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| Aufgabe | Es sei M eine Menge.
Eine formale Linearkombination von Elementen aus M ist ein Ausdruck der Form [mm] \summe_{m \in M} a_{m}m [/mm] wobei [mm] a_{m}=0 [/mm] für fast alle m [mm] \in [/mm] M.
Es sei G ein Gebiet.
Zwei formale Linearkombinationen mit Koeffizienten in [mm] \IZ [/mm] von Kurven in G heißen (als Ketten) äquivalent, wenn sie sich um eine Linearkombination aus folgenden Objekten unterscheiden:
[mm] n * \gamma - (sign \phi ' * n) \circ \gamma \circ \phi
n * \gamma - n * \gamma_[a,c] - n* \gamma_[c,b] [/mm]
wobei [mm] \gamma [/mm] : [a,b] [mm] \to [/mm] G eine Kurve, n [mm] \in \IZ, \phi [/mm] : [d,v] [mm] \to [/mm] [a,b] stückweiser [mm] C^{1}-Diffeomorphismus, [/mm] c [mm] \in [/mm] [a,b]
Eine Äquivalenzklasse solche Linearkombinationen heißt (eine ganzzahlige 1-) Kette in G.
Die Menge aller ganzzahligen 1-Ketten in G bezeichnen wir mit C(G).
Der Rand dc einer Kette c [mm] \in [/mm] C(G) ist eine formale Linearkombination von Punkten in G.
Sei also [mm] c=n_{1}[ \gamma_{1}]+...+n_{k}[ \gamma_{k}] [/mm] Kette mit [mm] \gamma_{j} [/mm] : [mm] [a_{j},b_{j}] \to [/mm] G,
dann ist [mm] dc=n_{1}[ \gamma_{1} [/mm] * [mm] b_{1}]-n_{1}[ \gamma_{1} [/mm] * [mm] a_{1}]+...+n_{k}[ \gamma_{k} [/mm] * [mm] b_{k}]-n_{k}[ \gamma_{k} [/mm] * [mm] a_{k}].
[/mm]
Eine Kette heißt geschlossen oder kurz Zykel, wenn dc=0. Die Menge aller (ganzzahligen 1-)Zykel in G bezeichnen wir mit Z(G). |
Hallo!
Ich habe im Skript zu Kette und Zykel sehr langwierige Definitionen (siehe oben), die mich vollkommen verwirrt zurücklassen. Im Internet habe ich leider ebenfalls nichts, was mir helfen würde, gefunden.
Könnte mir jemand erklären, wie ich mir das vorstellen kann?
Das wäre super!
Grüßle, Lily
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Hallo,
ich tu mich etwas schwer deine Angabe zu lesen.
Wenn mehr als ein Zeichen als Index/ Exponent dargestellt werden soll muss das ein geschweifte Klammern [mm] $x_{Index}^{Exponent}$ [/mm] (TeX-Code ersichtlich durch Mouseover).
Wobei ich nicht weiß was z.B. [mm] $\gamma_{[a,b]}$ [/mm] sein soll.
Genauso wenig sehe ich in der letzten Def. was [mm] $\gamma_i *a_i$ [/mm] sein soll, das wäre das Produkt einer Kurve mit einer reellen Zahl.
Ich vermute stark es soll eigentlich [mm] $\gamma_i (a_i)$ [/mm] heißen, d.h. der Anfangswert der Kurve.
Auch wird normalerweise [mm] $a_m \in \mathbb [/mm] Z$ gefordert.
Ich kenn es so:
Eine Kette ist ein Element der von allen Wegen erzeugten freie abelsche Gruppe, also von der Form: [mm] $\sum_\gamma n_\gamma \gamma [/mm] $, d.h. Wege gezählt mit ganzzahligen Vielfachheiten. Bildlich: Wege, gezählt so oft wie man sie durchläuft, negative Zahlen zählen als Gegenrichtung.
Ein Zykel ist ein Weg "bei dem immer da wieder rauskommt wo man angefangen hat", mathematisch:
[mm] $\sum_\gamma n_\gamma (\gamma [/mm] (0)- [mm] \gamma(1)=0$
[/mm]
(als Summe in den komplexen Zahlen) wobei o.E. die Kurven gegeben sind durch Parametrisierungen $ [mm] \gamma: [/mm] [0,1] [mm] \to \mathbb [/mm] C$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 21.08.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Hallo! > Hallo,
>
> ich tu mich etwas schwer deine Angabe zu lesen.
Das tut mir Leid!
> Wenn mehr als ein Zeichen als Index/ Exponent dargestellt
> werden soll muss das ein geschweifte Klammern
> [mm]x_{Index}^{Exponent}[/mm] (TeX-Code ersichtlich durch
> Mouseover).
>
> Wobei ich nicht weiß was z.B. [mm]\gamma_{[a,b]}[/mm] sein soll.
Das soll [mm] \gamma [/mm] eingeschränkt auf das Intervall von a bis b sein
> Genauso wenig sehe ich in der letzten Def. was [mm]\gamma_i *a_i[/mm]
> sein soll, das wäre das Produkt einer Kurve mit einer
> reellen Zahl.
> Ich vermute stark es soll eigentlich [mm]\gamma_i (a_i)[/mm]
> heißen, d.h. der Anfangswert der Kurve.
Ja, das sollte es heißen, tut mir Leid, wenn es nicht eindeutig ist!
> Auch wird normalerweise [mm]a_m \in \mathbb Z[/mm] gefordert.
hm... ich habe alles aufgeschrieben, was in unserem Skript steht.
>
>
>
> Ich kenn es so:
> Eine Kette ist ein Element der von allen Wegen erzeugten
> freie abelsche Gruppe, also von der Form: [mm]\sum_\gamma n_\gamma \gamma [/mm],
> d.h. Wege gezählt mit ganzzahligen Vielfachheiten.
> Bildlich: Wege, gezählt so oft wie man sie durchläuft,
> negative Zahlen zählen als Gegenrichtung.
> Ein Zykel ist ein Weg "bei dem immer da wieder rauskommt
> wo man angefangen hat", mathematisch:
> [mm]\sum_\gamma n_\gamma (\gamma (0)- \gamma(1)=0[/mm]
> (als Summe
> in den komplexen Zahlen) wobei o.E. die Kurven gegeben sind
> durch Parametrisierungen [mm]\gamma: [0,1] \to \mathbb C[/mm]
>
Danke, das hat mir schon mal echt weiter geholfen! 
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 23.08.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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