Wegintegrale im Komplexen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 So 02.06.2013 | | Autor: | Zom |
| Aufgabe | Berechnen sie das Integral
[mm] \integral_{|z-i|=1}^{} 1/(1+z²)\, [/mm] dz
indem Sie den Kreis in zwei Kreisbögen geeignet zerlegen und den Integranden 1/(1+z²) über jeden einzelnen Kreisbogen mit Hilfe von geeigneten Stammfunktionen integrieren. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bräuchte hier mal etwas Hilfe bei der Parametriesierung.
Ist es richtig das wir über den Kreis "C= cos(t) +isin(t) + i" Integrieren? Oder bin ich Falsch vorgegangen?
|
|
| |
|
In der Aufgabe scheint ein Schreibfehler zu sein. Im Nenner muß es [mm]1 + z^2[/mm] heißen.
Du sollst die Aufgabe ja gerade nicht mit Hilfe einer Parametrisierung lösen. Du kannst zunächst eine Partialbruchzerlegung durchführen:
[mm]\frac{1}{1 + z^2} = \frac{1}{2 \operatorname{i}} \cdot \left( \frac{1}{z - \operatorname{i}} - \frac{1}{z + \operatorname{i}} \right)[/mm]
Damit gilt:
[mm]\int_{\left| z - \operatorname{i} \right|=1} \frac{\mathrm{d}z}{1 + z^2} = \frac{1}{2 \operatorname{i}} \int_{\left| z - \operatorname{i} \right|=1} \frac{\mathrm{d}z}{z - \operatorname{i}} - \frac{1}{2 \operatorname{i}} \int_{\left| z - \operatorname{i} \right|=1} \frac{\mathrm{d}z}{z + \operatorname{i}}[/mm]
Jetzt betrachten wir hier das erste Integral. Wir zerlegen den Kreis in seine rechte und seine linke Hälfte [mm]\gamma_1[/mm] (von 0 gegen den Uhrzeigersinn bis [mm]2 \operatorname{i})[/mm] bzw. [mm]\gamma_2[/mm] (von [mm]2 \operatorname{i}[/mm] gegen den Uhrzeigersinn bis 0). Über den beiden Kreisteilen gibt es mit Hilfe von Zweigen [mm] \operatorname{Log}^{(1)} [/mm] bzw. [mm] \operatorname{Log}^{(2)} [/mm] des komplexen Logarithmus Stammfunktionen von f(z) = [mm] \frac{1}{z - \operatorname{i}}, [/mm] nämlich
über [mm]\gamma_1[/mm]: [mm]F_1(z) = \operatorname{Log}^{(1)} \left( z - \operatorname{i} \right)[/mm] mit dem Argument [mm]\in \left( - \pi \, , \, \pi \right)[/mm]
über [mm]\gamma_2[/mm]: [mm]F_2(z) = \operatorname{Log}^{(2)} \left( z - \operatorname{i} \right)[/mm] mit dem Argument [mm]\in \left( 0 \, , \, 2 \pi \right)[/mm]
Jetzt kannst du die Integrale mit Hilfe der Stammfunktionen berechnen:
[mm]\frac{1}{2 \operatorname{i}} \int_{\gamma_1} \frac{\mathrm{d}z}{z - \operatorname{i}} = \frac{1}{2 \operatorname{i}} \cdot \left( F_1(2 \operatorname{i}) - F_1(0) \right)[/mm]
[mm]\frac{1}{2 \operatorname{i}} \int_{\gamma_2} \frac{\mathrm{d}z}{z - \operatorname{i}} = \frac{1}{2 \operatorname{i}} \cdot \left( F_2(0) - F_2(2 \operatorname{i}) \right)[/mm]
Dann fehlt noch [mm]- \frac{1}{2 \operatorname{i}} \int_{\left| z - \operatorname{i} \right|=1} \frac{\mathrm{d}z}{z + \operatorname{i}}[/mm] . Wie sieht es denn damit aus?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Di 04.06.2013 | | Autor: | fonten |
Hallo, vielen Dank für die Antwort.
Oh ja, da war en Tippfehler, es soll [mm] z^2 [/mm] heißen.
Wie komme ich denn auf die 2i? Oder waren damit 2 pi gemeint?
Für das zweite Integral [mm] -\bruch{1}{2i} \integral_{|z-i|=1}{\bruch{dz}{z+i}}
[/mm]
würde ich es genauso machen:
[mm] \gamma_1: F_1(z)= [/mm] Log^(1)(z+i) , z [mm] \in [/mm] (-pi,pi)
[mm] \gamma_2: F_2(z)= [/mm] Log^(2)(z+i) , z [mm] \in [/mm] (0,2pi)
|
|
|
| |
|
Hallo fonten,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo, vielen Dank für die Antwort.
> Oh ja, da war en Tippfehler, es soll [mm]z^2[/mm] heißen.
>
> Wie komme ich denn auf die 2i? Oder waren damit 2 pi
> gemeint?
>
Die "2i" sind schon richtig.
Das Stichwort heisst hier "Partialbruchzerlegung".
> Für das zweite Integral [mm]-\bruch{1}{2i} \integral_{|z-i|=1}{\bruch{dz}{z+i}}[/mm]
>
> würde ich es genauso machen:
>
> [mm]\gamma_1: F_1(z)=[/mm] Log^(1)(z+i) , z [mm]\in[/mm] (-pi,pi)
> [mm]\gamma_2: F_2(z)=[/mm] Log^(2)(z+i) , z [mm]\in[/mm] (0,2pi)
Gruss
MathePower
|
|
|
|
