Weierstraß Approximationssatz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:19 Mo 14.08.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo liebe Community!
Ich verstehe ein zwei Dinge zum Beweis vom Weierstraß'schen Approximationssatz nicht:
Jede auf einem kompakten Intervall [a,b] [mm] \subset \IR [/mm] stetige Funktion f: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] lässt sich gleichmäßig durch Polynome approximieren, d.h. zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 existiert ein Polynom P mit ||f - P|| < [mm] \epsilon, [/mm] wobei || || die Supremumsnorm auf [a,b] bezeichne.
Beweis: Es existiert eine stückweise lineare stetige Funktion
[mm] \phi \in [/mm] PL[a,b] (aus den "piecewise linear" Funktionen) mit ||f - [mm] \phi|| [/mm] < [mm] \epsilon/2, [/mm] wobei eine stetige Funktion [mm] \phi:[a,b] \to \IR [/mm] stückweise linear heißt, wenn es eine Unterteilung
a = [mm] t_0 [/mm] < [mm] t_1 [/mm] < ... < [mm] t_r [/mm] < [mm] t_{r+1} [/mm] = b des Intervalls mit Konstanten [mm] \alpha_{k}, \beta_{k} [/mm] gibt, sodass für k = 0, ..., r gilt
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \alpha_{k} [/mm] + [mm] \beta_{k}(x) [/mm] für [mm] t_{k} \le [/mm] x [mm] \le t_{k+1}.
[/mm]
Die Funktion [mm] \phi [/mm] lässt sich schreiben als
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] x + [mm] \summe_{k=1}^{r}c_{k}|x-t_{k}|
[/mm]
für [mm] t_{k} \in [/mm] ]a,b[ und Konstanten [mm] \alpha, \beta, c_{k} \in \IR. [/mm] Aus einem vorangegangenen Beispiel (dass die Funktion abs, also |x|, in [-1, 1] gleichmäßig durch Polynome approximiert werden kann), folgt, dass es zu jeder Funktion [mm] \phi_{k}(x) [/mm] := [mm] c_{k}|x [/mm] - [mm] t_{k}| [/mm] ein Polynom [mm] P_{k} [/mm] gibt mit [mm] ||\phi_{k} [/mm] - [mm] P_{k}|| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] / (2r). Für das Polynom
P(x) := [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] x + [mm] \summe_{k=1}^{r} P_{k}(x) [/mm]
gilt dann ||f - P|| < [mm] \epsilon.
[/mm]
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Nun meine Fragen:
1) Wieso folgt aus dem Beispiel mit der gleichmäßigen Approximierbarkeit der Funktion abs in [-1, 1], dass es zu jeder Funktion [mm] \phi_{k}(x) [/mm] := [mm] c_{k}|x [/mm] - [mm] t_{k}| [/mm] ein Polynom [mm] P_{k} [/mm] gibt mit [mm] ||\phi_{k} [/mm] - [mm] P_{k}|| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] / (2r) ?
Hier befindet man sich doch in einem beliebigen Intervall [a,b] und nicht mehr [-1, 1] ?
2) Wieso ergibt sich insgesamt, dass für das Polynom
P(x) := [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] x + [mm] \summe_{k=1}^{r} P_{k}(x) [/mm]
||f - P|| < [mm] \epsilon [/mm] gilt?
Wie immer wäre ich euch sehr dankbar wenn ihr mir helfen könntet!
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Mo 14.08.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
es handelt sich nicht um das Intervall (a,b) sondern das Intervall [mm] (t_k,t_(k+1))
[/mm]
dabei ist die Abweichung [mm] \epsilon/(2r)
[/mm]
wenn man für P aufsummiert also die Abweichung [mm] \epsilon.
[/mm]
wieder solltest du das mal für irgendeine Funktion , die du durch einen Polygonzug annäherst aufzeichnen, dann "sieht" man das Argument.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Mo 14.08.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo leduart und Danke für deinen Beitrag, ich zeichne es mir die Tage mal auf. Eine kurze Frage aber noch zu dem Part im Beweis:
> Aus einem vorangegangenen Beispiel (dass die
> Funktion abs, also |x|, in [-1, 1] gleichmäßig durch Polynome approximiert
> werden kann), folgt, dass es zu
> jeder Funktion $ [mm] \phi_{k}(x) [/mm] $ := $ [mm] c_{k}|x [/mm] $ - $ [mm] t_{k}| [/mm] $ ein Polynom $ [mm] P_{k} [/mm] $ gibt mit $ [mm] ||\phi_{k} [/mm] $ - $ [mm] P_{k}|| [/mm] $ < $ [mm] \epsilon [/mm] $ / (2r).
Es steht vor dem Weierstraß'schen Approximationssatz auch, dass dieser eine Folgerung des Beispiels ist, dass sich abs durch Polynome approximieren lässt.
Diesen Punkt verstehe ich nicht, denn es steht im Part vom Beweis, dass aus dem Beispiel folgt, dass es zu jedem [mm] \phi_{k}(x) [/mm] := [mm] c_{k} [/mm] |x - [mm] t_{k}| [/mm] ein Polynom [mm] P_{k} [/mm] gibt mit [mm] ||\phi_{k} [/mm] - [mm] P_{k}|| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] / (2r).
Aber das Beispiel gilt ja nur für |x| [mm] \le [/mm] 1, und wo hat man hier |x - [mm] t_{k}| \le [/mm] 1?
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Mo 14.08.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
du schriebst doch selbst
$ [mm] \phi(x) [/mm] $ = $ [mm] \alpha_{k} [/mm] $ + $ [mm] \beta_{k}(x) [/mm] $ für $ [mm] t_{k} \le [/mm] $ x $ [mm] \le t_{k+1}. [/mm] $
also x zw [mm] t_k [/mm] und t_(k+1)
Gruß ledum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mo 14.08.2017 | | Autor: | X3nion |
> Hallo
> du schriebst doch selbst
>
> [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]\alpha_{k}[/mm] + [mm]\beta_{k}(x)[/mm] für [mm]t_{k} \le[/mm] x [mm]\le t_{k+1}.[/mm]
>
> also x zw [mm]t_k[/mm] und t_(k+1)
> Gruß ledum
Hallo ledum,
ja klar, aber es ist doch nicht notwendig |x - [mm] t_{k}| \le [/mm] 1?
In Literaturen habe ich noch folgendes gelesen: man betrachtet nur das Intervall [0, 1], da sich jedes andere Intervall [a,b] linear auf das Intervall [0,1] transformieren lässt.
Wir funktioniert diese lineare Transformation?
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:19 Di 15.08.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
f(x) auf (0,1)
f(a*x)auf (0,1/a)
f(a(x-b)) verschiebt um b
Gruß ledum
bitte schreib, wenn deine Frage auch in anderen Foren bearbeitet wird!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:36 Di 15.08.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo leduart,
oh sorry ich vergaß! Ja also diese Frage habe ich ausnahmsweise auch auf einer anderen Plattform gestellt, nun zur Kenntnisnahme auch für alle 
Und Danke für deine Erläuterung, mir ist die Sache mit der Verschiebung / Streckung auf das passende Intervall nun absolut klar geworden!
Die einzige Sache, die mich noch beschäftigt, ist diese hier:
> Gegeben ist die stetige, stückweise lineare Funktion [mm] \phi:[a,b] \to \IR [/mm] mit Unterteilung
a = [mm] t_0 [/mm] < [mm] t_1 [/mm] < ... < [mm] t_r [/mm] < [mm] t_{r+1} [/mm] = b des Intervalls [a,b] und Konstanten [mm] \alpha_{k}, \beta_{k}, [/mm] sodass für k = 0, ..., r gilt
> [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \alpha_{k} [/mm] + [mm] \beta_{k}(x) [/mm] für [mm] t_{k} \le [/mm] x [mm] \le t_{k+1}.
[/mm]
> Die Funktion [mm] \phi [/mm] lässt sich schreiben als
> [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] x + [mm] \summe_{k=1}^{r}c_{k}|x-t_{k}|
[/mm]
> für [mm] t_{k} \in [/mm] ]a,b[ und Konstanten [mm] \alpha, \beta, c_{k} \in \IR.
[/mm]
Wieso lässt sich die Funktion [mm] \phi [/mm] aus wie unten stehend schreiben?
Das ist echt verflixt und kann doch nicht so schwer sein ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Ich wäre wie immer dankbar für eure Antworten!
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Di 15.08.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
lass dir doch mal so eine Funktion plotten, für irgendwelche Werte [mm] \alpha, \beta, c_k [/mm] vielleicht erst mal nur 4 Summanden und die tk zwischen 0 und 1. Mir scheint du siehst nicht, wie [mm] \Phi(x) [/mm] aussieht.
nochmal skizziere mehr und wurschtel nicht nur mit Formeln rum.
wenn du keinen guten Plotter hast, benutze das freie geogebra, da kannst du die [mm] c_k [/mm] etwa auch noch mit Schiebereglern ändern.
Gruß ledum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Mi 16.08.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo ledum,
Danke für den Tipp mit Geogebra.
Doch die Gestalt von [mm] \phi(x) [/mm] ist mir schon klar.
Nun einmal ein Beispiel:
Gemäß Definition heißt eine stetige Funktion $ [mm] \phi:[a,b] \to \IR [/mm] $ stückweise linear, wenn es eine Unterteilung
a = $ [mm] t_0 [/mm] $ < $ [mm] t_1 [/mm] $ < ... < $ [mm] t_r [/mm] $ < $ [mm] t_{r+1} [/mm] $ = b des Intervalls mit Konstanten $ [mm] \alpha_{k}, \beta_{k} [/mm] $ gibt, sodass für k = 0, ..., r gilt
$ [mm] \phi(x) [/mm] $ = $ [mm] \alpha_{k} [/mm] $ + $ [mm] \beta_{k}(x) [/mm] $ für $ [mm] t_{k} \le [/mm] $ x $ [mm] \le t_{k+1}. [/mm] $
Sei das Intervall [0,3] gegeben mit der Unterteilung
[mm] t_{0} [/mm] = 0, [mm] t_{1} [/mm] = 1, [mm] t_{2} [/mm] = 2, [mm] t_{3} [/mm] = 3.
Dann ist gemäß Definition r = 2.
Setze nun [mm] \phi(x) [/mm] = 1 + 1x, für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1.
[mm] \phi(x) [/mm] = 0 + 2x, für 1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2
[mm] \phi(x) [/mm] = 5 - [mm] \frac{1}{2} [/mm] x, für 2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3
Dann sind die Konstanten
[mm] \alpha_{0} [/mm] = 1, [mm] \beta_{0} [/mm] = 1 für [mm] t_{0} \le [/mm] x [mm] \le t_{1}
[/mm]
[mm] \alpha_{1} [/mm] = 0, [mm] \beta_{1} [/mm] = 2 für [mm] t_{1} \le [/mm] x [mm] \le t_{2}
[/mm]
[mm] \alpha_{2} [/mm] = 5, [mm] \beta_{2} [/mm] = [mm] -\frac{1}{2} [/mm] für [mm] t_{2} \le [/mm] x [mm] \le t_{3}
[/mm]
Dann ist [mm] \phi(x): [/mm] [0,3] [mm] \to \IR [/mm] eine stückweise lineare Funktion.
Nun verstehe ich aber den Punkt nicht, dass sich jede stetige, stückweise lineare Funktion [mm] \phi: [/mm] [a,b] [mm] \to \IR [/mm] schreiben lässt als
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] x + [mm] \summe_{k=1}^{r} c_{k}|x-t_{k}|
[/mm]
mit geeigneten Konstanten [mm] \alpha, \beta, c_{k} \in \IR [/mm] und [mm] t_{j} \in [/mm] ]a,b[.
Wie sieht das in diesem Beispiel aus?
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] x + [mm] \summe_{k=1}^{r} c_{k} [/mm] |x - [mm] t_{k}| [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] x + [mm] c_{1} [/mm] |x - [mm] t_{1}| [/mm] + [mm] c_{2} [/mm] |x - [mm] t_{2}| [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] x + [mm] c_{1} [/mm] |x - 1| + [mm] c_{2} [/mm] |x - 2|
und [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] x - [mm] c_{1} [/mm] x + [mm] c_{1} [/mm] - [mm] c_{2} [/mm] x + 2 [mm] c_{2} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] x + [mm] c_{2} [/mm] x - [mm] c_{1} [/mm] - [mm] c_{2} [/mm] x + 2 [mm] c_{2} [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] x + [mm] c_{2} [/mm] x - [mm] c_{1} [/mm] + [mm] c_{2} [/mm] x - 2 [mm] c_{2} [/mm] für 2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Do 17.08.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ledum,
>
> Danke für den Tipp mit Geogebra.
> Doch die Gestalt von [mm]\phi(x)[/mm] ist mir schon klar.
>
> Nun einmal ein Beispiel:
>
> Gemäß Definition heißt eine stetige Funktion [mm]\phi:[a,b] \to \IR[/mm]
> stückweise linear, wenn es eine Unterteilung
>
> a = [mm]t_0[/mm] < [mm]t_1[/mm] < ... < [mm]t_r[/mm] < [mm]t_{r+1}[/mm] = b des Intervalls mit
> Konstanten [mm]\alpha_{k}, \beta_{k}[/mm] gibt, sodass für k = 0,
> ..., r gilt
>
> [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]\alpha_{k}[/mm] + [mm]\beta_{k}(x)[/mm] für [mm]t_{k} \le[/mm] x [mm]\le t_{k+1}.[/mm]
>
> Sei das Intervall [0,3] gegeben mit der Unterteilung
> [mm]t_{0}[/mm] = 0, [mm]t_{1}[/mm] = 1, [mm]t_{2}[/mm] = 2, [mm]t_{3}[/mm] = 3.
>
> Dann ist gemäß Definition r = 2.
>
> Setze nun [mm]\phi(x)[/mm] = 1 + 1x, für 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1.
> [mm]\phi(x)[/mm] = 0 + 2x, für 1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2
> [mm]\phi(x)[/mm] = 5 - [mm]\frac{1}{2}[/mm] x, für 2 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 3
>
> Dann sind die Konstanten
> [mm]\alpha_{0}[/mm] = 1, [mm]\beta_{0}[/mm] = 1 für [mm]t_{0} \le[/mm] x [mm]\le t_{1}[/mm]
>
> [mm]\alpha_{1}[/mm] = 0, [mm]\beta_{1}[/mm] = 2 für [mm]t_{1} \le[/mm] x [mm]\le t_{2}[/mm]
>
> [mm]\alpha_{2}[/mm] = 5, [mm]\beta_{2}[/mm] = [mm]-\frac{1}{2}[/mm] für [mm]t_{2} \le[/mm] x
> [mm]\le t_{3}[/mm]
>
> Dann ist [mm]\phi(x):[/mm] [0,3] [mm]\to \IR[/mm] eine stückweise lineare
> Funktion.
>
>
> Nun verstehe ich aber den Punkt nicht, dass sich jede
> stetige, stückweise lineare Funktion [mm]\phi:[/mm] [a,b] [mm]\to \IR[/mm]
> schreiben lässt als
>
> [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] x + [mm]\summe_{k=1}^{r} c_{k}|x-t_{k}|[/mm]
>
> mit geeigneten Konstanten [mm]\alpha, \beta, c_{k} \in \IR[/mm] und
> [mm]t_{j} \in[/mm] ]a,b[.
>
>
> Wie sieht das in diesem Beispiel aus?
>
> [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] x + [mm]\summe_{k=1}^{r} c_{k}[/mm] |x -
> [mm]t_{k}|[/mm] = [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] x + [mm]c_{1}[/mm] |x - [mm]t_{1}|[/mm] + [mm]c_{2}[/mm] |x -
> [mm]t_{2}|[/mm] = [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] x + [mm]c_{1}[/mm] |x - 1| + [mm]c_{2}[/mm] |x - 2|
>
> und [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] x - [mm]c_{1}[/mm] x + [mm]c_{1}[/mm] - [mm]c_{2}[/mm] x
> + 2 [mm]c_{2}[/mm] für 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1
>
> [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] x + [mm]c_{2}[/mm] x - [mm]c_{1}[/mm] - [mm]c_{2}[/mm] x + 2
> [mm]c_{2}[/mm] für 1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2
>
> [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] x + [mm]c_{2}[/mm] x - [mm]c_{1}[/mm] + [mm]c_{2}[/mm] x - 2
> [mm]c_{2}[/mm] für 2 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 3
>
> ?
Jetzt ist Koeffizientenvergleich angesagt:
Für x [mm] \in [/mm] [0,1] ist dann
[mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] x - [mm]c_{1}[/mm] x + [mm]c_{1}[/mm] - [mm]c_{2}[/mm] x + 2 [mm]c_{2}[/mm] =1+x.
Für x [mm] \in [/mm] [1,2] haben wir
[mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] x + [mm]c_{2}[/mm] x - [mm]c_{1}[/mm] - [mm]c_{2}[/mm] x + 2 [mm]c_{2}[/mm] =2x
Und für x [mm] \in [/mm] [2,3] ergibt sich
[mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] x + [mm]c_{2}[/mm] x - [mm]c_{1}[/mm] + [mm]c_{2}[/mm] x - 2 [mm]c_{2}[/mm]=5-1/2x.
Diese 3 Gleichunngen liefern ein LGS für
[mm] \alpha, \beta ,c_1 [/mm] und [mm] c_2.
[/mm]
Viel Spass beim lösen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Do 17.08.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Fred,
ich danke dir für deine Antwort.
Koeffizientenvergleich und das LGS ergeben:
mit
[mm] \alpha [/mm] + [mm] c_{1} [/mm] + 2 [mm] c_{2} [/mm] = 1
[mm] \alpha [/mm] - [mm] c_{1} [/mm] + 2 [mm] c_{2} [/mm] = 0
[mm] \alpha [/mm] - [mm] c_{1} [/mm] - 2 [mm] c_{1} [/mm] = 5
ergibt sich:
[mm] \alpha [/mm] + [mm] c_{1} [/mm] + 2 [mm] c_{2} [/mm] = 1
2 [mm] c_{1} [/mm] = 1
2 [mm] c_{1} [/mm] + 4 [mm] c_{2} [/mm] = -4
Aus der zweiten Zeile folgt [mm] c_{1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
daraus folgt für [mm] c_{2} [/mm] = - [mm] \frac{5}{4}
[/mm]
und daraus für [mm] \alpha [/mm] = [mm] \frac{6}{2} [/mm] = 3
also [mm] \alpha [/mm] = 3, [mm] c_{1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}, c_{2} [/mm] = - [mm] \frac{5}{4}
[/mm]
-----------
Für die Koeffizienten vor den x ergibt sich:
[mm] \beta [/mm] - [mm] c_{1} [/mm] - [mm] c_{2} [/mm] = 1
[mm] \beta [/mm] + [mm] c_{1} [/mm] - [mm] c_{2} [/mm] = 2
[mm] \beta [/mm] + [mm] c_{1} [/mm] + [mm] c_{2} [/mm] = - [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
[mm] \beta [/mm] - [mm] c_{1} [/mm] - [mm] c_{2} [/mm] = 1
- 2 [mm] c_{1} [/mm] = - 1
- 2 [mm] c_{1} [/mm] - 2 [mm] c_{2} [/mm] = [mm] \frac{3}{2}
[/mm]
Es folgt [mm] c_{1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}, [/mm]
[mm] c_{2} [/mm] = - [mm] \frac{5}{4}
[/mm]
[mm] \beta [/mm] = [mm] \frac{1}{4}
[/mm]
Erstaunlich, dass es eine eindeutige Lösung gibt
Wie könnte man das formal beweisen, dass sich jede stetige, stückweise lineare Funktion in der Form
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] x + [mm] \summe_{k=1}^{r} c_{k}|x [/mm] - [mm] t_{k}| [/mm] schreiben lässt?
Viele Grüße,
X3nion
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Do 17.08.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
das wurde dir doch im anderen Forum gesagt!
Gruß leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Do 17.08.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo ledum,
ja aber nicht die Variante mit den zwei LGS, so wie ich das eben gemacht hab.
Viele Grüße,
X3nion
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Sa 19.08.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
was du gemacht hast gilt ja auch für allgemeine lineare Stücke. dann Induktion auf n Stücke, oder rekursiv wie ToTo geschrieben.
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:40 Mo 21.08.2017 | | Autor: | X3nion |
Mir ist nun alles klar, ich bedanke mich für jede Hilfe!
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