Wesentliche Singularität < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Mi 17.07.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | | Sei [mm] $z_0$ [/mm] eine wesentliche Singularität der Funktion $f$. Zeigen Sie, dass [mm] $z_0$ [/mm] dann ebenfalls wesentliche Singularität von [mm] $\exp(f)$ [/mm] ist! |
Hallo,
wenn [mm] $z_0$ [/mm] wesentliche Singularität von $f$ ist, schreit das für mich nach Casorati-Weierstraß (CW)... man nehme also eine Umgebung [mm] $V\subseteq\mathbb{C}$ [/mm] von [mm] $z_0$ [/mm] her, dann sagt CW, dass
[mm] $\overline{f(V\setminus\left\{z_0\right\})}=\mathbb{C}.
[/mm]
Ich würde jetzt zeigen wollen (habe ich mir jedenfalls so gedacht), dass
[mm] $\overline{\exp(f(V\setminus\left\{z_0\right\}))}=\mathbb{C}$, [/mm]
weiß aber nicht, wie ich das machen kann...
(In einer vorherigen Aufgabe sollte man zeigen, dass [mm] $\mathb{C}\setminus\left\{0\right\}=\exp(\mathbb{C})$, [/mm] ich denke, dass man das wohl verwenden soll...)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Mi 17.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]z_0[/mm] eine wesentliche Singularität der Funktion [mm]f[/mm].
> Zeigen Sie, dass [mm]z_0[/mm] dann ebenfalls wesentliche
> Singularität von [mm]\exp(f)[/mm] ist!
> Hallo,
>
> wenn [mm]z_0[/mm] wesentliche Singularität von [mm]f[/mm] ist, schreit das
> für mich nach Casorati-Weierstraß (CW)
Ja, das stinkt nach CW
> ... man nehme also
> eine Umgebung [mm]V\subseteq\mathbb{C}[/mm] von [mm]z_0[/mm] her, dann sagt
> CW, dass
>
> [mm]$\overline{f(V\setminus\left\{z_0\right\})}=\mathbb{C}.[/mm]
>
> Ich würde jetzt zeigen wollen (habe ich mir jedenfalls so
> gedacht), dass
>
> [mm]\overline{\exp(f(V\setminus\left\{z_0\right\}))}=\mathbb{C}[/mm],
Das ist eine gute Idee.
>
> weiß aber nicht, wie ich das machen kann...
Na, na, was hast Du denn schon unternommen ?
>
> (In einer vorherigen Aufgabe sollte man zeigen, dass
> [mm]\mathb{C}\setminus\left\{0\right\}=\exp(\mathbb{C})[/mm], ich
> denke, dass man das wohl verwenden soll...)
So ist es.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mi 17.07.2013 | | Autor: | mikexx |
Ich habe bisher dies unternommen:
[mm] $\mathbb{C}=\overline{\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}}=\overline{\exp(\mathbb{C})}=\overline{\exp(\overline{f(V\setminus\left\{z_0\right\})}},
[/mm]
weiß aber nun nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 Do 18.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe bisher dies unternommen:
>
>
> [mm]$\mathbb{C}=\overline{\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}}=\overline{\exp(\mathbb{C})}=\overline{\exp(\overline{f(V\setminus\left\{z_0\right\})}},[/mm]
>
>
> weiß aber nun nicht weiter.
Sei $V$ eine Umgebung von [mm] z_0, [/mm] so dass $W:=V [mm] \setminus \{z_0\}$ [/mm] zum Definitionsbereich von f gehört.
Sei [mm] $g:=e^f$
[/mm]
Zu zeigen ist: [mm] $\overline{g(W)}= \IC$.
[/mm]
Sei [mm] w_0 \in \mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}. [/mm] Dann gibt es ein [mm] z_0 \in \IC [/mm] mit [mm] e^{z_0}=w_0.
[/mm]
Wegen [mm] $\overline{f(W)}= \IC$, [/mm] ex. eine Folge [mm] (u_n) [/mm] in $f(W)$ mit: [mm] u_n \to z_0.
[/mm]
Damit ex. eine Folge [mm] (z_n) [/mm] in $W$ mit: [mm] f(z_n)=u_n [/mm] für alle n.
Also ist [mm] $g(z_n) \in [/mm] g(W)$ und [mm] g(z_n)=e^{f(z_n)} =e^{u_n} \to e^{z_0}=w_0.
[/mm]
Somit ist [mm] $w_0 \in $\overline{g(W)}.$
[/mm]
Fazit:
$ [mm] \mathbb{C}\setminus\left\{0\right\} \subseteq \overline{g(W)}.$
[/mm]
Mach Du den Rest.
FRED
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Do 18.07.2013 | | Autor: | mikexx |
> > Ich habe bisher dies unternommen:
> >
> >
> >
> [mm]$\mathbb{C}=\overline{\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}}=\overline{\exp(\mathbb{C})}=\overline{\exp(\overline{f(V\setminus\left\{z_0\right\})}},[/mm]
> >
> >
> > weiß aber nun nicht weiter.
>
>
> Sei [mm]V[/mm] eine Umgebung von [mm]z_0,[/mm] so dass [mm]W:=V \setminus \{z_0\}[/mm]
> zum Definitionsbereich von f gehört.
>
> Sei [mm]g:=e^f[/mm]
>
> Zu zeigen ist: [mm]\overline{g(W)}= \IC[/mm].
>
> Sei [mm]w_0 \in \mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}.[/mm] Dann gibt
> es ein [mm]z_0 \in \IC[/mm] mit [mm]e^{z_0}=w_0.[/mm]
>
> Wegen [mm]\overline{f(W)}= \IC[/mm], ex. eine Folge [mm](u_n)[/mm] in [mm]f(W)[/mm]
> mit: [mm]u_n \to z_0.[/mm]
>
> Damit ex. eine Folge [mm](z_n)[/mm] in [mm]W[/mm] mit: [mm]f(z_n)=u_n[/mm] für alle
> n.
>
> Also ist [mm]g(z_n) \in g(W)[/mm] und [mm]g(z_n)=e^{f(z_n)} =e^{u_n} \to e^{z_0}=w_0.[/mm]
>
> Somit ist [mm]$w_0 \in $\overline{g(W)}.$[/mm]
>
> Fazit:
>
> [mm]\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\} \subseteq \overline{g(W)}.[/mm]
>
> Mach Du den Rest.
Ich versuche es jedenfalls! 
Aus [mm] $\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}\subseteq \overline{g(W)} [/mm] folgt
[mm] $\overline{\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}}\subseteq\overline{\overline{g(W)}}=\overline{g(W)}=\overline{\exp(f(W))}$.
[/mm]
Da [mm] $\exp((f(W))\subseteq\mathbb{C}$ [/mm] gilt weiter [mm] $\overline{\exp(F(W))}\subseteq\overline{\mathbb{C}}=\mathbb{C}$.
[/mm]
Wenn man das nun zusammenbastelt, müsste man haben:
[mm] $\mathbb{C}=\overline{\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}}\subseteq\overline{\exp(f(W))}\subseteq\mathbb{C}$
[/mm]
Und daraus folgt, dass man die [mm] "$\subseteq$" [/mm] durch "=" ersetzen muss, also
[mm] $\overline{\exp(f(W))}=\mathbb{C}$.
[/mm]
Da man $W$ beliebig gewählt hat (d.h. das würde man auch erhalten für jede andere Umgebung W), folgt daraus mit CW, dass [mm] $z_0$ [/mm] eine wesentliche Singularität von [mm] $\exp(f)$ [/mm] ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Do 18.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Ich habe bisher dies unternommen:
> > >
> > >
> > >
> >
> [mm]$\mathbb{C}=\overline{\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}}=\overline{\exp(\mathbb{C})}=\overline{\exp(\overline{f(V\setminus\left\{z_0\right\})}},[/mm]
> > >
> > >
> > > weiß aber nun nicht weiter.
> >
> >
> > Sei [mm]V[/mm] eine Umgebung von [mm]z_0,[/mm] so dass [mm]W:=V \setminus \{z_0\}[/mm]
> > zum Definitionsbereich von f gehört.
> >
> > Sei [mm]g:=e^f[/mm]
> >
> > Zu zeigen ist: [mm]\overline{g(W)}= \IC[/mm].
> >
> > Sei [mm]w_0 \in \mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}.[/mm] Dann gibt
> > es ein [mm]z_0 \in \IC[/mm] mit [mm]e^{z_0}=w_0.[/mm]
> >
> > Wegen [mm]\overline{f(W)}= \IC[/mm], ex. eine Folge [mm](u_n)[/mm] in [mm]f(W)[/mm]
> > mit: [mm]u_n \to z_0.[/mm]
> >
> > Damit ex. eine Folge [mm](z_n)[/mm] in [mm]W[/mm] mit: [mm]f(z_n)=u_n[/mm] für alle
> > n.
> >
> > Also ist [mm]g(z_n) \in g(W)[/mm] und [mm]g(z_n)=e^{f(z_n)} =e^{u_n} \to e^{z_0}=w_0.[/mm]
>
> >
> > Somit ist [mm]$w_0 \in $\overline{g(W)}.$[/mm]
> >
> > Fazit:
> >
> > [mm]\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\} \subseteq \overline{g(W)}.[/mm]
>
> >
> > Mach Du den Rest.
>
> Ich versuche es jedenfalls!
>
> Aus [mm]$\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}\subseteq \overline{g(W)}[/mm]
> folgt
>
> [mm]\overline{\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}}\subseteq\overline{\overline{g(W)}}=\overline{g(W)}=\overline{\exp(f(W))}[/mm].
Hier bist Du doch schon fertig, denn [mm] \overline{\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}}= \IC
[/mm]
>
> Da [mm]\exp((f(W))\subseteq\mathbb{C}[/mm] gilt weiter
> [mm]\overline{\exp(F(W))}\subseteq\overline{\mathbb{C}}=\mathbb{C}[/mm].
>
>
> Wenn man das nun zusammenbastelt, müsste man haben:
>
> [mm]\mathbb{C}=\overline{\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}}\subseteq\overline{\exp(f(W))}\subseteq\mathbb{C}[/mm]
>
> Und daraus folgt, dass man die "[mm]\subseteq[/mm]" durch "="
> ersetzen muss, also
>
> [mm]\overline{\exp(f(W))}=\mathbb{C}[/mm].
>
> Da man [mm]W[/mm] beliebig gewählt hat (d.h. das würde man auch
> erhalten für jede andere Umgebung W), folgt daraus mit CW,
> dass [mm]z_0[/mm] eine wesentliche Singularität von [mm]\exp(f)[/mm] ist.
Ja
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Do 18.07.2013 | | Autor: | mikexx |
Mercie bien!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 Fr 19.07.2013 | | Autor: | fred97 |
Weitere Möglichkeit:
Sei [mm] $g:=e^f$ [/mm] und $u:=Re(f).$
1. Annahme: $g$ hat in [mm] z_0 [/mm] einen Pol.
Dann gilt: [mm] $|g(z)|=|e^{f(z)}|=e^{u(z)} \to \infty$ [/mm] für $z [mm] \to z_0$.
[/mm]
Folglich haben wir: $u(z) [mm] \to \infty$ [/mm] für $z [mm] \to z_0$.
[/mm]
Somit gibt es eine Umgebung $V$ von [mm] z_0 [/mm] mit: $u(z)>0$ für alle $z [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus \{z_0\}.$
[/mm]
Die Herren Casorati und Weierstraß haben da aber gewaltige Einwände !
2. Annahme: $g$ hat in [mm] z_0 [/mm] eine hebbare Singularität.
Dann gibt es eine Umgebung $V$ von [mm] z_0 [/mm] mit: [mm] e^f [/mm] ist beschränkt auf $V [mm] \setminus \{z_0\}.$
[/mm]
Wegen [mm] $|e^f|=e^u$, [/mm] ist dann $u$ auf $V [mm] \setminus \{z_0\}$ [/mm] beschränkt.
Und wieder haben die Herren Casorati und Weierstraß gewaltige Einwände !
Fazit: $g$ hat in [mm] z_0 [/mm] eine wesentliche Singularität.
Hat jemand Einwände ? Nein ?
Dann ist ja gut.
FRED
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