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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Sa 14.01.2017 | | Autor: | MichiB. |
A = [mm]\pmat{ 5 & 8 & 7 \\ -1 & 5 & -2 \\ 1 & 1 & 8 } [/mm]
Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zu obiger Matrix. Ich möchte die Eigenvektoren und Hauptvektoren bestimmen.
Habe es auch soweit hinbekommen. Und zwar 3fache Nullstelle bei 6.
1. EV [mm]\pmat{ -1 & \\ -1 \\ 1 } [/mm]
HV : [mm]\pmat { 1 & \\ 0 \\ 0 } + t \pmat{ -1 \\ -1 \\ 1 } [/mm]
Ich benötige 2 Hauptvektoren um die Aufgabe später weiterzurechnen.
Kann man jetzt einfach z.B für t=1 den 1. Hauptvektor nehmen und dann für t=2 einen weiteren? Oder muss man die weiteren Hauptvektoren anders bestimmen?
Schon mal vielen Dank und viele Grüße
Michael
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Hallo,
ich versuche mich mal an einer Antwort (ohne Garantie auf Richtigkeit).
> A = [mm]\pmat{ 5 & 8 & 7 \\ -1 & 5 & -2 \\ 1 & 1 & 8 } [/mm]
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> A= <br>
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> Hallo zusammen,
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> ich habe eine Frage zu obiger Matrix. Ich möchte die
> Eigenvektoren und Hauptvektoren bestimmen.
> Habe es auch soweit hinbekommen. Und zwar 3fache
> Nullstelle bei 6.
>
> 1. EV [mm]\pmat{ -1 & \\ -1 \\ 1 }[/mm]
Ja, der stimmt und hat die Vielfachheit 3!
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> HV : [mm]\pmat { 1 & \\ 0 \\ 0 } + t \pmat{ -1 \\ -1 \\ 1 } [/mm]
>
> Ich benötige 2 Hauptvektoren um die Aufgabe später
> weiterzurechnen.
> Kann man jetzt einfach z.B für t=1 den 1. Hauptvektor
> nehmen und dann für t=2 einen weiteren? Oder muss man die
> weiteren Hauptvektoren anders bestimmen?
Zunächst mal eine Gegenfrage. Wie kommst du auf diesen Ansatz?
Meine Frage stelle ich vor dem Hintegrund, dass der Kern von
[mm]\left ( A-6*id \right )^3[/mm]
ganz offensichtlich der gesamte [mm] \IR^3 [/mm] ist. Also ja, da kann man einfach einen beliebigen Vektor des [mm] \IR^3 [/mm] (so lange er kein Vielfaches des EV ist) und ein beliebieges Vielfaches des EV addieren (wenn ich die Problematik auf die Schnelle richtig verstanden habe).
Wie gesagt: ohne Gewähr.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 So 15.01.2017 | | Autor: | MichiB. |
Hallo,
dankeschön erstmal für deine Antwort.
Ja, also der Ansatz ist (A-6I)w = v
Hierbei ist v der vorher berechnete Eigenvektor und 6 die 3fache Nullstelle.
Somit erhalte ich den Hauptvektor w.
Ich wusste nur nicht ob man für einen weiteren also 2. Hauptvektor dann so einfach für t einen anderen Wert nimmt oder besser den 1. Hauptvektor nimmt und einen sucht der zum ersten orthogonal ist.
Von deinem Ansatz habe ich auch gehört, aber weiß nicht wie man es umsetzt.
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Hallo,
> Hallo,
> dankeschön erstmal für deine Antwort.
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> Ja, also der Ansatz ist (A-6I)w = v
Ich glaube, hier haben wir deinen Denkfehler. Ein Hauptraum gehört immer zu einem Eigenwert [mm] \lambda [/mm] und ist definiert durch
[mm] kern(A-\lambda*\textrm{id})^r
[/mm]
wobei r die (algebraische) Vielfachheit des Eigenwerts ist.
> Hierbei ist v der vorher berechnete Eigenvektor und 6 die
> 3fache Nullstelle.
> Somit erhalte ich den Hauptvektor w.
>
> Ich wusste nur nicht ob man für einen weiteren also 2.
> Hauptvektor dann so einfach für t einen anderen Wert nimmt
> oder besser den 1. Hauptvektor nimmt und einen sucht der
> zum ersten orthogonal ist.
>
> Von deinem Ansatz habe ich auch gehört, aber weiß nicht
> wie man es umsetzt.
>
Na ja, das ist in diesem speziellen Fall einfach: der Hauptraum zu deinem Eigenwert ist der [mm] \IR^3, [/mm] denn:
[mm]\left ( A-6*\textrm{id} \right )^3=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm]
Nimm also bspw. einfach dessen kanonische Basisvektoren als Hauptvektoren. Oder irgend ein anderes Tripel von Vektoren, Hauptsache ist: sie sind linear unabhängig.
Gruß, Diophant
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