Wendepunkt und Wendetangente < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie Wendepunkt und Wendetangente folgender Funktion:
f(x) = [mm] (e^{-x}-1)^2 [/mm] |
Ich habe die Ableitungen folgendermaßen gebildet:
f'(x) = -2e^(-2x) + 2e^(-x)
f''(x) = -8 (-3x)
f'''(x) = 24e^(-3x)
Das müsste eigentlich richtig sein.
Demnach dürfte die Funktion gar keinen Wendepunkt haben. Aber ich kann mir nicht vorstellen, dass mein Lehrer explizit die Wendetangente anspricht, wenn es keinen Wendepunkt gibt.
Wer findet meinen Denkfehler?
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Guten Abend
also bei deiner zweiten Ableitung hat sich ein fehler eingeschlichen. Deine erste Ableitung stimmt. Wenn du [mm] $f'(x)=-2*e^{-2*x}+2*e^{-x}$ [/mm] nocheinmal differenzierst bekomme ich heraus [mm] $f''(x)=4*e^{-2*x}-2*e^{-x}$. [/mm] Du hast hier deine [mm] e^{-2x} [/mm] und [mm] e^{-x} [/mm] falsch zusammengefasst, denke ich mal, denn [mm] e^{-2*x}+e^{-x} \not= e^{-3x}. [/mm] ZUmindest ist bei deiner Zweiten Ableitung das [mm] e^{-2x} [/mm] und das [mm] e^{-x} [/mm] verschwunden. Dann bekommst du auch eine neue dritte Ableitung. Dann kannst du auch die Wendepunkte berechnen.
Einen schönen ABend noch
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Das ist doch die Kettenregel. Und bei der Kettenregel muss man doch die einzelnen Elemente miteinander multiplizieren. Warum aufeinmal addieren?
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Hallo, du willst zwei Summanden ableiten, können wir einzeln ableiten,
1. Summand [mm] -2e^{-2x} [/mm] Ableitung [mm] -2e^{-2x}*(-2) [/mm] der Faktor (-2) kommt von der inneren Ableitung -2x
somit [mm] 4e^{-2x}
[/mm]
2. Summand [mm] 2e^{-x} [/mm] Ableitung [mm] 2e^{-x}*(-1) [/mm] der Faktor (-1) kommt von der inneren -x Ableitung
somit [mm] -2e^{-x}
[/mm]
jetzt beide Ableitungen der einzelnen Summanden addieren [mm] 4e^{-2x}-2e^{-x}
[/mm]
Steffi
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Oh wie dämlich. Hab meinen Fehler gefunden. Danke.
Ich muss ja immernoch den Wendepunkt inklusive Tangente berechnen.
Ich habe dafür die Ableitung vereinfacht zu:
2e^(-x)*(2e^(-x)-1)
Eine Summe ist gleich Null, wenn einer ihrer Faktoren gleich Null ist. Also:
2e^(-x) - 1 = 0
Und so hätte ich weiter gerechnet:
0 = 2*ln(e^(-x)) - ln(1)
0 = 2*(-x)
0 = x
Aber das kann auch wieder nicht. Wo ist mein Fehler :-(
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Hallo, eine Summe ist gleich Null, wenn einer ihrer Faktoren gleich Null ist, jetzt hast du aber alles verwechselt, ein PRODUKT ist gleich Null, wenn ein Faktor gleich Nul ist.
So suchen wir den Wendepunkt f´´(x)=0
[mm] 0=4e^{-2x}-2e^{-x}
[/mm]
[mm] 2e^{-x}=4e^{-2x}
[/mm]
[mm] e^{-x}=2e^{-2x}
[/mm]
[mm] ln(e^{-x})=ln(2e^{-2x})
[/mm]
[mm] ln(e^{-x})=ln(2)+ln(e^{-2x})
[/mm]
-x*ln(e)=ln(2)-2x*ln(e)
so jetzt schaffst du es
x= ...
Berechne dann den Funktionswert an dieser Stelle, dieser Punkt gehört auch zur Tangente (eine Gerade), den Anstieg bekommst du vom Anstieg, berechne also die 1. Ableitung an dieser Stelle,
Steffi
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