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| Aufgabe | Sei X ein topologischer Raum, und sei [mm] (M_k)_{k\in\IN} [/mm] eine Familie von Teilmengen von X mit der Eigenschaft [mm] M_k\cap M_{k+1}\not=\emptyset [/mm] für alle [mm] k\in\IN. [/mm] Zeige:
Ist jedes [mm] M_k [/mm] wegzusammenhängend, so auch [mm] \bigcup_{k\in\IN}^{}M_k [/mm] |
Hallo zusammen. Wenn ich [mm] x, y \in\bigcup_{k\in\IN}^{}M_k [/mm] beliebig wähle, reicht es doch, wenn ich festlege, dass [mm] x\in M_i [/mm] und [mm] y\in M_{i+1} [/mm] und ich dann zeige, dass [mm] M_i \cup M_{i+1} [/mm] für ein [mm] i\in\IN [/mm] wegzusammenhängend ist. Also ein Punkt an dem man "O.B.d.A" schreiben darf, oder? Ich nehme mal an ja und mache dann so weiter:
Nach Vor. ist [mm] M_i\cap M_{i+1}\not=\emptyset [/mm] also gibt es ein [mm] z\in M_i\cap M_{i+1}.
[/mm]
Da beide Mengen wegzusammenhängend sind gibt es 2 stetige Abbildungen:
[mm] \delta_1: [a_1, a_2]\to [/mm] X [mm] \delta_1(a_1)=x, \delta_1(a_2)=z [/mm] in [mm] M_i
[/mm]
[mm] \delta_2: [a_2, a_3]\to [/mm] X [mm] \delta_2(a_2)=z, \delta_2(a_3)=y [/mm] in [mm] M_{i+1}
[/mm]
Dann ist die Abbildung:
[mm] \alpha: [a_1, a_2]\cup[a_2, a_3]\to [/mm] X mit [mm] \alpha(p)=:\begin{cases} \delta_1(p), & \mbox{für } p\in[a_1, a_2) \\ \delta_2(p), & \mbox{für } p\in[a_2, a_3]\end{cases}
[/mm]
stetig.
Ist es so offensichtlich, dass [mm] \alpha [/mm] stetig ist, oder sollte ich das noch zeigen?
Ich habe das ja jetzt nur für 2 "benachbarte" Mengen gezeigt.. ist es denn richtig zu folgern, dass [mm] \bigcup_{k\in\IN}^{}M_k [/mm] wegzusammenhängend ist? Weil ich am Anfang O.B.d.A geschrieben habe?
Mfg, kullinarisch
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> Sei X ein topologischer Raum, und sei [mm](M_k)_{k\in\IN}[/mm] eine
> Familie von Teilmengen von X mit der Eigenschaft [mm]M_k\cap M_{k+1}\not=\emptyset[/mm]
> für alle [mm]k\in\IN.[/mm] Zeige:
>
> Ist jedes [mm]M_k[/mm] wegzusammenhängend, so auch
> [mm]\bigcup_{k\in\IN}^{}M_k[/mm]
> Hallo zusammen. Wenn ich [mm]x, y \in\bigcup_{k\in\IN}^{}M_k[/mm]
> beliebig wähle, reicht es doch, wenn ich festlege, dass
> [mm]x\in M_i[/mm] und [mm]y\in M_{i+1}[/mm] und ich dann zeige, dass [mm]M_i \cup M_{i+1}[/mm]
> für ein [mm]i\in\IN[/mm] wegzusammenhängend ist. Also ein Punkt an
> dem man "O.B.d.A" schreiben darf, oder? Ich nehme mal an ja
> und mache dann so weiter:
>
> Nach Vor. ist [mm]M_i\cap M_{i+1}\not=\emptyset[/mm] also gibt es
> ein [mm]z\in M_i\cap M_{i+1}.[/mm]
>
> Da beide Mengen wegzusammenhängend sind gibt es 2 stetige
> Abbildungen:
>
> [mm]\delta_1: [a_1, a_2]\to[/mm] X [mm]\delta_1(a_1)=x, \delta_1(a_2)=z[/mm]
> in [mm]M_i[/mm]
>
> [mm]\delta_2: [a_2, a_3]\to[/mm] X [mm]\delta_2(a_2)=z, \delta_2(a_3)=y[/mm]
> in [mm]M_{i+1}[/mm]
>
> Dann ist die Abbildung:
>
> [mm]\alpha: [a_1, a_2]\cup[a_2, a_3]\to[/mm] X mit
> [mm]\alpha(p)=:\begin{cases} \delta_1(p), & \mbox{für } p\in[a_1, a_2) \\ \delta_2(p), & \mbox{für } p\in[a_2, a_3]\end{cases}[/mm]
>
> stetig.
>
> Ist es so offensichtlich, dass [mm]\alpha[/mm] stetig ist, oder
> sollte ich das noch zeigen?
Man könnte noch kurz begründen, warum [mm] \alpha [/mm] in [mm] p=a_2 [/mm] stetig ist
> Ich habe das ja jetzt nur für 2 "benachbarte" Mengen
> gezeigt.. ist es denn richtig zu folgern, dass
> [mm]\bigcup_{k\in\IN}^{}M_k[/mm] wegzusammenhängend ist?
Auch das solltest du noch näher begründen:
Durch Wiederholung des gleichen Argumentes (formal durch Induktion nach n) folgt, dass [mm] A_n=\bigcup_{k=1}^nM_k [/mm] für jedes n wegzusammenhängend ist.
Für den Wegzusammenhang der unendlichen Vereinigung brauchst du dann dein Argument vom Anfang:
Sind zwei Punkte x,y gegeben, so gibt es ein n mit [mm] x,y\in A_n [/mm] und damit einen Weg zwischen x und y.
> Weil ich
> am Anfang O.B.d.A geschrieben habe?
>
> Mfg, kullinarisch
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> > Sei X ein topologischer Raum, und sei [mm](M_k)_{k\in\IN}[/mm] eine
> > Familie von Teilmengen von X mit der Eigenschaft [mm]M_k\cap M_{k+1}\not=\emptyset[/mm]
> > für alle [mm]k\in\IN.[/mm] Zeige:
> >
> > Ist jedes [mm]M_k[/mm] wegzusammenhängend, so auch
> > [mm]\bigcup_{k\in\IN}^{}M_k[/mm]
> > Hallo zusammen. Wenn ich [mm]x, y \in\bigcup_{k\in\IN}^{}M_k[/mm]
> > beliebig wähle, reicht es doch, wenn ich festlege, dass
> > [mm]x\in M_i[/mm] und [mm]y\in M_{i+1}[/mm] und ich dann zeige, dass [mm]M_i \cup M_{i+1}[/mm]
> > für ein [mm]i\in\IN[/mm] wegzusammenhängend ist. Also ein Punkt an
> > dem man "O.B.d.A" schreiben darf, oder? Ich nehme mal an ja
> > und mache dann so weiter:
> >
> > Nach Vor. ist [mm]M_i\cap M_{i+1}\not=\emptyset[/mm] also gibt es
> > ein [mm]z\in M_i\cap M_{i+1}.[/mm]
> >
> > Da beide Mengen wegzusammenhängend sind gibt es 2 stetige
> > Abbildungen:
> >
> > [mm]\delta_1: [a_1, a_2]\to[/mm] X [mm]\delta_1(a_1)=x, \delta_1(a_2)=z[/mm]
> > in [mm]M_i[/mm]
> >
> > [mm]\delta_2: [a_2, a_3]\to[/mm] X [mm]\delta_2(a_2)=z, \delta_2(a_3)=y[/mm]
> > in [mm]M_{i+1}[/mm]
> >
> > Dann ist die Abbildung:
> >
> > [mm]\alpha: [a_1, a_2]\cup[a_2, a_3]\to[/mm] X mit
> > [mm]\alpha(p)=:\begin{cases} \delta_1(p), & \mbox{für } p\in[a_1, a_2) \\ \delta_2(p), & \mbox{für } p\in[a_2, a_3]\end{cases}[/mm]
>
> >
> > stetig.
> >
> > Ist es so offensichtlich, dass [mm]\alpha[/mm] stetig ist, oder
> > sollte ich das noch zeigen?
>
> Man könnte noch kurz begründen, warum [mm]\alpha[/mm] in [mm]p=a_2[/mm]
> stetig ist
Ok, mit linksseitigem und rechtsseitigem Grenzwert ist das leicht einzusehen.
> > Ich habe das ja jetzt nur für 2 "benachbarte" Mengen
> > gezeigt.. ist es denn richtig zu folgern, dass
> > [mm]\bigcup_{k\in\IN}^{}M_k[/mm] wegzusammenhängend ist?
>
> Auch das solltest du noch näher begründen:
> Durch Wiederholung des gleichen Argumentes (formal durch
> Induktion nach n) folgt, dass [mm]A_n=\bigcup_{k=1}^nM_k[/mm] für
> jedes n wegzusammenhängend ist.
> Für den Wegzusammenhang der unendlichen Vereinigung
> brauchst du dann dein Argument vom Anfang:
> Sind zwei Punkte x,y gegeben, so gibt es ein n mit [mm]x,y\in A_n[/mm]
> und damit einen Weg zwischen x und y.
Super, das hört sich doch schon viel präziser an, vielenk Dank!
Grüße, kulli
> > Weil ich
> > am Anfang O.B.d.A geschrieben habe?
> >
> > Mfg, kullinarisch
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