www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Komplexe AnalysisWegintegral Beweis
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Wegintegral Beweis
Wegintegral Beweis < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Wegintegral Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 Di 18.05.2010
Autor: steppenhahn

Aufgabe
Für [mm] $\alpha\in(-\pi,\pi]$ [/mm] sei [mm] $S_{\alpha} [/mm] = [mm] \{z\in\IC|-\pi < Arg(z) \le \alpha\}$. [/mm] Sei außerdem [mm] $f:S_{\alpha}\to\IC$ [/mm] stetig mit [mm] $\lim_{|z|\to\infty, z\in S_{\alpha}}z*f(z) [/mm] = A$,

und $R > 0$ eine positive reelle Zahl. Definiere [mm] \phi_{R} [/mm] als den in [mm] S_{\alpha} [/mm] gelegenen Teil des mathematisch positiv durchlaufenen Kreises $|z| = R$. Zeige, dass dann gilt:

[mm] $\lim_{R\to\infty}\int_{\phi_{R}}f(z) [/mm] dz = [mm] i*(\alpha+\pi)*A$ [/mm]

Hallo!

Bei obiger Aufgabe bräuchte ich einen Ansatz. Ich habe mal für [mm] \alpha\le [/mm] 0 versucht, den Weg zu formulieren: [mm] $\phi_{R}(t) [/mm] = [mm] R*e^{i*t}$ [/mm] mit [mm] $t\in[\alpha,0]$. [/mm]

Für [mm] $\alpha [/mm] > 0$ muss es ja eher so aussehen: [mm] $\phi_{R}(t) [/mm] = [mm] R*e^{i*t}$ [/mm] mit [mm] $t\in(-\pi,\alpha]$ [/mm]

Allerdings muss ich ja nun irgendeinen Angriffspunkt für die Voraussetzung haben. Hat es etwas mit Mittelwert / Zwischenwertsätzen zu tun? Wenn ja, bin ich nicht darauf gekommen, wie ich sie anwenden kann. Was ich habe (für [mm] \alpha\le [/mm] 0 )

[mm] $\lim_{R\to\infty}\int_{\phi_{R}}f(z) [/mm] dz  = [mm] \lim_{R\to\infty}\int_{\alpha}^{0}\frac{d}{dt}\left(F(\phi(t))\right) [/mm] dt = [mm] \lim_{R\to\infty}\Big[F(\phi(0)) [/mm] - [mm] F(\phi(\alpha))\Big] [/mm] = [mm] \lim_{R\to\infty}\Big[F(R) [/mm] - [mm] F(R*e^{i*\alpha})\Big] [/mm] $

Ich weiß außerdem, dass F stetig ist... Aber ich glaube, das nützt mir alles nichts.

Grüße,
Stefan

        
Bezug
Wegintegral Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:53 Di 18.05.2010
Autor: leduart

Hallo
du musst doch über [mm] f(\Phi(t))\Phi'dt [/mm] integrieren.
was dein [mm] F'(\Phi) [/mm] soll weiss ich nicht.
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Wegintegral Beweis: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:09 Di 18.05.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

>  du musst doch über [mm]f(\Phi(t))\Phi'dt[/mm] integrieren.
>  was dein [mm]F'(\Phi)[/mm] soll weiss ich nicht.

Es ist doch nach der Kettenregel:

[mm] $f(\phi(t))*\phi'(t) [/mm] = [mm] F'(\phi(t))*\phi'(t) [/mm] = [mm] \frac{d}{dt}F(\phi(t))$ [/mm]

Aber selbst wenn ich schreibe:

[mm] $\lim_{R\to \infty}\int_{\phi}f(z) [/mm] dz = [mm] \lim_{R\to \infty}\int_{\alpha}^{0}f(\phi(t))*\phi'(t) [/mm] dt = [mm] \lim_{R\to \infty}\int_{\alpha}^{0}f(R*e^{i*t})*R*i*e^{i*t} [/mm] dt$,

wie hilft mir das bei der Aufgabe weiter? Der Term im Integral hätte jetzt ja mit $z = [mm] R*e^{i*t}$ [/mm] die Form $f(z)*z*i$, aber nützt mir das was?

Grüße,
Stefan

Bezug
        
Bezug
Wegintegral Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 Di 18.05.2010
Autor: gfm


> Für [mm]\alpha\in(-\pi,\pi][/mm] sei [mm]S_{\alpha} = \{z\in\IC|-\pi < Arg(z) \le \alpha\}[/mm].
> Sei außerdem [mm]f:S_{\alpha}\to\IC[/mm] stetig mit
> [mm]\lim_{|z|\to\infty, z\in S_{\alpha}}z*f(z) = A[/mm],
>  
> und [mm]R > 0[/mm] eine positive reelle Zahl. Definiere [mm]\phi_{R}[/mm] als
> den in [mm]S_{\alpha}[/mm] gelegenen Teil des mathematisch positiv
> durchlaufenen Kreises [mm]|z| = R[/mm]. Zeige, dass dann gilt:
>  
> [mm]\lim_{R\to\infty}\int_{\phi_{R}}f(z) dz = i*(\alpha+\pi)*A[/mm]
>  
> Hallo!
>  
> Bei obiger Aufgabe bräuchte ich einen Ansatz. Ich habe mal
> für [mm]\alpha\le[/mm] 0 versucht, den Weg zu formulieren:
> [mm]\phi_{R}(t) = R*e^{i*t}[/mm] mit [mm]t\in[\alpha,0][/mm].
>  
> Für [mm]\alpha > 0[/mm] muss es ja eher so aussehen: [mm]\phi_{R}(t) = R*e^{i*t}[/mm]
> mit [mm]t\in(-\pi,\alpha][/mm]
>  
> Allerdings muss ich ja nun irgendeinen Angriffspunkt für
> die Voraussetzung haben. Hat es etwas mit Mittelwert /
> Zwischenwertsätzen zu tun? Wenn ja, bin ich nicht darauf
> gekommen, wie ich sie anwenden kann. Was ich habe (für
> [mm]\alpha\le[/mm] 0 )
>  
> [mm]\lim_{R\to\infty}\int_{\phi_{R}}f(z) dz = \lim_{R\to\infty}\int_{\alpha}^{0}\frac{d}{dt}\left(F(\phi(t))\right) dt = \lim_{R\to\infty}\Big[F(\phi(0)) - F(\phi(\alpha))\Big] = \lim_{R\to\infty}\Big[F(R) - F(R*e^{i*\alpha})\Big][/mm]
>  
> Ich weiß außerdem, dass F stetig ist... Aber ich glaube,
> das nützt mir alles nichts.

Spontan fällt mir nur ein:

[mm] \limes_{R\to\infty}\int_{-\pi}^{\alpha}f(Re^{i\phi})iRe^{i\phi}d\phi=(?)\int_{-\pi}^{\alpha}\limes_{R\to\infty}f(Re^{i\phi})iRe^{i\phi}d\phi [/mm]
[mm] =\int_{-\pi}^{\alpha}iAd\phi=iA(\alpha+\pi) [/mm]




Bezug
                
Bezug
Wegintegral Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:18 Di 18.05.2010
Autor: steppenhahn

Hallo gfm,

danke für deinen Hinweis!
Allerdings wüsste ich kein Argument, um Grenzwertbildung und Integration unter diesen Umständen zu vertauschen...

Grüße,
Stefan

Bezug
                        
Bezug
Wegintegral Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:24 Di 18.05.2010
Autor: rainerS

Hallo Stefan!

>  Allerdings wüsste ich kein Argument, um Grenzwertbildung
> und Integration unter diesen Umständen zu vertauschen...

Damit du Integration und Grenzwert vertauschen darfst, muss die Funktion unter dem Integral gleichmäßig bzgl der Integrationsvariablen konvergieren, also

[mm] \limes_{R\to\infty}f(Re^{i\phi})iRe^{i\phi} [/mm]

glm. bzgl [mm] $\phi$, [/mm] d.h.

[mm] \limes_{R\to\infty} \sup_{\phi\in(-\pi,\alpha]} |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} - A | = 0 [/mm].

Vergleiche das mit den Voraussetzungen, dass f stetig ist und dass

[mm] \limes_{|z|\to\infty, z\in S_{\alpha}}z\cdot{}f(z) = A [/mm]

oder anders geschrieben:

[mm] \limes_{\substack{R\to\infty\\\phi\in(-\pi,\alpha]} } |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} - A| = 0 [/mm] .

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                
Bezug
Wegintegral Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:51 Di 18.05.2010
Autor: steppenhahn

Hallo Rainer,

danke für deine Antwort!

> Hallo Stefan!
>  
> >  Allerdings wüsste ich kein Argument, um Grenzwertbildung

> > und Integration unter diesen Umständen zu vertauschen...
>  
> Damit du Integration und Grenzwert vertauschen darfst, muss
> die Funktion unter dem Integral gleichmäßig bzgl der
> Integrationsvariablen konvergieren, also
>  
> [mm]\limes_{R\to\infty}f(Re^{i\phi})iRe^{i\phi}[/mm]
>  
> glm. bzgl [mm]\phi[/mm], d.h.
>  
> [mm]\limes_{R\to\infty} \sup_{\phi\in(-\pi,\alpha]} |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} - A | = 0 [/mm].
>  
> Vergleiche das mit den Voraussetzungen, dass f stetig ist
> und dass
>  
> [mm]\limes_{|z|\to\infty, z\in S_{\alpha}}z\cdot{}f(z) = A [/mm]
>  
> oder anders geschrieben:
>  
> [mm]\limes_{\substack{R\to\infty\\\phi\in(-\pi,\alpha]} } |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} - A| = 0[/mm]

Mmhhh... Aufgrund der Voraussetzung wissen wir:

[mm] $\limes_{R\to\infty} |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} [/mm] - A| = 0$

für alle [mm] \phi\in(-\pi,\alpha], [/mm] also insbesondere

[mm] $\sup_{\phi\in(-\pi,\alpha]}\limes_{R\to\infty} |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} [/mm] - A| = 0$

Darf ich nun Limes und Supremum vertauschen?:

[mm] $\limes_{R\to\infty} \sup_{\phi\in(-\pi,\alpha]} |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} [/mm] - A | = 0$

Warum? Weil f stetig ist?

Grüße,
Stefan

Bezug
                                        
Bezug
Wegintegral Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:41 Mi 19.05.2010
Autor: rainerS

Hallo Stefan!

> Hallo Rainer,
>  
> danke für deine Antwort!
>  
> > Hallo Stefan!
>  >  
> > >  Allerdings wüsste ich kein Argument, um Grenzwertbildung

> > > und Integration unter diesen Umständen zu vertauschen...
>  >  
> > Damit du Integration und Grenzwert vertauschen darfst, muss
> > die Funktion unter dem Integral gleichmäßig bzgl der
> > Integrationsvariablen konvergieren, also
>  >  
> > [mm]\limes_{R\to\infty}f(Re^{i\phi})iRe^{i\phi}[/mm]
>  >  
> > glm. bzgl [mm]\phi[/mm], d.h.
>  >  
> > [mm]\limes_{R\to\infty} \sup_{\phi\in(-\pi,\alpha]} |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} - A | = 0 [/mm].
>  
> >  

> > Vergleiche das mit den Voraussetzungen, dass f stetig ist
> > und dass
>  >  
> > [mm]\limes_{|z|\to\infty, z\in S_{\alpha}}z\cdot{}f(z) = A[/mm]
>  >

>  
> > oder anders geschrieben:
>  >  
> > [mm]\limes_{\substack{R\to\infty\\\phi\in(-\pi,\alpha]} } |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} - A| = 0[/mm]
>
> Mmhhh... Aufgrund der Voraussetzung wissen wir:
>  
> [mm]\limes_{R\to\infty} |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} - A| = 0[/mm]
>  
> für alle [mm]\phi\in(-\pi,\alpha],[/mm] also insbesondere
>  
> [mm]\sup_{\phi\in(-\pi,\alpha]}\limes_{R\to\infty} |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} - A| = 0[/mm]
>  
> Darf ich nun Limes und Supremum vertauschen?:
>  
> [mm]\limes_{R\to\infty} \sup_{\phi\in(-\pi,\alpha]} |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} - A | = 0[/mm]
>  
> Warum? Weil f stetig ist?

Ich muss gestehen, ich bin mir gar nicht mehr sicher, dass man das folgern kann.

Aber geht es nicht auch mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung: da f stetig ist, gibt es einen Wert [mm] $\xi \in (-\pi,\alpha]$, [/mm] sodass

[mm] \integral_{-\pi}^\alpha} f(Re^{i\phi}) iR e^{i\phi} d\phi = (\alpha+\pi) f(Re^{i\xi}) iR e^{i\xi} [/mm] ?

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                                
Bezug
Wegintegral Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:09 Mi 19.05.2010
Autor: kunzmaniac

Hallo,

gilt der Mittelwertsatz bei stetigen Funktionen nicht nur auf abgeschlossenen Intervallen? Wir wissen aber nicht ob $f$ auch auf [mm] $[-\pi,\alpha]$ [/mm] stetig ist, selbst wenn könnte ja dummerweise [mm] $\xi=-\pi$ [/mm] sein, und damit wäre die Konvergenz für [mm] $R\rightarrow \infty$ [/mm] nicht mehr gesichert.  

Bezug
                        
Bezug
Wegintegral Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:43 Di 18.05.2010
Autor: gfm


> Hallo gfm,
>  
> danke für deinen Hinweis!
>  Allerdings wüsste ich kein Argument, um Grenzwertbildung
> und Integration unter diesen Umständen zu vertauschen...
>  
> Grüße,
>  Stefan

Voraussetzung ist ja, dass [mm]zf(z) =A+q(z)[/mm] mit [mm]|q(z)|[/mm] beliebig klein, wenn nur [mm]|z|[/mm] hinreichend groß ist (und [mm]z\in S_{\alpha}[/mm]):

[mm]\int_{-\pi}^{\alpha}f(Re^{i\phi})iRe^{i\phi}d\phi=\int_{-\pi}^{\alpha}i(A+q(Re^{i\phi})d\phi=iA(\alpha+\pi)+i\int_{-\pi}^{\alpha}q(Re^{i\phi})d\phi[/mm]

Reicht das nicht?

LG

gfm




Bezug
                
Bezug
Wegintegral Beweis: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:23 Di 18.05.2010
Autor: kunzmaniac

Hallo,

mir ist nicht ganz klar, wie man argumentieren müsste um den Grenzwertprozess mit der Integration zu vertauschen.
setzt man für $R$ nur natürliche Zahlen ein, bekommt man eine Folge stetiger Funktionen,

[mm] $f_n:[-\pi,\alpha]\rightarrow \IC, [/mm] \ \ \ durch \ \ \ [mm] f_n(t) [/mm] = [mm] f(n*e^{i*t})*i*n*e^{i*t}$ [/mm]

deren Realteil bzw. Imaginärteil gegen den Realteil bzw. Imaginärteil von $iA$ konvergieren, beide sind über [mm] $[-\pi,\alpha]$ [/mm] integrierbar. Kann man vielleicht mit $A$ eine integrierbare Majorante basteln um Lebesgue anzuwenden?

Bezug
                        
Bezug
Wegintegral Beweis: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:12 Fr 21.05.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]