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| Aufgabe | Berechnen Sie den Wert der folgenden Reihe:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n+\bruch{1}{2}}{n^2(n+1)^2} [/mm] |
Hallo,
hat jemand Tipps für mich?
Habe bisher nur:
[mm] b_n [/mm] := [mm] \bruch{n+\bruch{1}{2}}{n^2(n+1)^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n}\bruch{1}{(n+1)^2}(1+\bruch{1}{2n})
[/mm]
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> Berechnen Sie den Wert der folgenden Reihe:
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> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n+\bruch{1}{2}}{n^2(n+1)^2}[/mm]
Der Summationsindex sollte wohl n sein, und nicht i !
(sonst wird die Summe stets unendlich bzw. undefiniert)
LG
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Ja sorry, ich habe mich vertan.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:51 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie den Wert der folgenden Reihe:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n+\bruch{1}{2}}{n^2(n+1)^2}[/mm]
> Hallo,
>
> hat jemand Tipps für mich?
Ja:
Bestimme A,B [mm] \in \IR [/mm] so, dass
[mm] \bruch{n+\bruch{1}{2}}{n^2(n+1)^2}=\bruch{A}{n^2}+\bruch{B}{(n+1)^2}
[/mm]
FRED
>
> Habe bisher nur:
>
> [mm]b_n[/mm] := [mm]\bruch{n+\bruch{1}{2}}{n^2(n+1)^2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{n}\bruch{1}{(n+1)^2}(1+\bruch{1}{2n})[/mm]
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Habe jetzt folgendes rausbekommen:
[mm] b_n [/mm] := [mm] \bruch{n+\bruch{1}{2}}{n^2(n+1)^2}
[/mm]
Mit dem Satz der Partialbruchzerlegung folgt:
(*) [mm] b_n [/mm] = [mm] \bruch{A}{n^2} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(n+1)^2} [/mm] für eindeutige A, B [mm] \in \IC
[/mm]
Bestimme A
Multipliziere (*) mit [mm] n^2 [/mm] und setze für n Null ein.
[mm] \Rightarrow [/mm] A = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Bestimme B
Multipliziere (*) mit [mm] (n+1)^2 [/mm] und setze für n -1 ein.
[mm] \Rightarrow [/mm] B = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow b_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(\bruch{1}{n^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(n+1)^2})
[/mm]
[mm] \Rightarrow B_j [/mm] := [mm] \summe_{n=1}^{j}b_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\summe_{n=1}^{j}(\bruch{1}{n^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(n+1)^2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{9} [/mm] + [mm] \bruch{1}{9} [/mm] - [mm] \bruch{1}{16} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{j^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(j+1)^2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{(j+1)^2}) \to \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Stimmt das so?
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Hallo Blackburn,
ja, so stimmt das.
Grüße
reverend
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Ok, danke für eure Hilfe. :)
Grüsse
Alexander
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