Welche Regel wird verwendet? < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Fr 05.07.2013 | | Autor: | kalor |
Hallo zusammen
Ich habe eine Frage zur bedingten Erwartung und einer Anwendung. Wenn ich reelle Zahlen [mm] $a_n$ [/mm] habe sowie Zufallsvariablen [mm] $Y_n$. [/mm] Dann definiere ich, [mm] $S_0=1$ [/mm] und [mm] $S_n-S_{n-1}=a_n Y_n$. [/mm] Die [mm] $Y_n$ [/mm] können nur die Werte $+1,-1$ annehmen. Sei [mm] $\mathcal{F}_n$ [/mm] die [mm] $\sigma$-algebra $\sigma(Y_k,k\le [/mm] n)$. Nun habe ich eine Frage, wieso gilt diese Gleichung
[mm] $E_Q[a_nY_n|\mathcal{F}_{n-1}]=a_n(Q(Y_n=+1|\mathcal{F}_{n-1})+Q(Y_n=-1|\mathcal{F}_{n-1}))$?
[/mm]
Ich kenne nur eine solche Zerlegung, wenn ich [mm] $\mathcal{F}_{n-1}$ [/mm] als Partition schreiben kann. Wäre nett, wenn mir jemand eine entsprechende Rechenregel/ Theorem nennen könnte.
Gruss
kalor
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Hallo,
> Hallo zusammen
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> Ich habe eine Frage zur bedingten Erwartung und einer
> Anwendung. Wenn ich reelle Zahlen [mm]a_n[/mm] habe sowie
> Zufallsvariablen [mm]Y_n[/mm]. Dann definiere ich, [mm]S_0=1[/mm] und
> [mm]S_n-S_{n-1}=a_n Y_n[/mm]. Die [mm]Y_n[/mm] können nur die Werte [mm]+1,-1[/mm]
> annehmen. Sei [mm]\mathcal{F}_n[/mm] die [mm]\sigma[/mm]-algebra
> [mm]\sigma(Y_k,k\le n)[/mm]. Nun habe ich eine Frage, wieso gilt
> diese Gleichung
>
> [mm]E_Q[a_nY_n|\mathcal{F}_{n-1}]=a_n(Q(Y_n=+1|\mathcal{F}_{n-1})+Q(Y_n=-1|\mathcal{F}_{n-1}))[/mm]?
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> Ich kenne nur eine solche Zerlegung, wenn ich
> [mm]\mathcal{F}_{n-1}[/mm] als Partition schreiben kann. Wäre nett,
> wenn mir jemand eine entsprechende Rechenregel/ Theorem
> nennen könnte.
>
Dies ist einfach die Definition des bedingten Erwartungswertes für diskrete Zufallsvariablen:
Falls $Y$ eine diskrete Zufallsvariable ist, so ist
[mm] $E_{Q}\left(Y | X\right)=\sum\limits_{y}y\cdot Q\left(Y=y|X\right)$.
[/mm]
Also in diesem Fall
[mm] $E_{Q}\left(a_{n}\cdot Y_{n}|\mathcal{F}_{n-1}\right)=a_{n}\cdot 1\cdot Q\left(Y_{n}=1 | \mathcal{F}_{n-1}\right)+ a_{n}\cdot \left(-1\right)\cdot Q\left(Y_{n}=-1 | \mathcal{F}_{n-1}\right) [/mm] $
Da hat sich meiner meiner Meinung nach ein Vorzeichenfehler eingeschlichen.
Außerdem wird verwendet das [mm] $a_{n}$ [/mm] eine deterministische Folge ist(nehme ich mal an?) und damit aus dem bedingten Erwartungswert rausgezogen werden kann.
> Gruss
>
> kalor
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