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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Svenja91 |
| Aufgabe | | Erklären Sie, wie der Wertebereich einer gebrochen-rationalen Funktion zu bestimmten ist. |
Ich habe keinerlei Ahnung von der Bestimmung eines Wertebereichs bei gebrochen-rationalen Funktionen =(
Am liebsten wäre mir eine allgemeine Erklärung, wie das bei verschiedenen Funktionen dieser Art anzuwenden ist.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Mi 21.04.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Betrachte zuerst mal, ob die Funktion f(x) Definitionslücken hat, also den maximalen Definitionsbereich.
Wenn du diesen hast, betrachte das Randverhalten an den Lücken und im Unendlichen.
Wenn du hierbei das "Grenzverhalten" [mm] \pm\infty [/mm] hast, ist der Wertebereich komplett [mm] \IR.
[/mm]
Hast du lediglich eine Grenze in unendlichen, musst du noch die Extreme der Funktion berechnen. Die y-Koordinate ist dann das absolute Minimum oder Maximum der Funktion.
Beispiele:
*) [mm] f(x)=(x-4)^{2}-8
[/mm]
f(x) hat keine Definitionslücken, also betrachten wir nur die Grenzwerte für [mm] x\to\pm\infty.
[/mm]
Für beide gilt [mm] y\to\red{+}\infty, [/mm] also hat f einen absoluten Tiefpunkt.
Dieser ist der Scheitelpunkt, den man hier mit der  Scheitelpunktform mit relativ wenig Aufwand bestimmen kann, es gilt S(4/-8), also ist [mm] \IW_{f}=[-8;\infty[
[/mm]
**) [mm] h(x)=x^{3} [/mm] Es gilt [mm] D=\IR [/mm] (ohne Lücke)
hier gilt [mm] \limes_{x\to\infty}=\infty [/mm] und [mm] \limes_{x\to-\infty}=-\infty, [/mm] also [mm] \IW_{h}=\IR
[/mm]
[mm] ***)k(x)=e^{-x^{2}}
[/mm]
[mm] D=\IR, [/mm] aber: [mm] \limes_{x\to\infty}=0 [/mm] und [mm] \limes_{x\to-\infty}=0
[/mm]
Jetzt da [mm] e^{\Box}>0 [/mm] ist 0 das Infimum von k, bleibt noch das Maximum zu bestimmen.
Dazu: [mm] k'(x)=-2xe^{-x^{2}} [/mm] und [mm] k''(x)=-4x^{2}e^{-x^{2}}-2e^{-x^{2}}=-(4x^{2}+2)e^{x^{2}}
[/mm]
Mit [mm] k'(x)=-2x_{e}e^{-x_{e}^{2}}=0 [/mm] ergibt sich [mm] x_{e}=0 [/mm] und da $ k''(0)<0 $ , hast du einen Hochpunkt bei $ H(0/k(0)) $ . Wenn du jetzt noch $ k(x)=1 $ bestimmst, hast du [mm] \IW_{k}=]0;1]
[/mm]
( [mm] x\in\red{]}a;b\green{]} [/mm] bedeutet [mm] a\red{<}x\green{\le}b, x\in\red{[}a;b\green{[} [/mm] bedeutet [mm] a\red{\le}x\green{<}b. [/mm] )
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Svenja91 |
Vielen Dank erstmal.
Ist das denn bei einer gebrochen-rationalen Funktion genauso zu betrachten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Mi 21.04.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Yep, da kommen dann eben evtl noch Polstellen dazu.
Also z.B.
[mm] f(x)=\bruch{1}{(x-3)^{2}}-1
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier ist die Polstelle x=3 noch zu beachten.
Du hast also:
[mm] \limes_{x\to\pm\infty}f(x)=-1
[/mm]
Und [mm] \limes_{x\uparrow 3}f(x)=\infty [/mm] sowie [mm] \limes_{x\downarrow 3}f(x)=\infty [/mm]
Also: [mm] \IW_{f}=]-1;+\infty[
[/mm]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Mi 21.04.2010 | | Autor: | ms2008de |
Hallo> Hallo
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> Betrachte zuerst mal, ob die Funktion f(x)
> Definitionslücken hat, also den maximalen
> Definitionsbereich.
>
> Wenn du diesen hast, betrachte das Randverhalten an den
> Lücken und im Unendlichen.
>
> Wenn du hierbei das "Grenzverhalten" [mm]\pm\infty[/mm] hast, ist
> der Wertebereich komplett [mm]\IR.[/mm]
Dabei gehst du nun aber davon aus, dass die Funktion komplett stetig ist, ich mein zum Beispiel f(x)= [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } -99999 \le x \le 99999 \\ x, & \mbox{für } x>99999 \\ -x, & \mbox{für } x<-99999 \end{cases} [/mm] hat sicher nicht komplett [mm] \IR [/mm] als Wertebereich und denoch ist
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = [mm] \infty [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} [/mm] = [mm] -\infty.
[/mm]
Viele Grüße
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