Wert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Do 04.04.2013 | | Autor: | supersim |
| Aufgabe | (Wert einer Reihe) Berechnen Sie jeweils den Wert der gegebenen Reihe.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^{k} + 2 * 3^{k} + 1}{6^{k+1}} [/mm] |
Um den Wert der Reihe zu ermitteln, brauche ich soweit ich weiß die Partialsumme. Wenn ich richtig liege, muss ich das ganze erstmal in drei Teile aufteilen. Bei den ersten beiden bin ich mir relativ sicher nur der dritte Teil mit der Konstanten 1 macht mir noch ein wenig Bauchschmerzen.
Meine aktuelle Lösung sieht so aus:
[mm] \bruch{1}{6}*\bruch{2^{k}}{6^{k}} [/mm] + [mm] \bruch{2}{6}*\bruch{3^{k}}{6^{k}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}*\bruch{(\bruch{1}{1^{k}})^k}{6^{k}}
[/mm]
Ist mein Ansatz soweit richtig oder stimmt das mit dem +1 Teil nicht?
lg Simon
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Hi!
> (Wert einer Reihe) Berechnen Sie jeweils den Wert der
> gegebenen Reihe.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^{k} + 2 * 3^{k} + 1}{6^{k+1}}[/mm]
>
> Um den Wert der Reihe zu ermitteln, brauche ich soweit ich
> weiß die Partialsumme. Wenn ich richtig liege, muss ich
> das ganze erstmal in drei Teile aufteilen. Bei den ersten
> beiden bin ich mir relativ sicher nur der dritte Teil mit
> der Konstanten 1 macht mir noch ein wenig Bauchschmerzen.
Warum denn? Schreibs doch nicht so kompliziert [mm] $(\frac{1}{1^k})^k$.
[/mm]
Es ist doch [mm] $1=1^k$ [/mm] für alle [mm] $k\in \IR$.
[/mm]
[mm] $1^5=1*1*1*1*1$
[/mm]
> Meine aktuelle Lösung sieht so aus:
>
> [mm]\bruch{1}{6}*\bruch{2^{k}}{6^{k}}[/mm] +
> [mm]\bruch{2}{6}*\bruch{3^{k}}{6^{k}}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{6}*\bruch{(\bruch{1}{1^{k}})^k}{6^{k}}[/mm]
> Ist mein Ansatz soweit richtig oder stimmt das mit dem +1
> Teil nicht?
Ja, dein Ansatz ist richtig. Aber
wie gesagt, [mm] $\frac{1^k}{6^k}$ [/mm] tut es auch ![[ballon]](/images/smileys/ballon.gif "[ballon]")
Hilft es dir, wenn ich dir sage, dass du die drei Teile auf die geometrische Reihe zurückführen kannst?
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Do 04.04.2013 | | Autor: | supersim |
Hallo Valerie,
vielen lieben Dank für deine schnelle Antwort.
Ja mit dem [mm] (\bruch{1}{1^k})^k [/mm] habe ich das unnütig kompliziert dargestellt. Ich wollte nur wissen, ob mein Ansatz richtig war, weil ich mir eben wegen dem +1 Teil nicht ganz sicher war und wollte nur überprüfen, ob das so richtig ist.
Mit der geometrische Reihe meinst du wohl das hier:
[mm] \bruch{1}{6}*(\bruch{2}{6})^k [/mm] + [mm] \bruch{2}{6}*(\bruch{3}{6})^k [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}*(\bruch{1}{6})^k
[/mm]
und dann weiter mit der üblichen Formel für die geometrische Reihe.
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Hallo,
Stelle die Rückfragen am besten auch als Frage und nicht als Mitteilung.
> so richtig ist.
>
> Mit der geometrische Reihe meinst du wohl das hier:
Du hast die Terme auf jeden Fall so umgeformt, sodass du nun mit der geometrischen Reihe weitermachen kannst.
Deine Summe kannst du ja aufteilen. Es gilt:
[mm] \sum_{k=0}^{n}(a_k+b_k+c_k)=\sum_{k=0}^{n}(a_k)+\sum_{k=0}^{n}(b_k)+\sum_{k=0}^{n}(c_k)[/mm]
Die geometrische Reihe ist wiefolgt definiert:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q} [/mm] für $|q|<1$
> [mm]\bruch{1}{6}*(\bruch{2}{6})^k[/mm] +
> [mm]\bruch{2}{6}*(\bruch{3}{6})^k[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{6}*(\bruch{1}{6})^k[/mm]
>
> und dann weiter mit der üblichen Formel für die
> geometrische Reihe.
Genau.
Valerie
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