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Wendestellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:58 Do 11.05.2006
Autor: Bit2_Gosu

Hallo !

funktion f(x) = [mm] x^5 [/mm]

f''(x)= [mm] 20*x^3 [/mm]    

0 = [mm] 20*x^3 [/mm]      x=0

0 ist also eine potenzielle Wendestelle.

Jetzt sagen die, es liegt nur eine Wendestelle vor,
wenn f'''(pot. wendestelle) ungleich 0.

f'''(0) ist hier aber Null, daraus folgt 0 ist keine Wendestelle.


Mache ich das Gleiche aber mit [mm] x^3, [/mm] so erhalte ich 0 als gültige Wendestelle. Da die dritte Ableitung =6  (also ungleich 0)

[mm] x^3 [/mm] hat doch aber genau die selbe Form wie [mm] x^5 [/mm] und wendet genauso in 0.

warum bekommt man dann rechnerisch einmal die wendestelle 0 raus und einmal nicht????

Danke schon mal !



        
Bezug
Wendestellen: hinreichendes Kriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Do 11.05.2006
Autor: Roadrunner

Hallo Bit2Gosu!


Bei dem Kriterium [mm] $f'''(x_w) \not= [/mm] 0$ handelt es sich um ein hinreichendes Kriterium. Das heißt also, es muss nicht zwangsläufig erfüllt sein, damit bei [mm] $x_w$ [/mm] auch wirklich eine Wendestelle vorliegt.

Der Schluss lautet lediglich:

Wenn [mm] $f''(x_w)=0$ [/mm] und [mm] $f'''(x_w)\not=0$ $\Rightarrow$ $x_w$ [/mm] ist Wendestelle.


Wenn dieses hinreichende Kriterium nicht erfüllt ist, kannst Du es aber nachweisen über den Vorzeichenwechsel bei der 2. Ableitung.

Betrachte also Werte rechts und links von [mm] $x_w$ [/mm] , setze ein in die 2. Ableitung $f''(x)_$ und überprüfe, ob ein Vorzeichenwechsel vorliegt.

Wenn kein Vorzeichenwechsel vorliegt, liegt auch keine Wendestelle vor.


Gruß vom
Roadrunner


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