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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:24 Di 26.06.2012 | | Autor: | dimi727 |
| Aufgabe | DasWetter am Tag n wird durch die Zufallsgröße Xn beschrieben, die die Werte 0 (Regen)
und 1 (Sonne) annimmt. Die Übergangsmatrix ist gegeben durch
P= [mm] \pmat{ 1-p_{01} & p_{01} \\ 1-p_{10} & p_{10} } [/mm] wobei [mm] p_{01},p_{10} \in [/mm] [0,1]
(i) Zeigen sie
[mm] P^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{p_{01}+p_{10}}\pmat{ p_{10} & p_{01} \\ p_{10} & p_{01} } [/mm] + [mm] \bruch{(1-p_{01}-p_{10})^{n}}{p_{01}+p_{10}}\pmat{ p_{01} & -p_{01} \\ -p_{10} & p_{10} }
[/mm]
und berechnen sie den Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P^{n}
[/mm]
(ii) Bestimmen Sie zunächst allgemein die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
A = { am Tag der deutschen Einheit (2012) regnet es g};
B = { das Osterwochenende 2013 (Fr-Mo) ist regenfrei g};
jeweils unter der Annahme, dass es heute (am Tag 0) regnet beziehungsweise dass heute die Sonne scheint. Berechnen Sie dann die Wahrscheinlichkeiten für die konkreten Parameter p01 = 0,4 und p10 = 0,3. |
Hi!
zu i)
Wie zeige ich das am besten? Denke nicht durch 2,3mal multipilizeren von P? Eher via Induktion?
EDIT : Also wenns nach Induktion laufen soll, habe ich den I.A., aber den Schritt n -> n+1 kriege ich nicht hin,sehe nicht,wie ich das (1-p01-p10) da rauskriegen soll..
Beim Grenzwert siehts dagegen einfach aus :
1. Fall (1-p10-p01) [mm] \in [/mm] (0,1) mit p01,p10 [mm] \in [/mm] [0,1]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{p_{01}+p_{10}}\pmat{ p_{10} & p_{10} \\ p_{01} & p_{01} }
[/mm]
2. Fall p01=p10=0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{p_{01}+p_{10}}\pmat{ p_{10}+p_{01} & 0 \\ 0 & p_{01}+p_{10} }
[/mm]
3. Fall p01=p10=1 (wobei ich mir hier nicht sicher bin, ob das so gemacht werden kann beim limes?)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P^{n} [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{1}{p_{01}+p_{10}}\pmat{ p_{10}+p_{01} & 0 \\ 0 & p_{01}+p_{10} }, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{1}{p_{01}+p_{10}}\pmat{ p_{10}-p_{01} & 2p_{01} \\ 2p_{10} & p_{01}-p_{10} }, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
(ii)
Hier Bin ich mir gar nicht sicher... was ist heute? So wie es in der Aufgabe steht, kann ich garnicht die Tage von heute bis zum Tag der deutschen Einheit berechnen,weil nirgendwo steht,was heute ist(heutiges Datum oder Datum der Herausgabe des Blattes),also denke ich, wird das nicht so wichtig sein?
Nehmen wir an,ich weiß,wieviele tage von Tag 0 bis zum TddE sind, muss ich dann nicht den Anfangsvektor (0 1) * [mm] P^{Anzahl der Tage}
[/mm]
rechnen? Dann kriege ich eine Matrix raus und wo lese ich dort dann die Wkeit ab?
Hoffe es kann mir wer helfen. VG!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Di 26.06.2012 | | Autor: | dimi727 |
Ich habe die Frage versehentlich in dem falschen Unterforum gepostet, tut mir leid.
Der link aus dem richtigen Unterforum ist: https://matheraum.de/read?i=900058
MFG
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