Widerstand Kegelstumpf < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Fr 03.05.2013 | | Autor: | Basser92 |
| Aufgabe | a) Berechnen Sie den Ohmschen Wiederstand eines Kegelstumpfes mit Höhe h, Grundflächenradius [mm] r_{1} [/mm] und Deckenflächenradius [mm] r_{2}.
[/mm]
b) Leiten Sie aus dem Ergebnis die Resultate für einen Zylinder und einen Kegel her. Wie erklären Sie sich das Resultat für den Kegel? |
Mein Ansatz für Aufgabenteil a) ist [mm] dR=\rho*\bruch{dh}{A}. [/mm] Dafür muss ich aber eine Formel für die Querschnittsfläche des Kegelstumpfes in Abhängigkeit von der Höhe finden. Ich habe selbst keine Idee, wie ich auf die Formel kommen soll und hab in einem anderen Forum zwar eine gefunden, aber die stimmt allein von den Einheiten her nicht [mm] (A(H)=\pi*(r_{1}*h+r_{2})^{2}; m^{2}+m [/mm] in der Klammer). Wär nett, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte :)
Um Aufgabenteil b) hab ich mir noch nicht viel Gedanken gemacht. Ich weiß aber, dass beim Zylinder [mm] R=\rho*\bruch{l}{A} [/mm] gilt. Für den Kegel kann ich dann einfach die Formel vom Kegelstumpf nehmen und [mm] r_{2}=0 [/mm] setzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:49 Sa 04.05.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo Basser92,
das ist eine geradezu klassische ET-Aufgabe und deswegen habe ich sie mal in die Elektrotechnik verschoben.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Sa 04.05.2013 | | Autor: | GvC |
Das ist zwar eine klassische ET-Aufgabe, jedoch nicht gechlossen algebraisch, sondern nur näherungsweise lösbar. Dazu werden in der Tat die Widerstände unendlich vieler infinitesimal dünner Kreissscheiben in Reihe geschaltet und aufaddiert (integriert).
Wie groß ist der (infinitesimal kleine) Widerstand dR einer Kreisscheibe mit Radius r?
Die Abhängigkeit r(x) (mit x in Richtung der Symmetrieachse) lässt sich leicht aus einer Skizze per Geradengleichung ermitteln.
Dass es sich bei dem auf diese Weise ermittelten Widerstand nur um eine Näherungslösung handelt, liegt an der Tatsache, dass die Kreisscheiben nicht senkrecht vom Strom durchflossen werden, sondern an jeder vom Radius abhängigen Stelle der Kreisscheibe in einem anderen Winkel.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Sa 04.05.2013 | | Autor: | Basser92 |
Ich hab jetzt die Geradengleichung aufgestellt:
g: [mm] r=mx+r_{2}
[/mm]
mit [mm] m=\bruch{r_{1}-r_{2}}{h}
[/mm]
Also hab ich jetzt die Formel [mm] dR=\rho*\bruch{dx}{\pi*(\bruch{r_{1}-r_{2}}{h}*x+r)^{2}} [/mm] und muss nur noch nach x integrieren. Stimmt das soweit?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Sa 04.05.2013 | | Autor: | Basser92 |
Meine Rechnung sieht jetzt folgendermaßen aus:
[mm] dR=\rho*\bruch{dx}{\pi*(\bruch{r_{1}-r_{2}}{h}*x+r_{2})^{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow R=\bruch{\rho}{\pi}\integral_{}^{}{\bruch{1}{(\bruch{r_{1}-r_{2}}{h}*x+r_{2})^{2}} dx}=\bruch{\rho}{\pi}\bruch{-h}{(r_{1}-r_{2})*(\bruch{(r_{1}-r_{2})*x}{h}+r_{2})}
[/mm]
Was passiert jetzt mit dem x?
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Hallo,
> Meine Rechnung sieht jetzt folgendermaßen aus:
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> [mm]dR=\rho*\bruch{dx}{\pi*(\bruch{r_{1}-r_{2}}{h}*x+r_{2})}[/mm]
> [mm]\Rightarrow R=\bruch{\rho}{\pi}\integral_{}^{}{\bruch{1}{(\bruch{r_{1}-r_{2}}{h}*x+r_{2})} dx}=\bruch{\rho}{\pi}\bruch{-h}{(r_{1}-r_{2})*(\bruch{(r_{1}-r_{2})*x}{h}+r_{2})}[/mm]
>
> Was passiert jetzt mit dem x?
Substituiere [mm] u=(\bruch{r_{1}-r_{2}}{h}*x+r_{2}).
[/mm]
Gruß helicopter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Sa 04.05.2013 | | Autor: | Basser92 |
Dann komm ich auf genau das was ich oben schon ausgerechnet hatte:
[mm] u=\bruch{r_{1}-r_{2}}{h}*x+r_{2}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{r_{1}-r_{2}}{h} \Rightarrow dx=\bruch{h}{r_{1}-r_{2}}du
[/mm]
[mm] R=\bruch{\rho*h}{\pi*(r_{1}-r_{2})}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{u^{2} }du}=\bruch{\rho*h}{\pi*(r_{1}-r_{2})}*\bruch{-1}{u}=\bruch{\rho*h}{\pi*(r_{1}-r_{2})}*\bruch{-1}{{\bruch{r_{1}-r_{2}}{h}*x+r_{2}}}
[/mm]
Die Frage bleibt also weiterhin: Was passiert mit dem x?
Ich hatte mir gedacht, dass x ja meine Höhe h ist und sich das dann so rauskürzt, aber das macht irgendwie keinen Sinn...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Sa 04.05.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
fuer x musst du die grenzen einsetzen.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Sa 04.05.2013 | | Autor: | Basser92 |
Oh... Ich hab komplett übersehen, dass ich ja von 0 bis h integriere...
Also hab ich dann für mein Integral [mm] \bruch{-1}{\bruch{r_{1}-r_{2}}{h}*h+r_{2}}-\bruch{-1}{\bruch{r_{1}-r_{2}}{h}*0+r_{2}}=\bruch{-1}{r_{1}}+\bruch{1}{r_{2}}=\bruch{r_{1}-r_{2}}{r_{1}r_{2}}.
[/mm]
Wenn ich das dann in meine Formel einsetze habe ich [mm] R=\bruch{\rho}{\pi}*\bruch{h}{r_{1}-r_{2}}*\bruch{r_{1}-r_{2}}{r_{1}r_{2}}=\bruch{\rho}{\pi}*\bruch{h}{r_{1}r_{2}}
[/mm]
Stimmt das dann soweit? Das ist dann ja ziemlich komisch für den Fall [mm] r_{2}=0, [/mm] also für einen Kegel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Sa 04.05.2013 | | Autor: | GvC |
Was Du da gemacht hast, ist ziemlich hirnrissig. Du bist von einer falschen Ausgangsgleichung ausgegangen. Der von x abhängige Radius im Nenner muss natürlich quadriert werden. Diesen Fehler hast du durch falsche Integration aber wieder wettgemacht, so dass Du nur zufällig das richtige Ergebnis erhältst. Oder hab' ich da was übersehen?
Für den Kegel erhältst Du einen unendlich hohen Widerstand. Das ist verständlich, denn an der Kegelspitze hast Du überhaupt keine Querschnittsfläche. Also passt auch kein Strom durch die nicht vorhandene Fläche, der Widerstand ist bereits an der Kegelspitze unendlich groß. Die Widerstände aller anderen "Widerstandsscheiben" werden, da Reihenschaltung, noch dazu addiert, der Gesamtwiderstand bleibt also unendlich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Sa 04.05.2013 | | Autor: | Basser92 |
Meine Ausgangsgleichung ist: [mm] dR=\rho*\bruch{dx}{A} [/mm] mit [mm] A=\pi*(\bruch{r_{1}-r_{2}}{h}*x+r_{2})^{2} [/mm] da hab ich doch meinen von x abhängigen Radius quadriert, oder seh ich das falsch? Die Integration geht dann über Substitution mit [mm] u=\bruch{r_{1}-r_{2}}{h}*x+r_{2}, [/mm] also muss ich das Integral [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{u^{2}} du} [/mm] lösen. Da hab ich meinen Radius ja auch quadriert, also was ist dadran jetzt falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:49 So 05.05.2013 | | Autor: | GvC |
Na ja, ich habe Deinen Beitrag von 16:18 Uhr gesehen. Und da hast Du den entsprechenden Term im Nenner nicht quadriert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 So 05.05.2013 | | Autor: | Basser92 |
oh, ist mir gar nicht aufgefallen... is ein kleiner Tippfehler von mir. Wurde verbessert
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Hallo,
> Ich hab jetzt die Geradengleichung aufgestellt:
> g: [mm]r=mx+r_{2}[/mm]
> mit [mm]m=\bruch{r_{1}-r_{2}}{h}[/mm]
>
> Also hab ich jetzt die Formel
> [mm]dR=\rho*\bruch{dx}{\pi*(\bruch{r_{1}-r_{2}}{h}*x+r)^{2}}[/mm]
> und muss nur noch nach x integrieren. Stimmt das soweit?
Bist du dir sicher? Ich komme auf [mm] $r(x)=\bruch{r_{1}-r_{2}}{2h}\cdot{}x+\bruch{r_{2}}{2}$
[/mm]
EDIT: Sorry mein Fehler, hab nicht richtig geguckt. Da es sich um Radien und nicht Durchmesser handelt ist deine Gleichung natürlich richtig.
Die Formel für den Widerstand ist dann richtig, es ist ja [mm] $R=\bruch{\rho{}}{A}\cdot{}l=\int_{0}^{h}\bruch{\rho{}}{\pi{}(r(x))^2}dx$
[/mm]
Gruß helicopter
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