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Hallo Matheraummitglieder,
Welcher dieser beiden Mr-Mitglieder Luze oder milky-way ist weiter von Marc entfernt?
Als Informationen hab ich mal aus dem Atlas per Augenmaß rausgesucht:
Marc(Essen)
7° östliche Länge
52° nördliche Breite
Luze(Lima)
77° westliche Länge
12° südliche Breite
milky-way(Shanghai)
122° östliche Länge
31° nördliche Breite
Zusatzfrage: Wie weit? (Erdradius: 6378km)
Viel Spaß!
mathemaduenn
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Lieber Stefan,
Aber klar doch.
Warum ist Rasmus weiter von Marc entfernt als Luze oder milky-way?
Nochmal die Infos:
Marc(Essen)
7° östliche Länge
52° nördliche Breite
Luze(Lima)
77° westliche Länge
12° südliche Breite
milky-way(Shanghai)
122° östliche Länge
31° nördliche Breite
Rasmus(Sydney)
151° östliche Länge
34° südliche Breite
Hier läßt sich etwas einfacher argumentieren deshalb eine extra Frage .
Zusatzfrage(genauso schwierig): Wie weit ist Rasmus von Marc entfernt? (Erdradius: 6378km)
Viel Spaß!
Christian
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Wenn ich die Aufgabe sehe würd ich ja folgendes sagen:
Entfernung von Marc zu Luze
Differenz von 84 Längengraden und 64 Beitengraden
[mm] Entfernung=\wurzel{(6378*\bruch{84}{360}*\pi)^{2}+(6378*\bruch{64}{360}*\pi)^{2}}
[/mm]
Aber da die Aufgabe im Mathematik-Wettbewerb-Forum geposted worden ist, bin ich äußerst misstrauisch ^^
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Hallo Wandfliese,
Wohl war. Ganz so einfach ist es nicht.
Dazu kannst Du Dir einen Globus nehmen.
Wenn Du 2 Punkte hast die 89° nördlicher Breite liegen. (Also fast am Norpol) mit 0° und 10° westlicher Länge. Dann sind die relativ nah beieinander. 2 Punkte am Äquator relativ mit 0° und 10° westlicher Länge sind relativ weit entfernt. Nach deiner Rechnung sind aber beide Punktepaare gleich weit voneinander entfernt.
Es macht also einen Unterschied ob Du am Nordpol oder am Äquator entlanggehst. Ein weiter Knackpunkt ist das der "Satz des Pythagoras" den Du bei der Lösung verwendest auf einer Kugel nicht gilt.
viele Grüße und viel Spass beim Knobeln
Christian
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Mo 02.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Wandfliese (mit ner Fliese zu sprechen fällt mir schwer!)
Du hast ne ganze Menge guter Gedanken investiert, leider sind dabei auch 2 Fehler unterlaufen: ich schreib sie an den entsprechenden Stellen auf!
> Ich weiß nicht ob man sich diesen Weg ohne Zeichnung
> klarmachen kann, aber meinen Ansatz zu verstehen ist dann
> noch die Zusatzaufgabe für diejenigen die die Lösung schon
> haben 
>
> Ich nehme dabei an, dass ein Punkt auf dem Äquator liegt
> (kann man doch verschieben oder wohl der nächste
> Fehler)
>
> Zuerst bilde ich die Differenz der Breitengraden (h)
> und die Differenz der Längengraden (l)
>
> die direkten Verbindungsstrecke auf einer Kugel wäre dann:
>
> [mm]h_{Strecke}=\bruch{h}{360}*6378*\pi[/mm]
>
> Die direkte Verbindungsstrecke zwischen den beiden
> Breitengraden (also nicht auf der Oberfläche der Kugel,
> sondern auf Luftlinie durch die Erde hindurch)
>
>
> [mm]h_{direkt}=\wurzel{2*r^{2}*(1-cos(\bruch{360*h_{strecke}}{2*r*\pi}))}[/mm]
>
> [mm]h_{direkt}=\wurzel{2*r^{2}*(1-cos(h))}[/mm]
richtig, auch wenn der Pkt nicht auf dem Äquator liegt.
>
> mein nächster Schritt ist es zu berechen welche Radius der
> Kreis hat auf dem der Punkt mit dem höheren Längengrad
> liegt
>
> [mm]r_{neu}=r-r*(sin(90-h))[/mm]
falsch, richtig ist:
[mm] r_{neu}=r*cos(h) [/mm] =r*sin(90-h)
wie du auf deine Formel kommst weiss ich nicht, sehe auch nicht, wo du sie benutzest!
>
> Mit diesem Radius rechne ich die Entfernung zwischen den
> beiden Längengeraden aus.
>
> [mm]l_{Strecke}=\bruch{l}{360}*2*r_{neu}*\pi[/mm]
>
>
> [mm]l_{direkt}=\wurzel{2*r^{2}*(1-cos(\bruch{360*l_{strecke}}{2*r*\pi}))}[/mm]
>
> [mm]l_{direkt}=\wurzel{2*r^{2}*(1-cos(l))}[/mm]
Hier müsste statt r [mm] r_{neu} [/mm] stehen.
> Jetzt berechne ich die Luftlinie zwischen den beiden
> Punkten
>
> [mm]Luftlinie=\wurzel{l_{direkt}^{2}+h_{direkt}^{2}}[/mm]
hier setzest du vorraus, dass die 2 Strecken [mm] l_{direkt} [/mm] und [mm] h_{direkt} [/mm] senkrecht aufeinander stehen. Das stimmt nicht. Schade.
Mit der Kugel umgehen ist nicht so einfach! Eine Möglichkeit ist es, immer alles vom Kugelmittelpunkt aus zu sehen.,was du ja beim berechnen von h auch gemacht hast. die Ideesolltest du weiter verfolgen oder mal was über "sphärische Geometrie lesen, wenn dich so Sachen interessieren. so wie du an die Aufgabe ran gegangen bist kannst du das sicher!
> Daraus folgt
>
> [mm]Entfernung=\bruch{arccos(1-\bruch{Luftlinie^{2}}{2*r^{2}})*2*r*\pi}{360}[/mm]
>
> Naja ich glaube ! , dass das ist die richtige Methode
> wenn ein Punkt auf dem Äquator liegt
>
> MFG & viel Spaß beim korrigieren Wandfliese
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Hallo Christian,
Obwohl sich Wandfliese schon so ausgibig mit der Aufgabe beschäftigt hat, möchte ich jetzt auch noch meine Lösungsidee posten.
Zuerst ein paar allgemeine Überlegungen wie ich von Koordinaten der Form [mm] (\alpha|\beta|r) [/mm] auf welche der Form [mm] (x_1|x_2|x_3) [/mm] komme.
Ich betrachte die Erde hierbei als Einheitskugel, [mm] \alpha [/mm] als den Höhenwinkel, [mm] \beta [/mm] als den Breitenwinkel.
Die [mm] x_3-Achse [/mm] durchsteche die Erde von Süd nach Nord und der Kugelmittelpunkt liege im Ursprung.
Offentsichtlich gilt [mm] $x_3=sin\alpha$ [/mm] und der Breitenkreis hat den Radius [mm] $r=cos\alpha$
[/mm]
Ferner kann mun nun folgern [mm] $x_1=r*cos\beta$ [/mm] und [mm] $x_2=r*sin\beta$
[/mm]
Ein durch [mm] (\alpha|\beta|1) [/mm] festgelegter Ort hat also die Kartesischen Koordinaten [mm] $(cos\alpha cos\beta|cos\alpha sin\beta|sin \alpha)$
[/mm]
Essen(Marc) ist durch [mm] $\alpha=52°$ [/mm] und [mm] $\beta=7°$ [/mm] gegeben, hat also die Koordinaten:(0,611|0,075|0,788)
Lima(Luze) ist durch [mm] $\alpha=-12°$ [/mm] und [mm] $\beta=-77°$ [/mm] gegeben, hat also die Koordinaten:(0,220|-0,953|0,208)
Shanghai(milky-way) ist durch [mm] $\alpha=31°$ [/mm] und [mm] $\beta=122°$ [/mm] gegeben, hat also die Koordinaten:(-0,454|0,727|0,515)
Sydney(Rasmus) ist durch [mm] $\alpha=-34°$ [/mm] und [mm] $\beta=151°$ [/mm] gegeben, hat also die Koordinaten:(-0,725|0,402|-0,559)
Ich errechne jetzt die Abstände der Punke nicht als Kreisbogen auf der Kugeloberfläche, sondern als direkten Euklidischen Abstand. Dies ist unproblematisch, da wenn der euklidische Abstand zweier Punkte größer ist, als der zweier anderer, so trifft das gleiche für den Abstand auf der Sphäre zu.
[mm]d(Marc;Rasmus)=d((0,611|0,075|0,788);(-0,725|0,402|-0,559))=\wurzel{(0,611+0,725)^2+(0,075-0,402)^2+(0,788+0,559)^2}=1,925[/mm]
[mm]d(Marc;Luze)=d((0,611|0,075|0,788);(0,220|-0,953|0,208))=\wurzel{(0,611-0,220)^2+(0,075+0,953)^2+(0,788-0,208)^2}=1,243[/mm]
[mm]d(Marc;Milky-Way)=d((0,611|0,075|0,788);(-0,454|0,727|0,515))=\wurzel{(0,611+0,454)^2+(0,075-0,727)^2+(0,788-0,515)^2}=1,278[/mm]
Man erkennt also, das Rasmus am weitesten von Marc entfernt ist. Er erreicht immerhin fast den maximalen Abstand von 2.
Zuletzt noch den Abstand von Marc und Rasmus auf der Sphäre:
Man betrachtet das gleichschenklige Dreieck mit den Schenkeln 1 und Basis 1,925. Es gilt nun für den eingeschossenen Winkel: [mm]sin\frac{\varphi}{2}=\frac{1,925}{2} \gdw \varphi=2*arcsin 0,9625=148,519°[/mm]
Somit ist der gesuchte Abstand auf der Einheitskugel [mm]d_S=2\pi\frac{148,519°}{360°}[/mm]
und der Abstand auf der Erde:
[mm]d_E=2\pi\frac{148,519°}{360°}*6378km=16533km[/mm]
Weil ich oben so fleißig gerundet hab, jetzt nochmal die gesammte Rechnung in einem Term.
[mm]2\pi*\frac{2*arcsin((\wurzel{(cos(52°)cos(7°) - cos(-34°)cos(151°))^2+(cos(52°)sin(7°) - cos(-34°)sin(151°))^2+(sin(52°)-sin(-34))^2}/2)}{360°}*6378km=16542km[/mm]
Gruß Samuel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Mo 02.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Samuel
Alles 100% richtig!
Ein kleiner Tip, wenn du Skalarprodukte kennst geht es noch was schneller:
Du hast die 2 Einheits-Vektoren vom Mittelpunkt der Kugel. Ihr Skalarprodukt ist der cos des eingeschlossenen Winkels. Wenn man das allgemein aufschreibt, kann man die Formel noch durch die Additionstheoreme etwas vereinfachen.
Die Bemerkung macht aber dein konsequentes Vorgehen nicht schlechter.
Gruss und Kompliment leduart
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![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]"){kind=small}
interessiert und das hier korrigieren kann, oder?
