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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Coxy |
| Aufgabe | Berechne die folgenden Wegintegrale
[mm] \integral_{}^{}{F dx} [/mm]
über F und dx ist ein Vektorpfeil (kann man den hier im Forum auch irgendwie machen)
a) [mm] F(x,y)=\vektor{\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}}\\ \bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2}}}
[/mm]
[mm] c:x(t)=\vektor{3t \\ 4t}
[/mm]
[mm] t\in[1,5] [/mm] |
Leider weiß ich nicht wie ich so recht mit der Aufgabe anfangen soll.
Muss ich für x=3t und für y=4t einsetzen?
Und danach den Betrag von F ausrechnen?
Oder muss ich ganz anders vorgehen?
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Hallo Coxy,
> Berechne die folgenden Wegintegrale
> [mm]\integral_{}^{}{F dx}[/mm]
> über F und dx ist ein Vektorpfeil (kann man den hier im
> Forum auch irgendwie machen)
>
Z.B. so:
d\overrightarrow{x}
Das ergibt:
[mm]d\overrightarrow{x}[/mm]
> a) [mm]F(x,y)=\vektor{\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}}\\ \bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2}}}[/mm]
>
> [mm]c:x(t)=\vektor{3t \\ 4t}[/mm]
>
> [mm]t\in[1,5][/mm]
> Leider weiß ich nicht wie ich so recht mit der Aufgabe
> anfangen soll.
> Muss ich für x=3t und für y=4t einsetzen?
Ja.
> Und danach den Betrag von F ausrechnen?
> Oder muss ich ganz anders vorgehen?
Du musst den Vektor F
und das Differential [mm]d\overrightarrow{x}[/mm] ausrechnen.
Diese beiden miteinander skalar multiplizieren und integrieren.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Coxy |
Also wenn ich für x=3t und für y=4t einsetze erhalte ich
[mm] \overrightarrow{F}=\vektor{\bruch{3t}{\wurzel{(3t)^2+(4t)^2}} \\ \bruch{4t}{\wurzel{(3t)^2+(4t)^2}}}
[/mm]
Nur was muss ich jetzt machen?
Wenn man die Brüche ausrechnet fällt die Variable t weg.
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Tach,
es gilt
[mm] \int\limits_\gamma \mathbf{f}(\mathbf{x})\cdot\mathrm d\mathbf{x}=\int\limits_a^b \mathbf{f}(\gamma(t)) \cdot \dot\gamma(t)\,\mathrm{dt}
[/mm]
Die Kurve hast du ja schon in den Vektorfeld eingesetzt. Jetzt solltest du noch die Ableitung von der Kurve bilden. Dann skalar multiplizieren.
Mal nebenbei: Ihr habt für den Weg geschrieben: [mm] c:x=(x_1(t),x_2(t))^T
[/mm]
Das ist eigentlich nicht zu empfehlen und kann zu Verwirrungen kommen, wenn x selbst ist auch eine Variable im Vektorfeld [mm] \vec{F}.
[/mm]
Die Berechnung des Kurvenintegrals ist hier straight forward. Formel nehmen und einfach berechnen.
Liebe Grüße!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Coxy |
Ich hab es leider nicht immer noch nicht ganz verstanden aber ich versuch es mal:
Also nach erhalte ich
[mm] \integral_{1}^{5}{\bruch{3}{5}+\bruch{4}{5} dt}
[/mm]
Also erhalte ich für das Wegintegral [mm] \bruch{7}{5}
[/mm]
Ist das so richtig?
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Hallo Coxy,
> Ich hab es leider nicht immer noch nicht ganz verstanden
> aber ich versuch es mal:
> Also nach erhalte ich
>
> [mm]\integral_{1}^{5}{\bruch{3}{5}+\bruch{4}{5} dt}[/mm]
Offenbar hast Du das Differential [mm]d\overrightarrow{x}[/mm] nicht berücksichtigt.
> Also
> erhalte ich für das Wegintegral [mm]\bruch{7}{5}[/mm]
> Ist das so richtig?
Nein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Coxy |
Wie berücksichtige ich dass denn richtig?
Was genau muss ich machen?
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Hallo Coxy,
> Wie berücksichtige ich dass denn richtig?
> Was genau muss ich machen?
Das hat Dir mein Vorredner hier geschrieben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Coxy |
Danke aber mein Problem ist das ich nicht weiß wofür was in der Formel steht.
[mm] \int\limits_\gamma \mathbf{f}(\mathbf{x})\cdot\mathrm d\mathbf{x}=\int\limits_a^b \mathbf{f}(\gamma(t)) \cdot \dot\gamma(t)\,\mathrm{dt}
[/mm]
Mein F ist vermutlich f(x).
Was ist aber dx, woher bekomme ich das aus meinen gegebenen Werten.
Was [mm] f(\gamma(t) [/mm] ? Wofür steht das?
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Hallo Coxy,
> Danke aber mein Problem ist das ich nicht weiß wofür was
> in der Formel steht.
> [mm]\int\limits_\gamma \mathbf{f}(\mathbf{x})\cdot\mathrm d\mathbf{x}=\int\limits_a^b \mathbf{f}(\gamma(t)) \cdot \dot\gamma(t)\,\mathrm{dt}[/mm]
>
> Mein F ist vermutlich f(x).
Richtig.
> Was ist aber dx, woher bekomme ich das aus meinen
> gegebenen Werten.
Bilde hier die Ableitung der Kurve [mm]\gamma[/mm]nach t.
> Was [mm]f(\gamma(t)[/mm] ? Wofür steht das?
Setze hier die Kurve [mm]\gamma(t)[/mm] in f(x) ein.
Konkret: Setze in F für x=3t und für y=4t ein.
Gruss
MathePower
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Hallo,
also noch einmal langsam.
Berechnen sollst du ja folgendes:
[mm] \int_\gammaF(x)dx
[/mm]
für folgende Werte
[mm] \gamma:t\to(x(t),y(t))=(3t,4t) [/mm] und [mm] t\in(1,5)
[/mm]
und das Vektorfeld
[mm] F(x,y)=\vektor{\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}}\\ \bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2}}}
[/mm]
Nun haben wir eine Definition für die Berechnung dieses Kurvenintegrals, welches eben genau so lautet:
[mm] \int\limits_\gamma \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\mathrm d\mathbf{x}=\int\limits_a^b \mathbf{F}(\gamma(t)) \cdot \dot\gamma(t)\,\mathrm{dt}
[/mm]
Das F und x ist lediglich fett geschrieben, damit es einen vektor symbolisiert. Wir können das nun für uns auf folgendes herunterbrechen:
[mm] \int\limits_\gamma F(x,y)\cdot\mathrm d\mathbf{(x,y)}=\int\limits_a^b F(\gamma(t)) \cdot \dot\gamma(t)\,\mathrm{dt}
[/mm]
Wir haben im Prinzip 2 wichtige Komponente, die wir nun einzeln berechnen:
1) [mm] F(\gamma(t))
[/mm]
Ja, was ist das? Oder besser gesagt, was macht man? Man setzt die erste Komponente von der Weg-Parametrisierung in die erste Komponente von F ein und entsprechend das ganze auch mit der zweiten Komponente.
Also
[mm] F(\gamma(t))=\vektor{\bruch{3t}{\wurzel{(3t)^2+(4t)^2}}\\ \bruch{4t}{\wurzel{(3t)^2+(4t)^2}}}=\vektor{\frac{3}{5}\\ \frac{4}{5}}
[/mm]
2) [mm] \dot\gamma(t)
[/mm]
Der Punkt über [mm] \gamma [/mm] bedeutet, dass man nach der Zeit ableitet. Das ist hier natürlich [mm] \dot\gamma(t)=\vektor{3}{4}
[/mm]
So, und was steht nun bei unserm Kurvenintegral?
[mm] I:=\int\limits_\gamma F(x,y)\cdot\mathrm d\mathbf{(x,y)}=\int\limits_a^b F(\gamma(t)) \cdot \dot\gamma(t)\,\mathrm{dt}=\int_1^5\vektor{\frac{3}{5}\\ \frac{4}{5}}\vektor{3}{4}dt
[/mm]
Das ist aber ein stinknormales Skalarprodukt, sodass wir erhalten
[mm] I=\int_1^5)\frac{9}{5}+\frac{16}{5}dt=\int_1^55dt=5\int_1^5dt=5*4=20
[/mm]
Ja, das wars auch schon.
Ist dir das Vorgehen mittlerweile etwas klarer?
Wichtig ist eben, dass du exakt die Formel kennst:
[mm] \int\limits_\gamma \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\mathrm d\mathbf{x}=\int\limits_a^b \mathbf{F}(\gamma(t)) \cdot \dot\gamma(t)\,\mathrm{dt}
[/mm]
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Fr 20.06.2014 | | Autor: | fred97 |
F besitzt eine Stammfunktion !
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Coxy |
Wenn ich x=3t und y=4t setze was ich ja bereits weiter oben gemacht habe bekomme ich
[mm] \overrightarrow{F}= \vektor{\bruch{3}{5} \\ \bruch{4}{5}}
[/mm]
dx soll ja die Ableitung von [mm] \gamma(t) [/mm] bzw. c sein also
[mm] \gamma(t)= \vektor{3 \\ 4}
[/mm]
heißt das ich bekommt für den linken Term
[mm] \vektor{\bruch{3}{5} \\ \bruch{4}{5}} \vektor{3 \\ 4}
[/mm]
aber was ist mit ?
[mm] \int\limits_a^b \mathbf{f}(\gamma(t)) \cdot \dot\gamma(t)\,\mathrm{dt}
[/mm]
Ist [mm] \gamma(t) [/mm] mein [mm] \overrightarrow{x} [/mm] ?
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Hallo Coxy,
> Wenn ich x=3t und y=4t setze was ich ja bereits weiter oben
> gemacht habe bekomme ich
>
> [mm]\overrightarrow{F}= \vektor{\bruch{3}{5} \\ \bruch{4}{5}}[/mm]
>
> dx soll ja die Ableitung von [mm]\gamma(t)[/mm] bzw. c sein also
>
> [mm]\gamma(t)= \vektor{3 \\ 4}[/mm]
>
> heißt das ich bekommt für den linken Term
> [mm]\vektor{\bruch{3}{5} \\ \bruch{4}{5}} \vektor{3 \\ 4}[/mm]
>
> aber was ist mit ?
> [mm]\int\limits_a^b \mathbf{f}(\gamma(t)) \cdot \dot\gamma(t)\,\mathrm{dt}[/mm]
>
> Ist [mm]\gamma(t)[/mm] mein [mm]\overrightarrow{x}[/mm] ?
>
Ja.
Es ist doch
[mm]\mathbf{f}(\gamma(t)) \cdot \dot\gamma(t)\,=\vektor{\bruch{3}{5} \\ \bruch{4}{5}} \vektor{3 \\ 4}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Coxy |
Okay das bringt mich schon ein Stück weiter
dann mach ich doch nur noch folgendes oder?
[mm] \integral_{1}^{5}{(\bruch{3}{5}*3+\bruch{4}{5}*4) dt}
[/mm]
Dies entspricht ja
[mm] (9+16)-(\bruch{9}{5}+\bruch{16}{5})
[/mm]
was dann ja 20 enstpricht
ist das jetzt richtig?
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Hallo Coxy,
> Okay das bringt mich schon ein Stück weiter
> dann mach ich doch nur noch folgendes oder?
>
> [mm]\integral_{1}^{5}{(\bruch{3}{5}*3+\bruch{4}{5}*4) dt}[/mm]
>
> Dies entspricht ja
> [mm](9+16)-(\bruch{9}{5}+\bruch{16}{5})[/mm]
> was dann ja 20 enstpricht
> ist das jetzt richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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