Wie erklärt sich das? < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Do 27.12.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Die Zufallsvariable X habe folgende Verteilungsfunktion:
[mm] f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x<0 \\ 2x-x^2, & \mbox{falls } 0 \leq x \leq 1 \\ 1, & \mbox{falls } 1
a) Berechnen Sie $E [mm] \left[ e^{2x} \right]$. [/mm] |
Hi Leute,
ich hab nun hierfür erst mal den Erwartungswert berechnet. Ich komme dabei auf einen Wert von [mm] \frac13. [/mm] Dieser stimmt auch weil Zwischenergebnis angegeben.
Nun verstehe ich aber diese Schreibweise nicht: $E [mm] \left[ e^{2x} \right]$. [/mm] Diese eckigen Klammern geben doch kein normales Argument an, so dass man sagen könnte, man solle einen neuen Erwartungswert in Abhängigkeit von diesem e angeben...
Wie interpretiert ihr das?
Ich hab das so interpretiert:
$E [mm] \left[ e^{2x} \right] [/mm] = [mm] \mu \cdot e^{2x} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) \cdot e^{2x} dx} [/mm] = ... $
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Hiho,
> ich hab nun hierfür erst mal den Erwartungswert berechnet.
Welchen? Von X?
> Ich komme dabei auf einen Wert von [mm]\frac13.[/mm]
Wenn du damit E[X] meinst, dann ist das korrekt.
> Nun verstehe ich aber diese Schreibweise nicht: [mm]E \left[ e^{2x} \right][/mm].
> Diese eckigen Klammern geben doch kein normales Argument an
Doch. Du sollst den Erwartungswert der Zufallsvariablen $Y = [mm] e^{2X} [/mm] $berechnen.,
> Ich hab das so interpretiert:
>
> [mm]E \left[ e^{2x} \right] = \mu \cdot e^{2x} = \integral_{0}^{1}{f(x) \cdot e^{2x} dx} = ...[/mm]
Ok, du schreibst da zwei verschiedene Dinge hin.
Was ist [mm] \mu [/mm] ?
Was du berechnen sollst, hab ich dir ja schon hingeschrieben.
Und wie berechnet sich allgemein der Erwartungswert von f(X) bei gegebener Verteilungsdichte von X und meßbarem f?
Nichts anderes sollst du hier tun.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Do 27.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Ja, den Erwartungswert von X habe ich berechnet.
Laut meinen Unterlagen hier ist [mm] \mu [/mm] ein andere Bezeichnung für den Erwartungswert somit gilt: E(X) = [mm] \mu.
[/mm]
> Und wie berechnet sich allgemein der Erwartungswert von f(X) bei gegebener Verteilungsdichte von X und meßbarem f?
$E(X) = [mm] \mu [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{x \cdot f(x) dx}$
[/mm]
Das sollte doch stimme, oder? Aber was muss ich jetzt tun wenn ich $E [mm] \left[ e^{2x} \right]$ [/mm] berechnen soll? Wie notiere ich das?
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Hiho,
> Ja, den Erwartungswert von X habe ich berechnet.
dann stimmt der.
> Laut meinen Unterlagen hier ist [mm]\mu[/mm] ein andere Bezeichnung für den Erwartungswert somit gilt: E(X) = [mm]\mu.[/mm]
Dann solltest du das auch hinschreiben.
Aber dann stimmt deine Gleichung nicht.
> > Und wie berechnet sich allgemein der Erwartungswert von
> f(X) bei gegebener Verteilungsdichte von X und meßbarem f?
>
> [mm]E(X) = \mu = \integral_{a}^{b}{x \cdot f(x) dx}[/mm]
>
> Das sollte doch stimme, oder?
Ja das stimmt, sofern du mit f(x) die Verteilungsdichte von X meinst.
Das war aber nicht meine Frage.
Aber da setzen wir mal an: Sei f(x) die Verteilungsdichte von X.
Nun hast du ein beliebiges meßbares g gegeben und sollst [mm] E\left(g(X)\right) [/mm] berechnen, wie machst du das?
Das hast du bestimmt auch in deinen Aufzeichnungen.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Do 27.12.2012 | | Autor: | bandchef |
> Aber da setzen wir mal an: Sei f(x) die Verteilungsdichte von X.
> Nun hast du ein beliebiges meßbares g gegeben und sollst $E(g(X))$ berechnen, wie machst du das?
Ja, f(x) ist natürlich die Verteilungsfunktion, die angegeben war.
Mir ist kein beliebig messbares g gegeben... Mir ist einfach die Verteilungsfunktion f(x) gegeben und dann die Frage nach der Berechnung des "normale" Erwartungswertes innerhalb eines angegebenen Intervalls, sowie eben der "komische" Erwartungswert [mm] $E[e^{2x}]$ [/mm] den ich (anscheinend) auch als Wert berechnen soll... Mir kommt es langsam so vor als ob das eine recht "eigene Notation" meines Prof's ist und er genau das hier haben will:
[mm] $E[e^{2x}] [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{e^{2x} \cdot f(x) dx}$
[/mm]
(Die Grenzen sind noch in der Aufgabe gegeben, hab nur vergessen die hier reinzu schreiben!)
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Hallo bandchef,
> > Aber da setzen wir mal an: Sei f(x) die Verteilungsdichte
> von X.
> > Nun hast du ein beliebiges meßbares g gegeben und sollst
> [mm]E(g(X))[/mm] berechnen, wie machst du das?
>
> Ja, f(x) ist natürlich die Verteilungsfunktion, die
> angegeben war.
>
>
>
> Mir ist kein beliebig messbares g gegeben...
Nein? Du sollst doch aber nicht [mm]E[X][/mm], sondern [mm]E[\exp(2x)][/mm] berechnen ... Was ist da wohl das mysteriöse g?
> Mir ist
> einfach die Verteilungsfunktion f(x) gegeben und dann die
> Frage nach der Berechnung des "normale" Erwartungswertes
> innerhalb eines angegebenen Intervalls, sowie eben der
> "komische" Erwartungswert [mm]E[e^{2x}][/mm] den ich auch als Wert
> berechnen soll...
Du brauchst zu deiner VF [mm]f[/mm] die Dichte [mm]p[/mm] und berechnest [mm]E[g(x)]=\int_{\IR}{g(x)\cdot{}p(x) \ dx}[/mm] (falls das existiert) mit dem passenden [mm]g[/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Do 27.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Wenn aber, wie in meinem Fall die Dichte p als f(x) gegeben ist, stellt sich das ganze dann wohl so dar:
$E[g(x)] = [mm] \integral_{\mathbb R} [/mm] {g(x) [mm] \cdot [/mm] f(x) dx}$
Wenn ich mir dazu jetzt den allgemeinen Erwartungswert anschaue $E(X) = [mm] \integral_{\mathbb R} [/mm] {x [mm] \cdot [/mm] f(x) dx}$, dann erkenne ich, dass das einzelne x durch g(x) ersetzt worden ist.
Ist das nun der Grund? Wenn dem so ist: WAS lässt mich dann auf sowas kommen wenn mir $E[g(x)] = [mm] E[e^{2x}]$ [/mm] als Angabe gegeben ist? Sind es die eckigen Klammern? Ist es die zusätzliche Funktion g(x)? Oder: Ist es das das GANZE an sich weil das E(X) (das große x im Argument) das ranmultiplizierte x im Integral von $E(X) = [mm] \integral_{\mathbb R} [/mm] {x [mm] \cdot [/mm] f(x) dx}$ wiedergibt?
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Hallo nochmal,
> Wenn aber, wie in meinem Fall die Dichte p als f(x) gegeben
> ist, stellt sich das ganze dann wohl so dar:
Deine gegebene Funktion f ist keine Dichte, sondern eine Verteilungsfunktion (VF)
Du musst dir schon daraus die Dichte "basteln", um die Integralformel für den EW benutzen zu können ...
>
> [mm]E[g(x)] = \integral_{\mathbb R} {g(x) \cdot f(x) dx}[/mm]
>
> Wenn ich mir dazu jetzt den allgemeinen Erwartungswert
> anschaue [mm]E(X) = \integral_{\mathbb R} {x \cdot f(x) dx}[/mm],
> dann erkenne ich, dass das einzelne x durch g(x) ersetzt
> worden ist.
>
> Ist das nun der Grund?
Du kannst [mm] $x=\operatorname{id}(x)$ [/mm] schreiben und das so wie im allg. Fall auffassen, die Begründung liegt in der Maßtheorie bei der Integration bzgl. Bildmaßen ...
> Wenn dem so ist: WAS lässt mich
> dann auf sowas kommen wenn mir E[g(x)] = [mm]E[e^{2x}][/mm] als
> Angabe gegeben ist? Sind es die eckigen Klammern? Ist es
> die zusätzliche Funktion g(x)?
Zu berechnen ist [mm]E[\exp(2x)]=\int_{\IR}{\exp(2x)\cdot{}p(x) \ dx}[/mm] mit der Dichte [mm]p[/mm], die du noch aus [mm]f[/mm] berechnen musst.
Wie hast du denn überhaupt [mm]E[X][/mm] berechnet? Das stimmte doch, soweit ich das beim Lesen des threads in Erinnerung habe?!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Do 27.12.2012 | | Autor: | bandchef |
f(x) = -2x-2 = Dichtefunktion! Die muss ich nicht mehr berechnen, denke ich. Somit wäre hier ja p=f(x), womit gilt:
$ E[g(x)] = [mm] \integral_{\mathbb R} [/mm] {g(x) [mm] \cdot [/mm] f(x) dx} [mm] \underbrace{\Rightarrow}_{\text{mit: }g(x) = e^{2x}} \integral_{\mathbb R}_0^1 e^{2x} \cdot [/mm] (-2x+2) = ... = [mm] \frac12e^2 [/mm] - [mm] \frac32$
[/mm]
Richtig?
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Hallo nochmal,
> f(x) = -2x-2 = Dichtefunktion! Die muss ich nicht mehr
> berechnen, denke ich.
Ich würde es nicht wieder [mm]f[/mm] nennen, das ist schon vergeben; außerdem komme ich auf [mm]p(x)=-2x\red{+}2[/mm], und das für [mm]x\in I=[0,1][/mm] Außerhalb von [mm]I[/mm] ist [mm]p\equiv 0[/mm]
Man kann das "elegant" mit der Indikatorfunktion schreiben: [mm]p(x)=(2-2x)\cdot{}1_{[0,1]}[/mm]
> Somit wäre hier ja p=f(x), womit
> gilt:
>
> [mm]E[g(x)] = \integral_{\mathbb R} {g(x) \cdot f(x) dx} \underbrace{=}_{\text{mit: }g(x) = e^{2x}} \integral_{\mathbb R} e^{2x} \cdot (-2x+2) = ... = \frac12e^2 - \frac32[/mm]
>
> Richtig?
Ja, vom Ergebnis, aber es ist einfach falsch aufgeschrieben; es ist letzlich das Integral [mm]\int\limits_{0}^{1}{e^{2x}\cdot{}(-2x+2) \ dx}[/mm] auszuwerten, was du scheinbar getan hast ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Do 27.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Komisch. Ich hab das richtige getan, aber der Formalismus vor der eigentlichen Integration ist falsch. Könntest du mir vielleicht den gesamten Formalismus vor der eigentlichen Rechnung aufschreiben? Denn um den geht es ja die ganze Zeit...
Sonst kommen wir auch in 10h nicht weiter als jetzt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Do 27.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> Komisch. Ich hab das richtige getan, aber der Formalismus
> vor der eigentlichen Integration ist falsch. Könntest du
> mir vielleicht den gesamten Formalismus vor der
> eigentlichen Rechnung aufschreiben? Denn um den geht es ja
> die ganze Zeit...
>
> Sonst kommen wir auch in 10h nicht weiter als jetzt...
Moin, eine Stammfunktion des Integranden ist [mm] $\frac{1}{2} e^{2 x} [/mm] (3-2 x)$.
vg Luis
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