Wie integriert man einen Bruch < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 So 26.06.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Integriere: [mm] $\integral_0^1 \frac{x^4+2x^3-x^2+3x-1}{x^2+1}dx$ [/mm] |
Wie integriert man das? Ich hab schon probiert das (vorerst) unbestimmte Integral in das Zählerpolynom und einen Bruch in 1 durch das Nennerpolynom zu zerlegen und danach das ganze partielle zu Integrieren, was aber ziemlich unschön bei diesen Polynomen wird. Gibt's da was einfacheres?
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> Integriere: [mm]\integral_0^1 \frac{x^4+2x^3-x^2+3x-1}{x^2+1}dx[/mm]
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> Wie integriert man das? Ich hab schon probiert das
> (vorerst) unbestimmte Integral in das Zählerpolynom und
> einen Bruch in 1 durch das Nennerpolynom zu zerlegen und
> danach das ganze partielle zu Integrieren, was aber
> ziemlich unschön bei diesen Polynomen wird. Gibt's da was
> einfacheres?
hallo, erstmal polynomdivision und anschließend partialbruchzerlegung
edit: die pbz ist natürlich hier höchst unnötig - im allgemeinen (bei nennern wie [mm] x^2-1) [/mm] aber dennoch dann durchzuführen
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 So 26.06.2011 | | Autor: | bandchef |
polynomdivision geht klar. Was eine Partialbruchzerlegung ist weiß ich nicht...
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> polynomdivision geht klar. Was eine Partialbruchzerlegung
> ist weiß ich nicht...
Im vorliegenden Beispiel ist sie nicht einmal unbedingt
hilfreich !
LG
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Hallo bandchef,
> polynomdivision geht klar. Was eine Partialbruchzerlegung
> ist weiß ich nicht...
Wir hatten "Partialbruchzerlegung" damals schon in der Schule als Thema ...
Ich kann mir auch nur schwerlich vorstellen, dass das nicht bei euch in der VL dran war ... Ansonsten darf man als Student auch gerne mal eigeninitiativ was nachschlagen (schadet nix), du musst ja nicht einmal ein Ana-Buch konsultieren, ein kleiner Blick auf wikipedia reicht aus, um einen Eindruck von der PBZ zu bekommen ...
Nun, wie dem auch sei: hier kommst du auch ohne PBZ aus.
Mache zunächst die Polynomdivision. Der ganzrationale Teil ist ja problemlos, der gebrochen-rationale Teil lässt sich "auseinanderziehen", dann kommst du "so" klar.
Üblicherweise erschlägt man den verbleibenden gebr.-rat. Teil halt mit PBZ.
Aber rechne erstmal die Polynomdivision, dann wird dir das schon klar werden ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 So 26.06.2011 | | Autor: | bandchef |
Also nach der PD komm ich auf [mm] $x^2+2x-2+\frac{x+1}{x^2+1}$. [/mm] Was halt hier zm Integrieren noch etwas stört ist der Bruch; und genau diesen soll man nun jetzt noch mit der Partialbruchzerlegung erschlagen, oder wie?
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Hallo nochmal,
> Also nach der PD komm ich auf [mm]x^2+2x-2+\frac{x+1}{x^2+1}[/mm]. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Was halt hier zm Integrieren noch etwas stört ist der
> Bruch; und genau diesen soll man nun jetzt noch mit der
> Partialbruchzerlegung erschlagen, oder wie?
Üblicherweise tut man das, hier aber ohne - habe ich doch geschrieben. Hast du meine Antwort nicht gelesen?
Es ist [mm] $\frac{x+1}{x^2+1}=\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}$
[/mm]
Damit hast du die Summe zweier einfacher Integrale, für das erste erweitere mit $2$ (oder substituiere direkt [mm] $u=x^2+1$)
[/mm]
Das andere kennst du hoffentlich (sonst: substituiere [mm] $x=\tan(z)$)
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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