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| Aufgabe | sei v [mm] \in \IR^n [/mm] und f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine zweimal stetige differenzierbare Funktion. Zeige, dass F : [mm] \IR^n [/mm] x [mm] \IR \to \IR [/mm] def. durch F(x,t) := f(<v,x> - ||v||t) eine Lösung der Wellengleichung
[mm] F_{tt} [/mm] - [mm] \Delta [/mm] F = 0
ist. |
huhu,
also erstmal hab ich versucht nach t abzuleiten:
[mm] F_{tt} [/mm] muss man ja zweimal nach t ableiten dann:
fliegt dabei nicht alles weg:
ich mein wenn ich <v,x> also [mm] v_1 \* x_1 [/mm] + .......+ [mm] v_n \* x_n [/mm] nach t ableite, ist das doch 0 und wenn ich ||v|| [mm] \* [/mm] t zweimal nach t ableite ist das doch auchg 0 oder?
[mm] \Delta [/mm] F:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial^2 F}{\partial^2 x_i} [/mm] (x,t)
müsste doch eig auch 0 sein oder damit die Gleichung aufgeht?
ich komm da auf sowas wie
[mm] \bruch{\partial F}{\partial x_i} [/mm] (x,t) = ( [mm] \summe_{i=1}^{n} v_i [/mm] - 0 )
und dies dann nochmal abgeleitet is dann auch 0 oder?
ich find das ist irgendwie zu nullig....
Lg,
Eve
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Hallo EvelynSnowley2311,
> sei v [mm]\in \IR^n[/mm] und f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine zweimal stetige
> differenzierbare Funktion. Zeige, dass F : [mm]\IR^n[/mm] x [mm]\IR \to \IR[/mm]
> def. durch F(x,t) := f(<v,x> - ||v||t) eine Lösung der
> Wellengleichung
>
> [mm]F_{tt}[/mm] - [mm]\Delta[/mm] F = 0
> ist.
>
> huhu,
>
> also erstmal hab ich versucht nach t abzuleiten:
>
> [mm]F_{tt}[/mm] muss man ja zweimal nach t ableiten dann:
>
> fliegt dabei nicht alles weg:
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> ich mein wenn ich <v,x> also [mm]v_1 \* x_1[/mm] + .......+ [mm]v_n \* x_n[/mm]
> nach t ableite, ist das doch 0 und wenn ich ||v|| [mm]\*[/mm] t
> zweimal nach t ableite ist das doch auchg 0 oder?
>
Für sich genommen ist das richtig.
Hier musst Du die ![[]](/images/popup.gif) verallgemeinerte Kettenregel benutzen.
Betrachte dazu zunächst
[mm]G\left( \ u\left(x,t\right) \ \right):=F\left(x,t\right)[/mm]
mit [mm]u\left(x,t\right)= - ||v||t[/mm]
Dann ist zu zeigen, daß die Gleichung
[mm]G_{tt} - \Delta G = 0[/mm]
erfüllt wird.
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> [mm]\Delta[/mm] F:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial^2 F}{\partial^2 x_i}[/mm]
> (x,t)
>
> müsste doch eig auch 0 sein oder damit die Gleichung
> aufgeht?
>
> ich komm da auf sowas wie
>
> [mm]\bruch{\partial F}{\partial x_i}[/mm] (x,t) = ( [mm]\summe_{i=1}^{n} v_i[/mm]
> - 0 )
>
> und dies dann nochmal abgeleitet is dann auch 0 oder?
> ich find das ist irgendwie zu nullig....
>
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> Lg,
>
> Eve
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Gruss
MathePower
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