Wendepunkt bestimmen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Fr 04.03.2005 | | Autor: | picke |
für jedes reelle t > 0 ist im intervall [(- [mm] \pi)/6; [/mm] (7* [mm] \pi)/6] [/mm] eine funktion f(x) festgelegt durch
f(x)= cos (2x) - t cos(x)
ich sollte nun den wendepunkt (wp) bestimmen.
ich habe noch errechnet:
f'(x)= -2 sin (2x) + t sin (x)
f''(x)= -4 cos (2x) + t cos (x)
ich hoffe irgendjemand kann mir helfen...
vielen dank schon mal im vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Fr 04.03.2005 | | Autor: | moudi |
> für jedes reelle t > 0 ist im intervall [(- [mm]\pi)/6;[/mm] (7*
> [mm]\pi)/6][/mm] eine funktion f(x) festgelegt durch
>
> f(x)= cos (2x) - t cos(x)
>
> ich sollte nun den wendepunkt (wp) bestimmen.
>
> ich habe noch errechnet:
>
> f'(x)= -2 sin (2x) + t sin (x)
> f''(x)= -4 cos (2x) + t cos (x)
Hallo picke
Wenn du einen Wendepunkt hast gilt $f``(x)=0$. Ich würde daher die Gleichung
[mm] $-4\cos [/mm] (2x) + [mm] t\cos [/mm] (x)=0$ lösen. Beachte, dass [mm] $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$.
[/mm]
Dann ergibt sich eine quadratische Gleichung für [mm] $\cos(x)$.
[/mm]
mfG Moudi
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> ich hoffe irgendjemand kann mir helfen...
> vielen dank schon mal im vorraus!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Sa 05.03.2005 | | Autor: | picke |
danke erstmal für die antwort. jedoch wusste ich schon, dass ich mit
f''(x) = 0 rechnen muss.
mein problem ist das auflösen um den entsprechenden x - Wert zu erhalten.
-8*cos²(x) + t*cos(x) + 4 = 0
bis an diese stelle, kann ich die funktion umformen und dann weiß ich nicht weiter...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 So 06.03.2005 | | Autor: | picke |
> Mach' doch nun eine Substitution: [mm]z \ := \ \cos^2(x)[/mm], damit
> erhältst Du:
>
> [mm]-8 * z^2 + t*z + 4 \ = \ 0[/mm]
>
> Hier kannst du nun (nach einer kurzen Umformung) nach z
> auflösen mit der  p/q-Formel.
>
>
> Am Ende aber die Resubstitution nicht vergessen ...
>
> Kommst Du nun alleine weiter?
habs versucht, aber mir gelingt es nicht
-8z²+tz+4=0
auf z aufzulösen.
habs mit der
p/q formel
mitternachtsformel
und mit umformen versucht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 So 06.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
> habs versucht, aber mir gelingt es nicht
> -8z²+tz+4=0
> auf z aufzulösen.
Ich nehme mal an, Dich "stört" das $t$ ...
Na, dann werden wir mal:
$-8 * [mm] z^2 [/mm] + t*z + 4 \ = \ 0$ $| \ : (-8)$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\red{1} [/mm] * [mm] z^2 [/mm] - [mm] \bruch{t}{8}*z [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] \ = \ 0$
Nun p/q-Formel mit:
$p \ = \ - [mm] \bruch{t}{8}$ [/mm] und $q \ = \ - [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
[mm] $z_{1,2} [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{p}{2} [/mm] \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{\left(\bruch{p}{2}\right)^2-q}$
[/mm]
[mm] $z_{1,2} [/mm] \ = \ + [mm] \bruch{t}{16} [/mm] \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{\bruch{t^2}{256} + \bruch{1}{2}}$
[/mm]
[mm] $z_{1,2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{t}{16} [/mm] \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{\bruch{t^2+128}{256}}$
[/mm]
[mm] $z_{1,2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{t \ \pm \ \wurzel{t^2+128}}{16}$
[/mm]
Re-substitution:
[mm] $\cos^{\blue{1}}(x_{\blue{1,2}}) [/mm] \ = \ [mm] z_{1,2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{t \ \pm \ \wurzel{t^2+128}}{16}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $x_{1, \ \blue{2}} [/mm] \ = \ [mm] \arccos \left(\bruch{t \ \pm \ \wurzel{t^2+128}}{16}\right)$
[/mm]
Edit: Korrektur der Resubstitution: [mm] $\blue{z = \cos}\red{^1}\blue{(x)}$. [/mm] Loddar
Nun mußt Du noch überprüfen, ob auch alle 4 2 x-Werte Lösungen sind bzw. ob hier der [mm] $\arccos$ [/mm] hier auch definiert ist, da ja gelten muß:
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") [mm] $\arccos(z)$ [/mm] ist definiert für $-1 \ [mm] \le [/mm] \ z \ [mm] \le [/mm] \ +1$ !!
Zudem müssen auch die Wurzeln definiert sein (Argument unter der Wurzel [mm] $\ge [/mm] \ 0$ !!).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 So 06.03.2005 | | Autor: | picke |
danke erstmal für die erklärung, doch schon tut sich mir die nächste frage auf:
vor der substitution habe ich
0=-8*cos²(x)+t*cos(x)+4
um dann auf auf eine quatratische gleichung zu kommen müsste ich doch eigentlich mit
cos (x) = z
substituieren (anstatt cos² (x) = x)
dann erhalte ich ja
[mm]-8 * z^2 + t*z + 4 \ = \ 0[/mm]
nachdem ich umgeformt habe und die p/q-formel anwendete erhalte ich ja dann
[mm]z_{1,2} \ = \ \bruch{t \ \pm \ \wurzel{t^2+128}}{16}[/mm]
und nun müsste ich das ergebnis ja wieder mit
z = cos (x)
re-substituieren?
und dann müsst ja eigentlich mein ergebnis
[mm]x_{1 \ 2} \ = \ \arccos \left( \pm \bruch{t \ \pm \ \wurzel{t^2+128}}{4}\right)[/mm]
lauten???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 So 06.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo picke
Dein Ergebnis ist vollkommen korrekt.
mfG Moudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 So 06.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Also das richtige Ergebnis lautet (mein 1. "Vorschlag" war natürlich falsch, wurde aber nunmehr korrigiert ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") ):
[mm] $x_{1, 2} [/mm] \ = \ [mm] \arccos \left(\bruch{t \ \pm \ \wurzel{t^2+128}}{16}\right)$
[/mm]
(Nur 1-mal ist das [mm] $\pm$-Zeichen [/mm] vorhanden; außerdem "16" im Nenner!)
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Mo 07.03.2005 | | Autor: | picke |
herzlichen dank für die hilfe!
das war zwar jetzt ein hardcore mathe-wochenende, hat aber auch spaß gemacht und der erfolg kam auch.
vielen dank nochmals für die hilfe!
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
