurz eine Frage: Da es sich im Moment ja noch um Wegintegrale (also g, [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] sind ja Wege) handelt, müsste es dann nicht eigentlich so heißen:
[mm] \integral_{A}^{A}{g(t) dt}=0=\integral_{A}^{B}{g1(t) dt}+\integral_{B}^{A}{g2(t) dt}
[/mm]
[mm] \to \integral_{g}^{}{\bruch{1}{z}dz}=0=\integral_{g_1}^{}{\bruch{1}{z}dz}+\integral_{g_2}^{}{\bruch{1}{z}dz}
[/mm]
So, ich hab das Ganze jetzt anhand deiner Vorgaben mal versucht zu berechnen. Vielleicht könntest du da mal drüber schauen? Das wäre echt nett.
[mm] \integral_{g}^{}{\bruch{1}{z}dz}=0
[/mm]
[mm] \integral_{g}^{}{\bruch{1}{z}dz}=\integral_{g_1}^{}{\bruch{1}{z}dz}+\integral_{g_2}^{}{\bruch{1}{z}dz}
[/mm]
[mm] \gdw \integral_{g_1}^{}{\bruch{1}{z}dz}+\integral_{g_2}^{}{\bruch{1}{z}dz}=0
[/mm]
[mm] \gdw \integral_{g_1}^{}{\bruch{1}{z}dz}=-\integral_{g_2}^{}{\bruch{1}{z}dz}=\integral_{g_2^{-1}}^{}{\bruch{1}{z}dz}
[/mm]
Soweit ja das, was du mir gesagt hattest. Dabei ist [mm] g_1 [/mm] der Weg über die Gerade (von 1 nach -1) und [mm] g_2 [/mm] ist der Weg über den Halbkreis (von 1 nach -1).
So, um nun zu berechnen, was das Integral über die Gerade ist, kann ich entweder das Integral über [mm] g_2 [/mm] berechnen (mit dem Minus davor) oder aber auch das Integral über [mm] g_2^{-1}. [/mm] Ist das soweit richtig?
[mm] g_2(t)=e^{it} [/mm] mit [mm] t\in[0,-\pi] [/mm] und [mm] g_2'(t)=ie^{it}
[/mm]
[mm] \gdw \integral_{g_1}^{}{\bruch{1}{z}dz}=-\integral_{g_2}^{}{\bruch{1}{z}dz}=-\integral_{0}^{-\pi}{\bruch{1}{e^{it}}*ie^{it} dt}=-i*\integral_{0}^{-\pi}{1 dt}=-i[/mm] [t][mm] _0^{-\pi}=-i*(-\pi-0)=i\pi
[/mm]
Ist das so richtig?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:39 Di 19.08.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast nicht genau gelesen: mein Weg g2 war von B nach A, [mm] g^{-1} [/mm] ist schlecht fuer den umgekehrten Weg, du meinst ja nicht die Umkehrfkt sondern den Weg von A nach B.
Unser Ergebnis war, dass die Geraden wege von A nach B und die Kreisboegen dasselbe Integral ergeben!
also ist da - vor deinem Integral falsch! der Rest ist richtig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Di 19.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo leduart!
> Du hast nicht genau gelesen: mein Weg g2 war von B nach A,
Oh ja, ich habe beide Wege bei 1 starten lassen, und bin dann nach -1 gegangen. Jetzt lasse ich den Halbkreis bei -1 starten und nach 1 laufen.
> [mm]g^{-1}[/mm] ist schlecht fuer den umgekehrten Weg, du meinst ja
> nicht die Umkehrfkt sondern den Weg von A nach B.
Sowohl in unserer Vorlesung als auch in dem Buch, das wir hauptsächlich benutzen (Fischer/Lieb: Funktionentheorie) wird der entgegengesetzte Weg mit [mm] \gamma^{-1} [/mm] bezeichnet, deshalb meine Notation.
So, hier nochmal meine korrigierte Rechnung.
Das hier war ja soweit noch richtig: [mm] \gdw \integral_{g_1}^{}{\bruch{1}{z}dz}=-\integral_{g_2}^{}{\bruch{1}{z}dz}=\integral_{g_2^{-1}}^{}{\bruch{1}{z}dz}
[/mm]
Jetzt mal die Angabe der Wege:
[mm] g_1 [/mm] ist die Gerade von 1 nach -1
[mm] g_2 [/mm] ist der Halbkreis von -1 nach 1
[mm] g_2^{-1} [/mm] ist der Halbkreis von 1 nach -1
Parametrisierung von [mm] g_2: g_2(t)=e^{it} [/mm] mit [mm] t\in[-\pi,0]
[/mm]
Parametrisierung von [mm] g_2^{-1}: g_2^{-1}(t)=e^{it} [/mm] mit [mm] t\in[0,-\pi]
[/mm]
Hier einmal die Rechnung mit dem Weg [mm] g_2^{-1}:
[/mm]
[mm] \integral_{g_1}^{}{\bruch{1}{z}dz}=\integral_{g_2^{-1}}^{}{\bruch{1}{z}dz}=\integral_{0}^{-\pi}{\bruch{1}{e^{it}}\cdot{}ie^{it} dt}=i\cdot{}\integral_{0}^{-\pi}{1 dt}=i*(-\pi-0)=-i\pi
[/mm]
Und einmal mit dem Weg [mm] g_2:
[/mm]
[mm] \integral_{g_1}^{}{\bruch{1}{z}dz}=-\integral_{g_2}^{}{\bruch{1}{z}dz}=-\integral_{-\pi}^{0}{\bruch{1}{e^{it}}\cdot{}ie^{it} dt}=-i\cdot{}\integral_{-\pi}^{0}{1 dt}=-i*(0-(-\pi))=-i\pi
[/mm]
Jetzt müsste es aber stimmen, oder?
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
ich kann in deiner Rechnung keinen Fehler mehr finden.
>
> > Du hast nicht genau gelesen: mein Weg g2 war von B nach
> A,
>
> Oh ja, ich habe beide Wege bei 1 starten lassen, und bin
> dann nach -1 gegangen. Jetzt lasse ich den Halbkreis bei -1
> starten und nach 1 laufen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > [mm]g^{-1}[/mm] ist schlecht fuer den umgekehrten Weg, du meinst ja
> > nicht die Umkehrfkt sondern den Weg von A nach B.
>
> Sowohl in unserer Vorlesung als auch in dem Buch, das wir
> hauptsächlich benutzen (Fischer/Lieb: Funktionentheorie)
> wird der entgegengesetzte Weg mit [mm]\gamma^{-1}[/mm] bezeichnet,
> deshalb meine Notation.
mir ist diese Notation auch geläufig
> So, hier nochmal meine korrigierte Rechnung.
>
> Das hier war ja soweit noch richtig: [mm]\gdw \integral_{g_1}^{}{\bruch{1}{z}dz}=-\integral_{g_2}^{}{\bruch{1}{z}dz}=\integral_{g_2^{-1}}^{}{\bruch{1}{z}dz}[/mm]
> Jetzt mal die Angabe der Wege:
> [mm]g_1[/mm] ist die Gerade von 1 nach -1
> [mm]g_2[/mm] ist der Halbkreis von -1 nach 1
> [mm]g_2^{-1}[/mm] ist der Halbkreis von 1 nach -1
> Parametrisierung von [mm]g_2: g_2(t)=e^{it}[/mm] mit [mm]t\in[-\pi,0][/mm]
> Parametrisierung von [mm]g_2^{-1}: g_2^{-1}(t)=e^{it}[/mm] mit
> [mm]t\in[0,-\pi][/mm]
> Hier einmal die Rechnung mit dem Weg [mm]g_2^{-1}:[/mm]
>
> [mm]\integral_{g_1}^{}{\bruch{1}{z}dz}=\integral_{g_2^{-1}}^{}{\bruch{1}{z}dz}=\integral_{0}^{-\pi}{\bruch{1}{e^{it}}\cdot{}ie^{it} dt}=i\cdot{}\integral_{0}^{-\pi}{1 dt}=i*(-\pi-0)=-i\pi[/mm]
>
> Und einmal mit dem Weg [mm]g_2:[/mm]
>
> [mm]\integral_{g_1}^{}{\bruch{1}{z}dz}=-\integral_{g_2}^{}{\bruch{1}{z}dz}=-\integral_{-\pi}^{0}{\bruch{1}{e^{it}}\cdot{}ie^{it} dt}=-i\cdot{}\integral_{-\pi}^{0}{1 dt}=-i*(0-(-\pi))=-i\pi[/mm]
>
>
>
> Jetzt müsste es aber stimmen, oder?
ja
Viele Grüße
Adamantan
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Guten Tag
Eine, nein zwei Fragen an die Allgemeinheit hätte ich dann doch noch
> Das hier war ja soweit noch richtig: [mm]\gdw \integral_{g_1}^{}{\bruch{1}{z}dz}=-\integral_{g_2}^{}{\bruch{1}{z}dz}=\integral_{g_2^{-1}}^{}{\bruch{1}{z}dz}[/mm]
>
> Jetzt mal die Angabe der Wege:
> [mm]g_1[/mm] ist die Gerade von 1 nach -1
> [mm]g_2[/mm] ist der Halbkreis von -1 nach 1
> [mm]g_2^{-1}[/mm] ist der Halbkreis von 1 nach -1
> Parametrisierung von [mm]g_2: g_2(t)=e^{it}[/mm] mit [mm]t\in[-\pi,0][/mm]
> Parametrisierung von [mm]g_2^{-1}: g_2^{-1}(t)=e^{it}[/mm] mit
> [mm]t\in[0,-\pi][/mm]
Hier stellt sich mir die Frage, warum die Intervallangabe geändert werden muss. Ich habe ein Stück aus einem Gebiet mit einem Wert. Dem Stück ist es doch m.M. nach völlig egal, ob so rum oder so rum. Dass es für die Ober- und Untergrenze im Integral nicht egal ist, weiß ich. Aber wenn ich das Intervall angebe, dürfte es doch eigentlich keine Rolle spielen, oder?
Zusatzfrage (vielleicht habe ich es irgendwo übersehen oder bringe da gerade etwas ganz arg durcheinander, dann sorry): Warum liegt die 0 im Intervall, wenn [mm] f(z)=\bruch{1}{z} [/mm] bei 0 gar nicht definiert ist?
Viele Grüße
Adamantan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Do 18.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hier geht was durcheinander: Du musst die Definition des Wegintegrals ueber eine komplexe Funktion kennen? Auf dem Weg liegt natuerlich nicht der Punkt z=0, sondern der Weg fuehrt um z=0 rum! (hier nur halb rum)
2. integriert man auf einem geschlossenen Weg, innerhalb dessen kein wesentlicher Pol liegt, ergibt das Integral 0. deshalb ist das Integral von a nach b und dann zurueck von b nach a 0, d.h. das zweite muss das negative des ersten sein.
Den Satz: ich hab ein Stueck aus einem Gebiet mit einem Wert versteh ich in dem Zusammenhang nicht! kannst du deine frage genauer stellen?
Gruss leduart
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Hallo Leduart,
> Hallo
> Hier geht was durcheinander: Du musst die Definition des
> Wegintegrals ueber eine komplexe Funktion kennen? Auf dem
> Weg liegt natuerlich nicht der Punkt z=0, sondern der Weg
> fuehrt um z=0 rum! (hier nur halb rum)
> 2. integriert man auf einem geschlossenen Weg, innerhalb
> dessen kein wesentlicher Pol liegt, ergibt das Integral 0.
> deshalb ist das Integral von a nach b und dann zurueck von
> b nach a 0, d.h. das zweite muss das negative des ersten
> sein.
ok, danke.
> Den Satz: ich hab ein Stueck aus einem Gebiet mit einem
> Wert versteh ich in dem Zusammenhang nicht! kannst du deine
> frage genauer stellen?
oh Verzeihung, mit Gebiet ist natürlich in der Mathematik was Spezielles gemeint. Ich hatte diesen Begriff ohne Hintergedanken verwendet. Was ein Intervall ist, ist mir klar. Wenn ich jetzt eine Funktion nur innerhalb eines Intervalls betrachte, dann spielt es doch keine Rolle, ob ich es von links oder rechts angehe. Noch einmal das Beispiel aus dem Artikel von Nadine:
Parametrisierung von [mm] g_2: g_2(t)=e^{it} [/mm] mit [mm] t\in[-\pi,0] [/mm]
Parametrisierung von [mm] g_2^{-1}: g_2^{-1}(t)=e^{it} [/mm] mit [mm] t\in[0,-\pi]
[/mm]
hier steht in beiden Fällen, dass ich ein t nehmen muss, wobei: [mm] -\pi\le t\le0
[/mm]
Da ja schon mit [mm] g_2^{-1} [/mm] angezeigt wird, dass ich mich in entgegengesetzter Richtung bewege, würde es ja mit dem umgekehrten Intervall bedeuten, ich laufe wieder in dieselbe Richtung. Das will ich doch gar nicht, oder vertue ich mich da?
Ich hoffe jetzt ist die Frage genauer gestellt.
Viele Grüße
Adamantan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Do 18.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du auf dem Einheitskreis laeufst ist die fkt IMMER [mm] z=e^{it}. [/mm] deshalb hat g und g^(-1) dieselbe Form. wenn du von 0 bis [mm] \pi [/mm] laeufst bewegst du dich von z=1 obenrum bis z=-1. wenn du dich von [mm] \pi [/mm] bis 0 bewegst faengst du bei z=-1 an und bewegst dich im Uhrzeigersinn nach z=1, gehst also den Weg andersrum. entsprechen t=0 bis [mm] -\pi [/mm] laeufst gehst du im Uhrzeigersinn unten rum von z=1 bis z=-1
bei t von -1 bis 0 umgekehrt!
War das die Frage? Wenn du im reellen integriest und f(x) von o bis -1 integrierst bekommst du doch auch das negative dessen raus, was du bei Integration von -1 bis 0 hast.
Gruss leduart
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Hallo Leduart,
> Hallo
> Wenn du auf dem Einheitskreis laeufst ist die fkt IMMER
> [mm]z=e^{it}.[/mm] deshalb hat g und g^(-1) dieselbe Form. wenn du
> von 0 bis [mm]\pi[/mm] laeufst bewegst du dich von z=1 obenrum bis
> z=-1. wenn du dich von [mm]\pi[/mm] bis 0 bewegst faengst du bei
> z=-1 an und bewegst dich im Uhrzeigersinn nach z=1, gehst
> also den Weg andersrum. entsprechen t=0 bis [mm]-\pi[/mm] laeufst
> gehst du im Uhrzeigersinn unten rum von z=1 bis z=-1
> bei t von -1 bis 0 umgekehrt!
> War das die Frage? Wenn du im reellen integriest und f(x)
> von o bis -1 integrierst bekommst du doch auch das negative
> dessen raus, was du bei Integration von -1 bis 0 hast.
genau und daher war die Frage warum Weg [mm] \red{und} [/mm] Intervall umgekehrt notiert werden, denn genau dann erhalte ich [mm] \red{nicht} [/mm] das Negative, das ich eigentlich wollte.
Viele Grüße
Adamantan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Do 18.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Versteh ich nicht! Was meinst du mit Weg? Der Halbkreisbogen ?
Der wird doch nur andersrum durchlaufen, es ist doch kein anderes "Ding" Der Weg wird durch [mm] e^{it} [/mm] beschrieben, die Richtung des Durchlaufens durch die Abfolge der t.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Adamantan |
Hallo Leduart,
> Hallo
> Versteh ich nicht! Was meinst du mit Weg? Der
> Halbkreisbogen ?
ja, genau den.
> Der wird doch nur andersrum durchlaufen, es ist doch kein
> anderes "Ding" Der Weg wird durch [mm]e^{it}[/mm] beschrieben, die
> Richtung des Durchlaufens durch die Abfolge der t.
aber die Integrationsgrenzen werden getauscht und das Intervall wird umgedreht, also passiert quasi nichts und das sehe ich als falsch an. Entweder man dreht die Grenzen um oder man dreht das Intervall um, aber nicht beides. Ich wollte nur wissen, ob ich das richtig sehe oder ob es völlig belanglos ist. Was ich weiß, dass es auf jeden Fall nicht lebensnotwendig ist, das zu erfahren.
Es grüßt herzlichst euer
Adamantan
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