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Hallo,
im Skript steht bei uns folgendes:
Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt an der Stelle [mm] x_0 [/mm] : [mm] f''(x_0) [/mm] = 0
Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt an der Stelle [mm] x_0 [/mm] :
[mm] f''(x_0) [/mm] = 0 und [mm] f'''(x_0) \not= [/mm] 0
Dieses [mm] f'''(x_0) \not= [/mm] 0 irritiert mich bisschen.
Wenn ich eine Funktion f habe, dann bilde ich die zweite Ableitung und setze die 0 und berechne ggf. den Wendepunkt.
Muss ich dann noch überprüfen, ob die dritte Ableitung an diesem Punkt, wo ein Wendepunkt liegen soll, ungleich 0 ist ?
Heißt also, wenn die dritte Ableitung an der Stelle [mm] x_0 [/mm] GLEICH null ist, dann ist [mm] x_0 [/mm] kein Wendepunkt gewesen?
Vielen Dank im Voraus und frohe Weihnachten.
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> Hallo,
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> im Skript steht bei uns folgendes:
> Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt an der Stelle
> [mm]x_0[/mm] : [mm]f''(x_0)[/mm] = 0
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> Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt an der Stelle
> [mm]x_0[/mm] :
>
> [mm]f''(x_0)[/mm] = 0 und [mm]f'''(x_0) \not=[/mm] 0
>
> Dieses [mm]f'''(x_0) \not=[/mm] 0 irritiert mich bisschen.
Hallo und frohe Weihnachten,
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> Wenn ich eine Funktion f habe, dann bilde ich die zweite
> Ableitung und setze die 0 und berechne ggf. den
> Wendepunkt.
Du berechnest so die Stellen, an denen es Wendepunkte geben könnte.
>
> Muss ich dann noch überprüfen, ob die dritte Ableitung an
> diesem Punkt, wo ein Wendepunkt liegen soll, ungleich 0 ist
> ?
Ja. Wenn dies der Fall ist, kannst Du sicher sein, einen Wendepunkt gefunden zu haben.
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> Heißt also, wenn die dritte Ableitung an der Stelle [mm]x_0[/mm]
> GLEICH null ist, dann ist [mm]x_0[/mm] kein Wendepunkt gewesen?
Nein!
Wenn die dritte Ableitung auch =0 ist, knnst Du mit diesem Kriterium nicht entscheiden, ob es ein Wendepunkt ist.
LG Angela
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> Vielen Dank im Voraus und frohe Weihnachten.
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Hallo,
stimmt, jetzt macht es Klick :D Danke für die Antwort.
Eine Frage habe ich noch: Wenn die erste Ableitung einer Funktion gleich null ist, und die zweite auch, was kann man dann über die Funktion aussagen? Was bedeutet es, wenn die ersten beiden Ableitungen null sind.
Wenn bei einer Funktion die erste Ableitung null ist, dann ist f eine konstante Funktion. Reicht das schon, oder ändert sich an f etwas, wenn noch die zweite Ableitung zusätzlich null ist?
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> Hallo,
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> stimmt, jetzt macht es Klick :D Danke für die Antwort.
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> Eine Frage habe ich noch: Wenn die erste Ableitung einer
> Funktion gleich null ist, und die zweite auch, was kann man
> dann über die Funktion aussagen? Was bedeutet es, wenn die
> ersten beiden Ableitungen null sind.
Hallo,
was genau meinst Du?
Betrachtest Du gerade eine Stelle [mm] x_0 [/mm] mit [mm] f'(x_0)=0 [/mm] und [mm] f''(x_0)=0?
[/mm]
Dann wissen wir: bei [mm] x=x_0 [/mm] ist eine waagerechte Tangente.
Hier könnte eine Extremstelle sein. Oder halt ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also ein Sattelpunkt.
Mithilfe von [mm] f''(x_0)=0 [/mm] können wir dies nicht entscheiden.
>
> Wenn bei einer Funktion die erste Ableitung null ist, dann
> ist f eine konstante Funktion.
Wenn f' die Nullfunktion ist, als f'(x)= 0 für alle x,
dann ist f eine konstante Funktion.
> Reicht das schon, oder
> ändert sich an f etwas, wenn noch die zweite Ableitung
> zusätzlich null ist?
Da ändert sich nichts. Die zweite Ableitung at ja keine andere Wahl als auch die Nullfunktion zu sein.
LG Angela
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Ja, genau.
Hier auf Wikipedia wird es bei dem zweiten Beispiel (unten) deutlich: ![[]](/images/popup.gif) Link
Dort haben sie f(x) = [mm] x^4 [/mm] + 3
f'(x) = [mm] 4x^3
[/mm]
f''(x) = [mm] 12x^2
[/mm]
Wenn man nun ein Extremum finden möchte, setzt man die erste Ableitung null, also:
[mm] 4x^3 [/mm] = 0
x = 0
Jetzt setzen wir die 0 in die zweite Ableitung ein und es ist f''(0) = 0
Jetzt steht da, dass es verschiedene Arten gibt, fortzufahren. Ich bevorzuge deren erste Art.
Die gucken sich die dritte Ableitung f'''(x) = 24x an , auch da ist f'''(0) = 0
Aber die vierte Ableitung ist [mm] f^{(4)} [/mm] = 24
Und jetzt steht da " Die vierte Ableitung hingegen ist mit [mm] {\displaystyle f^{(4)}(x)=24} f^{{(4)}}(x)=24 [/mm] die erste höhere Ableitung, die nicht 0 ist. Da diese Ableitung einen positiven Wert hat und gerade ist, gilt nach (1) (das ist die Referenz zu den Taylorpolynoomen), dass die Funktion dort ein lokales Minimum besitzt.
Die vierte Ableitung ist ja [mm] f^{(4)} [/mm] = 24
und 4 ist gerade (also der Grad der Ableitung) und die 24 ist > 0
somit gibt es in [mm] x_0 [/mm] = 0 ein Minimum.
Habe ich das richtig verstanden?
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> Ja, genau.
>
> Hier auf Wikipedia wird es bei dem zweiten Beispiel (unten)
> deutlich:
> Link
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> Dort haben sie f(x) = [mm]x^4[/mm] + 3
> f'(x) = [mm]4x^3[/mm]
> f''(x) = [mm]12x^2[/mm]
>
> Wenn man nun ein Extremum finden möchte, setzt man die
> erste Ableitung null, also:
>
> [mm]4x^3[/mm] = 0
> x = 0
>
> Jetzt setzen wir die 0 in die zweite Ableitung ein und es
> ist f''(0) = 0
>
> Jetzt steht da, dass es verschiedene Arten gibt,
> fortzufahren. Ich bevorzuge deren erste Art.
Das ändert sich an dem Tag, an welchem Du dafür 1234mal ableiten mußt.
>
> Die gucken sich die dritte Ableitung f'''(x) = 24x an ,
> auch da ist f'''(0) = 0
> Aber die vierte Ableitung ist [mm]f^{(4)}[/mm] = 24
>
> Und jetzt steht da " Die vierte Ableitung hingegen ist mit
> [mm]{\displaystyle f^{(4)}(x)=24} f^{{(4)}}(x)=24[/mm] die erste
> höhere Ableitung, die nicht 0 ist. Da diese Ableitung
> einen positiven Wert hat und gerade ist, gilt nach (1) (das
> ist die Referenz zu den Taylorpolynoomen), dass die
> Funktion dort ein lokales Minimum besitzt.
>
> Die vierte Ableitung ist ja [mm]f^{(4)}[/mm] = 24
>
> und 4 ist gerade (also der Grad der Ableitung) und die 24
> ist > 0
> somit gibt es in [mm]x_0[/mm] = 0 ein Minimum.
>
> Habe ich das richtig verstanden?
Ja.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 So 25.12.2016 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar, vielen Dank für deine Hilfe und ein schönes Wochenende noch.
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