Wert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] eine konvergente Reihe, wobei [mm] a_n \in \IC [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (R_n) [/mm] eine Nullfolge ist, wobei [mm] R_n [/mm] = [mm] \summe_{k=n+1}^{\infty}a_k
[/mm]
b) Man nehme an, dass es ein M [mm] \in \IR [/mm] gebe mit 0 < M < 1, sodass [mm] |a_{k+1}| \le M|a_k| [/mm] für alle k [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen Sie, dass dann gilt:
[mm] |R_n| \le \bruch{M}{1-M}|a_n| \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
c) Beweisen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n}*10^n} [/mm] konvergiert und bestimmen Sie ihren Wert bis auf eine Abweichung, die kleiner ist als [mm] 10^{-4} [/mm] |
Hallo zusammen,
zu a) : Ist der Beweis so richtig?
Beweis:
Es ist [mm] R_n [/mm] = [mm] \summe_{k=n+1}^{\infty}a_k [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{n}a_k
[/mm]
[mm] S_n [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{n}a_k [/mm] Partialsumme von [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k
[/mm]
Nach Voraussetzung ist [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] konvergent.
[mm] \Rightarrow [/mm] lim [mm] S_n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] = L [mm] \in \IC
[/mm]
[mm] \Rightarrow R_n \to [/mm] L - L = 0
[mm] \Rightarrow R_n [/mm] Nullfolge.
[mm] \Box
[/mm]
zu b) : Hier habe ich absolut keine Ahnung, wie ich anfangen soll. Hat jemand einen Tipp?
zu c) : Hier weiß ich nicht, wie ich den Wert bestimmen soll. Ich habe bisher nur folgendes:
Es gilt: [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}*10^n} \le \bruch{1}{10^n}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{\wurzel{n}} \le [/mm] 1
[mm] \gdw [/mm] 1 [mm] \le \wurzel{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Aus [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{10})^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{10}} [/mm] = [mm] \bruch{10}{9} [/mm] (geom. Reihe) folgt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n}*10^n} [/mm] konvergiert (Vergleichskriterium) und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n}*10^n} \le \bruch{10}{9}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] eine konvergente Reihe, wobei
> [mm]a_n \in \IC[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass die Folge [mm](R_n)[/mm] eine Nullfolge ist,
> wobei [mm]R_n[/mm] = [mm]\summe_{k=n+1}^{\infty}a_k[/mm]
>
> b) Man nehme an, dass es ein M [mm]\in \IR[/mm] gebe mit 0 < M < 1,
> sodass [mm]|a_{k+1}| \le M|a_k|[/mm] für alle k [mm]\in \IN.[/mm] Zeigen
> Sie, dass dann gilt:
>
> [mm]|R_n| \le \bruch{M}{1-M}|a_n| \forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
>
> c) Beweisen Sie, dass die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n}*10^n}[/mm] konvergiert
> und bestimmen Sie ihren Wert bis auf eine Abweichung, die
> kleiner ist als [mm]10^{-4}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> zu a) : Ist der Beweis so richtig?
>
> Beweis:
>
> Es ist [mm]R_n[/mm] = [mm]\summe_{k=n+1}^{\infty}a_k[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_k[/mm] - [mm]\summe_{k=1}^{n}a_k[/mm]
das stimmt - aber hier würde ich schon erwähnen, dass [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}a_k$ [/mm]
nach Voraussetzung existiert - sonst könntest Du das gar nicht so
hinschreiben! Insbesondere braucht man das ja auch, damit die [mm] $R_n$
[/mm]
überhaupt definiert sind: [mm] $R_n=\lim_{m \to \infty} \sum_{k=n+1}^m a_k\,.$
[/mm]
Wenn man das genau begründen will:
Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] und $m > [mm] n\,.$ [/mm] Dann gilt
[mm] $$\sum_{k=1}^m a_k=\sum_{k=1}^n a_k+\sum_{k=n+1}^m a_k\,.$$
[/mm]
Daraus folgt
[mm] $$\lim_{m \to \infty} \sum_{k=1}^m a_k=\lim_{m \to \infty} \Big( \sum_{k=1}^n a_k+\sum_{k=n+1}^m a_k\Big)$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow \;\;\lim_{m \to \infty} \sum_{k=1}^m a_k=\Big( \lim_{m \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k\Big)+\lim_{m \to \infty}\sum_{k=n+1}^m a_k$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow \;\;\lim_{m \to \infty} \sum_{k=1}^m a_k=\Big( \lim_{m \to \infty} S_\red{n}\Big)+\lim_{m \to \infty}\sum_{k=n+1}^m a_k$$
[/mm]
[mm] $$\stackrel{\text{bea. } n \text{ hängt nicht von }m \text{ ab}}{\Rightarrow} \;\;\lim_{m \to \infty} \sum_{k=1}^m a_k=S_\red{n}+\lim_{m \to \infty}\sum_{k=n+1}^m a_k$$
[/mm]
[mm] $${\Rightarrow} \;\;L=S_n+R_n$$
[/mm]
mit
> [mm]S_n[/mm] := [mm]\summe_{k=1}^{n}a_k[/mm] Partialsumme von [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_k[/mm]
also folgt [mm] $R_n=L-S_n\,.$
[/mm]
> Nach Voraussetzung ist [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_k[/mm]
> konvergent.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] lim [mm]S_n[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_k[/mm] = L [mm]\in \IC[/mm]
Weil [mm] $(L-S_n)_n$ [/mm] folglich eine Nullfolge ist (d.h. [mm] $(|L-S_n|)_n$ [/mm] ist eine
reellwertige Nullfolge), folgt, dass [mm] $(R_n)_n$ [/mm] konvergiert - und daher folgt
> [mm]\Rightarrow R_n \to[/mm] L - L = 0
>
> [mm]\Rightarrow R_n[/mm] Nullfolge.
>
> [mm]\Box[/mm]
Jo. Aber wie gesagt: Man muss sich schon erstmal überlegen, dass die
Folge [mm] $(R_n)_n$ [/mm] überhaupt eine in [mm] $\IC$ [/mm] 'sinnvoll definierte Folge' ist.
(Damit das klarer wird: Wie sähen denn die [mm] $R_n$ [/mm] aus, wenn [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n$
[/mm]
divergent wäre? Betrachte mal [mm] $a_n=(-1)^n$ [/mm] oder [mm] $a_n=1/n\,,$ [/mm] damit Du
siehst, dass die Konvergenz der Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n$ [/mm] oben
wesentlich eingeht.)
>
> zu b) : Hier habe ich absolut keine Ahnung, wie ich
> anfangen soll. Hat jemand einen Tipp?
Ich mach's mal nicht ganz beweistechnisch sauber, aber das ganze kannst
Du ja danach dann sicher formal sauber hinschreiben (durch Formulierung
einer Behauptung, die Du etwa induktiv beweisen kannst). Die Idee ist
nämlich relativ simpel:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] und jedes $m [mm] \ge [/mm] n+1$ gilt (allgemeine Dreiecksungl.)
[mm] $$\left|\sum_{k=n+1}^m a_k\right| =|a_{n+1} [/mm] + ... [mm] +a_m| \le |a_{n+1}|+..+|a_m|\,.$$
[/mm]
Nun ist
[mm] $$|a_{n+\red{1}}| \le M*|a_n|=M^{\red{1}}*|a_n|\,,$$
[/mm]
[mm] $$|a_{n+\red{2}}| \le M*|a_{n+1}|< \le M^\red{2}*|a_n|\,,$$
[/mm]
[mm] $$|a_{n+\red{3}}| \le M*|a_{n+2}| \le M*M^2*|a_n|=M^\red{3}*|a_n|\,,$$
[/mm]
$$.$$
$$.$$
$$.$$
[mm] $$|a_{m}|=|a_{n+\red{(m-n)}}| \le [/mm] ... [mm] \le M^\red{m-n}*|a_n|\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$\left|\sum_{k=n+1}^m a_k\right| \le \big(\sum_{k=\textbf{\red 1}}^{m-n} M^k\big)*|a_n|$$
[/mm]
Lasse nun $m [mm] \to \infty$ [/mm] laufen (beachte, dass $m [mm] \to \infty\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\; [/mm] (m -n) [mm] \to \infty$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm]
und dass [mm] $\sum_{k=0}^\infty M^k$ [/mm] eine geometrische Reihe ist - zudem
beachte auch
[mm] $$\sum_{k=\textbf{\red 1}}^\infty q^k=q*\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac [/mm] q {1-q} [mm] \text{ für alle }|q| [/mm] < 1$$
und begründe damit insbesondere die absolute Konvergenz der Reihen
[mm] $\sum_{k=n+1}^\infty a_k={\Bigg(\sum_{k=n+1}^m a_k\Bigg)}_{\substack{m \ge n+1\\m \in \IN}}^\infty\,.$ [/mm] (Beachte, dass
bei jeder dieser Reihen das [mm] $n\,$ [/mm] jeweils als fester Parameter anzusehen
ist!)
Gruß,
Marcel
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> Ich mach's mal nicht ganz beweistechnisch sauber, aber das
> ganze kannst
> Du ja danach dann sicher formal sauber hinschreiben (durch
> Formulierung
> einer Behauptung, die Du etwa induktiv beweisen kannst).
> Die Idee ist
> nämlich relativ simpel:
> Für jedes [mm]n \in \IN[/mm] und jedes [mm]m \ge n+1[/mm] gilt (allgemeine
> Dreiecksungl.)
> [mm]\left|\sum_{k=n+1}^m a_k\right| =|a_{n+1} + ... +a_m| \le |a_{n+1}|+..+|a_m|\,.[/mm]
>
> Nun ist
> [mm]|a_{n+\red{1}}| \le M*|a|_n=M^{\red{1}}*|a_n|\,,[/mm]
>
> [mm]|a_{n+\red{2}}| \le M*|a|_{n+1} \le M^\red{2}*|a_n|\,,[/mm]
>
> [mm]|a_{n+\red{3}}| \le M*|a|_{n+2} \le M*M^2*|a_n|=M^\red{3}*|a_n|\,,[/mm]
>
> [mm].[/mm]
> [mm].[/mm]
> [mm].[/mm]
> [mm]|a_{m}|=|a_{n+\red{(m-n)}}| \le ... \le M^\red{m-n}*|a|_n\,,[/mm]
>
> also
> [mm]\left|\sum_{k=n+1}^m a_k\right| \le \big(\sum_{k=\textbf{\red 1}}^{m-n} M^k\big)*|a_n|[/mm]
>
> Lasse nun [mm]m \to \infty[/mm] laufen (beachte, dass [mm]m \to \infty\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\; (m -n) \to \infty[/mm]
> für alle [mm]n \in \IN[/mm]
> und dass [mm]\sum_{k=0}^\infty M^k[/mm] eine geometrische Reihe ist
> - zudem
> beachte auch
> [mm]\sum_{k=\textbf{\red 1}}^\infty q^k=q*\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac q {1-q} \text{ für alle }|q| < 1[/mm]
>
> und begründe damit insbesondere die absolute Konvergenz
> der Reihen
> [mm]\sum_{k=n+1}^\infty a_k={\Bigg(\sum_{k=n+1}^m a_k\Bigg)}_{\substack{m \ge n+1\\m \in \IN}}^\infty\,.[/mm]
> (Beachte, dass
> bei jeder dieser Reihen das [mm]n\,[/mm] jeweils als fester
> Parameter anzusehen
> ist!)
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo Marcel,
ich wollte diese Ungleichung [mm] |a_{m}|=|a_{n+\red{(m-n)}}| \le [/mm] ... [mm] \le M^\red{m-n}*|a|_n [/mm] per Induktion beweisen. Muss ich hier eine Induktion nach m und n durchführen? Oder reicht es nur Induktion nach m zu machen?
Mein Beweis für b) sieht jetzt wie folgt aus, aber ich bin damit irgendwie nicht zufrieden, da zu viel Pünktchenschreibweise, aber ich weiß nicht, wie ich es besser hinkriegen soll.
Beweis:
[mm] |R_n| [/mm] = [mm] |\summe_{k=n+1}^{\infty}a_k| [/mm] = [mm] |a_{n+1} [/mm] + [mm] a_{n+2} [/mm] + ... + [mm] a_m [/mm] + ...| [mm] \le |a_{n+1}| [/mm] + [mm] |a_{n+2}| [/mm] + ... + [mm] |a_m| [/mm] + ... [mm] \le M|a_n| [/mm] + [mm] M|a_{n+1}| [/mm] + ... + [mm] M|a_{m-1}| [/mm] + ... [mm] \le M|a_n| [/mm] + [mm] M^2|a_n| [/mm] + ... + [mm] M^{m-n}|a_n| [/mm] + ... = (M + [mm] M^2 [/mm] + ... + [mm] M^{m-n} [/mm] + [mm] ...)|a_n| [/mm] = [mm] (\summe_{k=1}^{\infty}M^k)|a_n| [/mm] = [mm] \bruch{M}{1-M}|a_n|
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Beweis für c):
[mm] b_n [/mm] := [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}*10^n} \Rightarrow |b_n| [/mm] = [mm] b_n [/mm] > 0 für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Wegen (a) ist [mm] (R_n) [/mm] Nullfolge, wobei [mm] R_n [/mm] = [mm] \summe_{k=n+1}^{\infty}b_k
[/mm]
Zeige [mm] b_{n+1} \le M*b_n [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] und M := [mm] \bruch{1}{10}
[/mm]
[mm] b_{n+1} \le \bruch{1}{10}*b_n
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{\wurzel{n+1}*10^{n+1}} \le \bruch{1}{10}\bruch{1}{\wurzel{n}*10^{n}}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{\wurzel{n+1}} \le \bruch{1}{\wurzel{n}}
[/mm]
Also ist [mm] b_{n+1} \le M*b_n [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Nun können wir (b) benutzen, da 0 < [mm] \bruch{1}{10} [/mm] < 1.
[mm] \Rightarrow |R_n| [/mm] = [mm] \summe_{k=n+1}^{\infty}b_k \le \bruch{\bruch{1}{10}}{1-\bruch{1}{10}}*|b_n| [/mm] = [mm] \bruch{1}{9}*b_n [/mm] für alle n
Sei n = 4.
[mm] \Rightarrow R_4 [/mm] = [mm] \summe_{k=5}^{\infty}b_k \le \bruch{1}{9}*b_4 [/mm] = [mm] \bruch{1}{180000}
[/mm]
Also hat der Wert der Reihe [mm] \summe_{k=5}^{\infty}b_k [/mm] mind. 5 Nachkommastellen. Folglich weicht die Summe der ersten 4 Glieder der Reihe um einen Wert [mm] \le \bruch{1}{180000} [/mm] ab. Dies genügt nach Aufgabenstellung.
Berechne [mm] b_1 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] + [mm] b_3 [/mm] + [mm] b_4 [/mm] = 0,1076984181.
[mm] \Box
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Ich mach's mal nicht ganz beweistechnisch sauber, aber das
> > ganze kannst
> > Du ja danach dann sicher formal sauber hinschreiben
> (durch
> > Formulierung
> > einer Behauptung, die Du etwa induktiv beweisen kannst).
> > Die Idee ist
> > nämlich relativ simpel:
> > Für jedes [mm]n \in \IN[/mm] und jedes [mm]m \ge n+1[/mm] gilt
> (allgemeine
> > Dreiecksungl.)
> > [mm]\left|\sum_{k=n+1}^m a_k\right| =|a_{n+1} + ... +a_m| \le |a_{n+1}|+..+|a_m|\,.[/mm]
>
> >
> > Nun ist
> > [mm]|a_{n+\red{1}}| \le M*|a|_n=M^{\red{1}}*|a_n|\,,[/mm]
> >
> > [mm]|a_{n+\red{2}}| \le M*|a|_{n+1} \le M^\red{2}*|a_n|\,,[/mm]
> >
>
> > [mm]|a_{n+\red{3}}| \le M*|a|_{n+2} \le M*M^2*|a_n|=M^\red{3}*|a_n|\,,[/mm]
>
> >
> > [mm].[/mm]
> > [mm].[/mm]
> > [mm].[/mm]
> > [mm]|a_{m}|=|a_{n+\red{(m-n)}}| \le ... \le M^\red{m-n}*|a|_n\,,[/mm]
>
> >
> > also
> > [mm]\left|\sum_{k=n+1}^m a_k\right| \le \big(\sum_{k=\textbf{\red 1}}^{m-n} M^k\big)*|a_n|[/mm]
>
> >
> > Lasse nun [mm]m \to \infty[/mm] laufen (beachte, dass [mm]m \to \infty\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\; (m -n) \to \infty[/mm]
> > für alle [mm]n \in \IN[/mm]
> > und dass [mm]\sum_{k=0}^\infty M^k[/mm] eine geometrische Reihe ist
> > - zudem
> > beachte auch
> > [mm]\sum_{k=\textbf{\red 1}}^\infty q^k=q*\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac q {1-q} \text{ für alle }|q| < 1[/mm]
>
> >
> > und begründe damit insbesondere die absolute Konvergenz
> > der Reihen
> > [mm]\sum_{k=n+1}^\infty a_k={\Bigg(\sum_{k=n+1}^m a_k\Bigg)}_{\substack{m \ge n+1\\m \in \IN}}^\infty\,.[/mm]
> > (Beachte, dass
> > bei jeder dieser Reihen das [mm]n\,[/mm] jeweils als fester
> > Parameter anzusehen
> > ist!)
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Hallo Marcel,
>
> ich wollte diese Ungleichung [mm]|a_{m}|=|a_{n+\red{(m-n)}}| \le[/mm]
> ... [mm]\le M^\red{m-n}*|a|_n[/mm] per Induktion beweisen. Muss ich
> hier eine Induktion nach m und n durchführen? Oder reicht
> es nur Induktion nach m zu machen?
Du hältst $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] als Parameter fest und machst den Induktionsbeweis der Aussage
[mm] $$a_{n+k} \le M^k*|a_n|$$
[/mm]
für alle $k [mm] \in \IN_0\,.$ [/mm] (Induktionsstart: [mm] $k=0\,,$ [/mm] Induktionsschritt $k [mm] \to [/mm] k+1$... - beachte:
Ich habe die Aussage minimal anders formuliert, so dass das ganze
minimal allgemeiner, aber immer noch richtig ist - sofern ich nichts
übersehe auf die Schnelle...)
Natürlich kannst Du auch, [mm] $n\,$ [/mm] sei wieder fest:
[mm] $$a_{n+(\ell-n)} \le M^{n-\ell}*|a_n|$$
[/mm]
per Induktion für alle natürlichen [mm] $\ell \ge [/mm] n$ führen.
Bei beiden Beweisen macht man das gleiche, nur muss man etwa bei
letzterem ein wenig genauer aufpassen, was man wie notiert (dort ist
etwa stets [mm] $\ell \in \IN_0$ [/mm] und [mm] $\ell \ge [/mm] n$ dann zu beachten - der
Induktionsanfang geht mit [mm] $\ell=n\,$ [/mm] los etc. pp. - aber prinzipiell macht
man hier nur eine Substitution der Variablen, bzgl. der man den Induktionsbeweis führen will...)
Ich weiß gerade nicht mehr, ob das [mm] $m\,$ [/mm] in Deiner Ausgangsfrage eine
feste Bedeutung hat, nur deswegen habe ich hier [mm] $\ell$ [/mm] geschrieben...
P.S. Ich habe meine komischen [mm] $|a|_n$ [/mm] mal zu [mm] $|a_n|$ [/mm] korrigiert. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Ich mach's mal nicht ganz beweistechnisch sauber, aber das
> > ganze kannst
> > Du ja danach dann sicher formal sauber hinschreiben
> (durch
> > Formulierung
> > einer Behauptung, die Du etwa induktiv beweisen kannst).
> > Die Idee ist
> > nämlich relativ simpel:
> > Für jedes [mm]n \in \IN[/mm] und jedes [mm]m \ge n+1[/mm] gilt
> (allgemeine
> > Dreiecksungl.)
> > [mm]\left|\sum_{k=n+1}^m a_k\right| =|a_{n+1} + ... +a_m| \le |a_{n+1}|+..+|a_m|\,.[/mm]
>
> >
> > Nun ist
> > [mm]|a_{n+\red{1}}| \le M*|a|_n=M^{\red{1}}*|a_n|\,,[/mm]
> >
> > [mm]|a_{n+\red{2}}| \le M*|a|_{n+1} \le M^\red{2}*|a_n|\,,[/mm]
> >
>
> > [mm]|a_{n+\red{3}}| \le M*|a|_{n+2} \le M*M^2*|a_n|=M^\red{3}*|a_n|\,,[/mm]
>
> >
> > [mm].[/mm]
> > [mm].[/mm]
> > [mm].[/mm]
> > [mm]|a_{m}|=|a_{n+\red{(m-n)}}| \le ... \le M^\red{m-n}*|a|_n\,,[/mm]
>
> >
> > also
> > [mm]\left|\sum_{k=n+1}^m a_k\right| \le \big(\sum_{k=\textbf{\red 1}}^{m-n} M^k\big)*|a_n|[/mm]
>
> >
> > Lasse nun [mm]m \to \infty[/mm] laufen (beachte, dass [mm]m \to \infty\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\; (m -n) \to \infty[/mm]
> > für alle [mm]n \in \IN[/mm]
> > und dass [mm]\sum_{k=0}^\infty M^k[/mm] eine geometrische Reihe ist
> > - zudem
> > beachte auch
> > [mm]\sum_{k=\textbf{\red 1}}^\infty q^k=q*\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac q {1-q} \text{ für alle }|q| < 1[/mm]
>
> >
> > und begründe damit insbesondere die absolute Konvergenz
> > der Reihen
> > [mm]\sum_{k=n+1}^\infty a_k={\Bigg(\sum_{k=n+1}^m a_k\Bigg)}_{\substack{m \ge n+1\\m \in \IN}}^\infty\,.[/mm]
> > (Beachte, dass
> > bei jeder dieser Reihen das [mm]n\,[/mm] jeweils als fester
> > Parameter anzusehen
> > ist!)
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Hallo Marcel,
>
> ich wollte diese Ungleichung [mm]|a_{m}|=|a_{n+\red{(m-n)}}| \le[/mm]
> ... [mm]\le M^\red{m-n}*|a|_n[/mm] per Induktion beweisen. Muss ich
> hier eine Induktion nach m und n durchführen? Oder reicht
> es nur Induktion nach m zu machen?
siehe Mitteilung!
> Mein Beweis für b) sieht jetzt wie folgt aus, aber ich bin
> damit irgendwie nicht zufrieden, da zu viel
> Pünktchenschreibweise, aber ich weiß nicht, wie ich es
> besser hinkriegen soll.
>
> Beweis:
>
> [mm]|R_n|[/mm] = [mm]|\summe_{k=n+1}^{\infty}a_k|[/mm] = [mm]|a_{n+1}[/mm] + [mm]a_{n+2}[/mm] +
> ... + [mm]a_m[/mm] + ...| [mm]\le |a_{n+1}|[/mm] + [mm]|a_{n+2}|[/mm] + ... + [mm]|a_m|[/mm] +
> ... [mm]\le M|a_n|[/mm] + [mm]M|a_{n+1}|[/mm] + ... + [mm]M|a_{m-1}|[/mm] + ... [mm]\le M|a_n|[/mm]
> + [mm]M^2|a_n|[/mm] + ... + [mm]M^{m-n}|a_n|[/mm] + ... = (M + [mm]M^2[/mm] + ... +
> [mm]M^{m-n}[/mm] + [mm]...)|a_n|[/mm] = [mm](\summe_{k=1}^{\infty}M^k)|a_n|[/mm] =
> [mm]\bruch{M}{1-M}|a_n|[/mm]
>
> [mm]\Box[/mm]
So schlimm finde ich das ganze nicht - es ist auch korrekt, aber 'eigentlich'
fehlt etwas - der blaue Teil, den ich unten in der Klammer geschrieben
habe, wird von Dir verwendet (ob man das nun als Fehler bewertet und
deswegen Punkte abzieht: Ich würde es nicht; aber man könnte es; vor
allem deswegen, weil bei Dir nicht klar hervorgeht, ob Du an sowas
gedacht hast, oder einfach mal 'automatisch' gerechnet und abgeschätzt
hast...). Ich schreib's Dir mal sauber auf:
Sei $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] fest. Dann gilt für alle $m [mm] \ge [/mm] n+1$ zunächst mal
[mm] $$|\sum_{k=n+1}^m a_k| \le \sum_{k=n+1}^m |a_k| \le |a_n|*\sum_{k=n+1}^m M^{k-n}=|a_n|*\sum_{\ell=1}^{m-n} M^\ell \le |a_n|*\lim_{m \to \infty} \sum_{\ell=1}^{m-n} M^\ell=|a_n|*\frac{M}{1-M}\,,$$
[/mm]
gemäß der Vorüberlegung, und daraus folgt (beachte: Aus [mm] $a_n \le b_n$ [/mm]
folgt: Falls [mm] $a=\lim a_n$ [/mm] und [mm] $b=\lim b_n$ [/mm] existieren, so gilt $a [mm] \le b\,.$
[/mm]
Insbesondere: Gilt [mm] $a_n \le b_n$ [/mm] für alle [mm] $n\,$ [/mm] und ist [mm] $(b_n)_n$ [/mm] nach
oben beschränkt [mm] ($(b_n)_n$ [/mm] ist hier also nicht notwendig konvergent!),
so folgt im Falle der Existenz von [mm] $a:=\lim a_n$ [/mm] auch, dass für jede obere
Schranke [mm] $S\,$ [/mm] von [mm] $(b_n)_n$ [/mm] folgt, dass $a [mm] \le S\,$ [/mm] gilt):
[mm] $$\lim_{m \to \infty}\left|\sum_{k=n+1}^m a_k\right|=\left|\lim_{m \to \infty} \sum_{k=n+1}^m a_k\right|=|R_n| \le \frac{M}{1-M}\,.$$
[/mm]
So, und nun bin ich ein wenig faul und überlasse den Rest der Aufgabe
mal jemand anderem, etwa Reverend. Sollte sich da aber lange Zeit nichts
tun, schaue ich vielleicht doch auch nochmal drüber!
Gruß,
Marcel
> Beweis für c):
>
> [mm]b_n[/mm] := [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}*10^n} \Rightarrow |b_n|[/mm] = [mm]b_n[/mm] >
> 0 für alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> Wegen (a) ist [mm](R_n)[/mm] Nullfolge, wobei [mm]R_n[/mm] =
> [mm]\summe_{k=n+1}^{\infty}b_k[/mm]
>
> Zeige [mm]b_{n+1} \le M*b_n[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm] und M :=
> [mm]\bruch{1}{10}[/mm]
>
> [mm]b_{n+1} \le \bruch{1}{10}*b_n[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{\wurzel{n+1}*10^{n+1}} \le \bruch{1}{10}\bruch{1}{\wurzel{n}*10^{n}}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{\wurzel{n+1}} \le \bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm]
>
> Also ist [mm]b_{n+1} \le M*b_n[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> Nun können wir (b) benutzen, da 0 < [mm]\bruch{1}{10}[/mm] < 1.
>
> [mm]\Rightarrow |R_n|[/mm] = [mm]\summe_{k=n+1}^{\infty}b_k \le \bruch{\bruch{1}{10}}{1-\bruch{1}{10}}*|b_n|[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{9}*b_n[/mm] für alle n
>
> Sei n = 4.
>
> [mm]\Rightarrow R_4[/mm] = [mm]\summe_{k=5}^{\infty}b_k \le \bruch{1}{9}*b_4[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{180000}[/mm]
>
> Also hat der Wert der Reihe [mm]\summe_{k=5}^{\infty}b_k[/mm] mind.
> 5 Nachkommastellen. Folglich weicht die Summe der ersten 4
> Glieder der Reihe um einen Wert [mm]\le \bruch{1}{180000}[/mm] ab.
> Dies genügt nach Aufgabenstellung.
>
> Berechne [mm]b_1[/mm] + [mm]b_2[/mm] + [mm]b_3[/mm] + [mm]b_4[/mm] = 0,1076984181.
>
> [mm]\Box[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 Sa 15.12.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
> So, und nun bin ich ein wenig faul und überlasse den Rest
> der Aufgabe mal jemand anderem, etwa Reverend.
*lol* Oh, danke! 
Ich hab das Wochenende aber mit allerlei anderem voll. Ein gut Teil davon muss gleich aus dem Backofen und hat mehr Spaß gemacht als die Steuererklärung, die morgen ansteht. Frag bloß nicht, für welches Jahr...
> Sollte sich da aber
> lange Zeit nichts
> tun, schaue ich vielleicht doch auch nochmal drüber!
Gute Idee...
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:10 So 16.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Marcel,
>
> > So, und nun bin ich ein wenig faul und überlasse den Rest
> > der Aufgabe mal jemand anderem, etwa Reverend.
>
> *lol* Oh, danke!
>
> Ich hab das Wochenende aber mit allerlei anderem voll. Ein
> gut Teil davon muss gleich aus dem Backofen und hat mehr
> Spaß gemacht als die Steuererklärung, die morgen ansteht.
> Frag bloß nicht, für welches Jahr...
fühl' Dich NICHT verpflichtet - ich bin nur gerade auch ein wenig faul.
> > Sollte sich da aber
> > lange Zeit nichts
> > tun, schaue ich vielleicht doch auch nochmal drüber!
>
> Gute Idee...
Heute aber eher nicht mehr, und morgen ist's auch nicht so
wahrscheinlich...
Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 17.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo Blackburn,
hmpf. Habe gerade wieder mal an der falschen Stelle Return gedrückt, daher den eigentlichen Beitrag jetzt mal als Bearbeitung des schon abgeschickten Grußes.
> c) Beweisen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n}*10^n} [/mm]
> konvergiert und bestimmen Sie ihren Wert bis auf eine
> Abweichung, die kleiner ist als [mm] 10^{-4}
[/mm]
Genau lesen...
> zu c) : Hier weiß ich nicht, wie ich den Wert bestimmen
> soll.
Sollst Du das denn?
> Ich habe bisher nur folgendes:
>
> Es gilt: [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}*10^n} \le \bruch{1}{10^n}
[/mm]
>
> [mm] \gdw \bruch{1}{\wurzel{n}} \le [/mm] 1
>
> [mm] \gdw [/mm] 1 [mm] \le \wurzel{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
>
>Aus [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{10})^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{10}} [/mm] = [mm] \bruch{10}{9} [/mm]
> (geom. Reihe) folgt:
>
> [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n}*10^n} [/mm] konvergiert (Vergleichskriterium)
> und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n}*10^n} \le \bruch{10}{9} [/mm]
Ja, alles gut.
Nun sollst Du doch nur den Reihenwert in einer bestimmten Genauigkeit bestimmen. Sei die aufsummierte Folge
[mm] c_n=\bruch{1}{\wurzel{n}10^n}
[/mm]
Dann kannst Du auch leicht zeigen: [mm] $\bruch{c_{n+1}}{c_n}<\bruch{1}{10}$,
[/mm]
woraus folgt, dass Du mit Sicherheit nur die Summe bis n=4, also [mm] c_1+c_2+c_3+c_4 [/mm] bestimmen musst.
Das ergibt gerundet 0,10769842. Oder besser gerundet: 0,1077.
Mehr ist nicht gefordert, Du musst es halt nur begründen.
Wenn man ein wenig weitersummiert, kommt man auf 0,10770334, und bei dieser Genauigkeit "tut sich" logischer auch nichts mehr, wenn man weitermacht.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:55 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur mal nebenbei:
> Ja, alles gut.
>
> Nun sollst Du doch nur den Reihenwert in einer bestimmten
> Genauigkeit bestimmen. Sei die aufsummierte Folge
>
> [mm]c_n=\bruch{1}{\wurzel{n}10^n}[/mm]
>
> Dann kannst Du auch leicht zeigen:
> [mm]\bruch{c_{n+1}}{c_n}<\bruch{1}{10}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
,
man kann daher die vorangegangenen Aussage(n) der Aufgabe mit $M=1/10\,$
verwenden!
Anders gesagt: Das Auffinden eines $N \in \IN$ mit
$$|R_N| \le \frac{1}{10^4}$$
folgt durch das Auffinden eines $m \in \IN$ mit
$$\frac{M}{1-M}*c_{m}=\frac{1}{9}*\frac{1}{\sqrt{m}*10^{m}} \le \frac{1}{10^4}$$
und natürlich muss man auch weder das minimale solche $N\,$ noch das
minimale solche $m\,$ finden.
Anders gesagt: Man muss nur ein $m\,$ finden, welches
$$1 \le 9*\sqrt{m}*10^{m-4}}$$
erfüllt. Der Rest ist dann einfach das Berechnen von $\sum_{k=1}^m c_k$ ...
Gruß,
Marcel
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