Wegzusammenhängende Mengen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Übungsaufgabe 18) Alle Intervalle [mm]\left[ a,b \right],] a,b \left[, \left[ a,b \left [, \right] a,b \right][/mm] mit reellen Zahlen a,b und a<b, sind wegzusammenhängend bzgl. der Standard-Topologie. Nachweis? Änder sich dies, wenn man die diskrete Topologie nimmt (in der alle Mengen offen sind? |
Hallo Liebe mathegemeinde,
ich meine den Begriff wegzusammenhängender Mengen verstanden zu haben. Und zwar muss man doch wie im Beispiel mit den Intervallen eine Kurve finden mir denen man stetigerweise den Punkt a (f(0)=a) mit dem Punkt b (f(1)=b) verbindet. Bei [mm]\left[ a,b \right][/mm] habe ich einfach die Standardmetrik genommen, deren Stetigkeit unmittelbar nach der Definition für Stetigkeit für metrische Räume hervorgeht. Wie muss ich aber bei [mm]\ ] a,b \left[[/mm] vorgehen? Ich muss hier ja auch eine Kurve finden. Wie geht dies, wenn a und b nicht im Intervall liegen? Angenommen ich nehme das Komplement {a},{b}. Wie kann ich hier eine Kurve definieren, die stetig ist und berücksichtigt, dass zwischen a und b keine Elemente sind?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Mi 14.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Übungsaufgabe 18) Alle Intervalle [mm]\left[ a,b \right],] a,b \left[, \left[ a,b \left [, \right] a,b \right][/mm]
> mit reellen Zahlen a,b und a<b, sind wegzusammenhängend
> bzgl. der Standard-Topologie. Nachweis? Änder sich dies,
> wenn man die diskrete Topologie nimmt (in der alle Mengen
> offen sind?
> Hallo Liebe mathegemeinde,
>
> ich meine den Begriff wegzusammenhängender Mengen
> verstanden zu haben. Und zwar muss man doch wie im Beispiel
> mit den Intervallen eine Kurve finden mir denen man
> stetigerweise den Punkt a (f(0)=a) mit dem Punkt b (f(1)=b)
> verbindet.
Dsa ist nicht ganz richtig. Zu jedem Paar von Punkten [mm] $c,d\in [/mm] [a,b]$ musst du einen Weg von c nach d finden, der ganz in $[a,b]$ verläuft.
Nun ist es natürlich richtig, dass der gerade Weg von a nach b den Weg von c nach d enthält.
> Bei [mm]\left[ a,b \right][/mm] habe ich einfach die
> Standardmetrik genommen, deren Stetigkeit unmittelbar nach
> der Definition für Stetigkeit für metrische Räume
> hervorgeht. Wie muss ich aber bei [mm]\ ] a,b \left[[/mm] vorgehen?
> Ich muss hier ja auch eine Kurve finden.
Du musst für jedes Paar [mm] $c,d\in [/mm] ]a,b[$ eine Kurve finden, die von c nach d verläuft und ganz in $]a,b[$ liegt.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Hallo Rainer,
dann wäre es ja das Einfachste immer die Standardmetrik zu nehmen; also d(c,d) nehmen für jedes angegebene Intervall. Dann wäre das ja nicht ganz so schwer.
Danke für deine Hilfe
Christoph
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Do 15.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo Christiph,
> Hallo Rainer,
>
> dann wäre es ja das Einfachste immer die Standardmetrik zu
> nehmen; also d(c,d) nehmen für jedes angegebene Intervall.
> Dann wäre das ja nicht ganz so schwer.
>
> Danke für deine Hilfe
>
> Christoph
Bei der Aufgabe ist zuerst zu zeigen die angegebenen Intervalle sind wegzusammenhängend bezüglich der Standard-Topologie. Das hast du bisher diskutiert. Dafür kannst du die Standardmetrik benutzen,
Als nächstes, und als eigentliche Frage der Aufgabe, sind die angegebenen Intervalle wegzusammenhängend bezüglich der diskreten Topologie?
Also gibt es beispielsweise eine stetige Funktion f: [0,1] [mm] $\to$ [/mm] [a,b] mit f(0) = c, f(1) = d, c,d [mm] $\in$ [/mm] [a,b], f([0,1]) [mm] $\subset$ [/mm] [a,b] bezüglich [a,b] mit der diskreten Topologie?
Gruß meili
|
|
|
| |
|
Hi Meili,
danke für deinen Beitrag!
Also eine diskrete Topologie ist ja ein Mengensystem, deren Punkte von den Mengen, im System, isoliert sind. Das würde ja heißen, dass es "Lücken" gäbe von einem Punkt zum Anderen. Somit ergäbe dies keine stetige Kurve. Also wären diese Intervalle nicht wegzusammenhängend.
Stimmt das?
Gruß
Christoph
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Do 15.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo Christoph,
ja, du solltest es aber mathematischer formulieren. (ich habe dafür jetzt leider keine Zeit)
Gruß meili
|
|
|
|
