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| Aufgabe | Um einen Körper mit der Masse m bei konstantem Volumen von einer Temperatur T1 auf eine Temperatur T2 zu erwärmen, benötigt man eine bestimmte Wärmemenge Q [Joule], die sich nach folgender Formel berechnen lässt: Q = m [mm] \integral_{T1}^{T2}{c_{v}dT}
[/mm]
Darin bedeutet [mm] c_{v} [/mm] die spezifische Wärme [J/kg] bei konstantem Volumen, die in der Regel von der Temperatur abhängig ist. Für das Metall Kupfer gilt z.B. bei sehr tiefen Temperaturen: [mm] c_{v}(T)=a*T^{3} [\bruch{J}{kg * K}] [/mm] ,
wenn T die absolute Temperatur bedeutet ( T [K] = Theta [°C] + 273,15) und a = 8,870 * [mm] 10^{-4} [/mm] [...] enine T-unabhängige Konstante bedeutet. Berechnen Sie die Wärmemenge [Joule], die nötig ist, um 1kg Cu von 10 K auf 20 K zu erwärmen! Geben Sie die korrekte Dimension der Konstante a an! |
Unter der oben angegebenen Überschrift möchte mein Dozent mit dieser Aufgabe die Kenntnisse über Integralrechnung abfragen. Leider sehen auch diese bei mir ziemlich gering aus, genauso wie mein Verständnis von Textaufgaben.
Doch natürlich versuche ich mich an dieser Aufgabe trotzdem und hoffe man kann mir bei meinen Schwierigkeiten helfen. Vielen Dank.
Zuallererst suche ich mir heraus, was gegeben ist.
m = 1 kg
T1 = 10 K
T1 = 20 K
a = 8,870 * [mm] 10^{-4} [/mm] [...]
Gesucht sind also noch:
[mm] c_{v}(T1)
[/mm]
[mm] c_{v}(T2)
[/mm]
Q
Für [mm] c_{v}(T1): c_{v}(T1) [/mm] = a * [mm] T1^{3} [/mm] = 8,870 * [mm] 10^{-4} [/mm] * (10 [mm] K)^{3}
[/mm]
= 8,870 * [mm] 10^{-4} [/mm] * 1000 [mm] K^{3}
[/mm]
Da [mm] c_{v} [/mm] die Menge [mm] [\bruch{J}{kg * K}] [/mm] haben soll, würde ich nun anhand der Tatsache, dass ich eine Menge mit [mm] K^{3} [/mm] multiplizieren soll, darauf schließen, dass a die Menge [mm] [\bruch{J}{kg * K^{4}}] [/mm] besitzt. So könnte ich bei der Multiplikation doch [mm] K^{3} [/mm] auf beiden Seiten wegkürzen und das Endergebnis wäre [mm] [\bruch{J}{kg * K}] [/mm] ?
Zurück zur Rechnung wäre das also:
8,870 * [mm] 10^{-4}\bruch{J}{kg * K^{4}} [/mm] * 1000 [mm] K^{3} [/mm] = 0,887 [mm] \bruch{J}{kg * K}
[/mm]
Das gleiche schnell mal für T2 = 20 K:
8,870 * [mm] 10^{-4}\bruch{J}{kg * K^{4}} [/mm] * 8000 [mm] K^{3} [/mm] = 7,096 [mm] \bruch{J}{kg * K}
[/mm]
Hier endet aber auch schon mein Latein, da ich absolut keine Ahnung habe, was ich mit dem Integral machen soll. Der Wikipedia-Eintrag ist mir dabei auch zu schwer, zu viele Variablen und Konstanten bei denen ich einfach nicht durchblicke.
Vllt. kann mir ja jemand, wenn bis hierhin überhaupt alles stimmt, ein kleines, leichtes Beispiel geben anhand dessen ich den Rest der Aufgabe lösen kann. Dankeschön.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Di 26.10.2010 | | Autor: | Fulla |
Hallo Clawfinger,
> Zuallererst suche ich mir heraus, was gegeben ist.
> m = 1 kg
> T1 = 10 K
> T1 = 20 K
> a = 8,870 * [mm]10^{-4}[/mm] [...]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gesucht sind also noch:
> [mm]c_{v}(T1)[/mm]
> [mm]c_{v}(T2)[/mm]
> Q
Eigentlich ist nur Q gesucht (und die Einheit von a).
> Für [mm]c_{v}(T1): c_{v}(T1)[/mm] = a * [mm]T1^{3}[/mm] = 8,870 * [mm]10^{-4}[/mm] *
> (10 [mm]K)^{3}[/mm]
> = 8,870 * [mm]10^{-4}[/mm] * 1000 [mm]K^{3}[/mm]
> Da [mm]c_{v}[/mm] die Menge [mm][\bruch{J}{kg * K}][/mm] haben soll, würde
> ich nun anhand der Tatsache, dass ich eine Menge mit [mm]K^{3}[/mm]
> multiplizieren soll, darauf schließen, dass a die Menge
> [mm][\bruch{J}{kg * K^{4}}][/mm] besitzt.
Du meinst hier "Einheit"
> So könnte ich bei der
> Multiplikation doch [mm]K^{3}[/mm] auf beiden Seiten wegkürzen und
> das Endergebnis wäre [mm][\bruch{J}{kg * K}][/mm] ?
> Zurück zur Rechnung wäre das also:
> 8,870 * [mm]10^{-4}\bruch{J}{kg * K^{4}}[/mm] * 1000 [mm]K^{3}[/mm] = 0,887
> [mm]\bruch{J}{kg * K}[/mm]
> Das gleiche schnell mal für T2 = 20 K:
> 8,870 * [mm]10^{-4}\bruch{J}{kg * K^{4}}[/mm] * 8000 [mm]K^{3}[/mm] = 7,096
> [mm]\bruch{J}{kg * K}[/mm]
Ich hab die Zahlenwerte nicht nachgerechnet, aber du hast Recht, die Einheit von a ist [mm]\frac{J}{kg\cdot K^4}[/mm]. Das kannst du aber schon an der Formel für [mm]c_v(T)[/mm] sehen:
[mm]c_v(T)=aT^3[/mm] hat die Einheit [mm]\frac{J}{kg\cdot K}[/mm]. Und [mm][T^3]=K^3[/mm], also muss [mm][a]=\frac{J}{kg\cdot K^4}[/mm] sein.
> Hier endet aber auch schon mein Latein, da ich absolut
> keine Ahnung habe, was ich mit dem Integral machen soll.
> Der Wikipedia-Eintrag ist mir dabei auch zu schwer, zu
> viele Variablen und Konstanten bei denen ich einfach nicht
> durchblicke.
> Vllt. kann mir ja jemand, wenn bis hierhin überhaupt
> alles stimmt, ein kleines, leichtes Beispiel geben anhand
> dessen ich den Rest der Aufgabe lösen kann. Dankeschön.
Ich hab das Gefühl, du weißt nicht genau was du machen sollst. Es gilt [mm]Q=m\int_{T_1}^{T_2}c_v(T)\ dT[/mm] zu berechnen. Für [mm]c_v(T)[/mm] hast einen Ausdruck gegeben, also setzen wir mal ein:
[mm]Q=m\int_{T_1}^{T_2} aT^3\ dT=ma\int_{T_1}^{T_2} T^3\ dT[/mm] ([mm]a[/mm] ist ja unabhängig von [mm]T[/mm], darum kannst du es vor das Integral ziehen).
Dieses Integral kannst du bestimmt lösen. Ganz am Schluss setzt du dann die gegebenen Werte ein und erhältst die gesuchte Größe [mm]Q[/mm]. (Ob du richtig gerechnet hast, kannst du dann auch anhand der Einheiten überprüfen: am Ende muss die Einheit Joule rauskommen).
Lieben Gruß,
Fulla
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Danke für die Hilfe. Ich glaube ich habe es jetzt hinbekommen.
Ich hab allerdings noch eine weitere Frage und glaube es lohnt nicht dazu noch einen extra Thread aufzumachen. Also stelle ich sie einfach mal hier.
Beim Integrieren erhöht man ja den Exponent bei der Variablen, die integriert werden soll, um 1. Die Konstanten vor der Variablen dividiert man dann mit dem Exponenten + 1. Was passiert denn, wenn meine Variable den Exponenten -1 hat? Dann ist es doch nicht lösbar, da man nicht durch 0 teilen kann, oder?
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Hallo Clawfinger,
> Danke für die Hilfe. Ich glaube ich habe es jetzt
> hinbekommen.
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> Ich hab allerdings noch eine weitere Frage und glaube es
> lohnt nicht dazu noch einen extra Thread aufzumachen. Also
> stelle ich sie einfach mal hier.
>
> Beim Integrieren erhöht man ja den Exponent bei der
> Variablen, die integriert werden soll, um 1. Die Konstanten
> vor der Variablen dividiert man dann mit dem Exponenten +
> 1. Was passiert denn, wenn meine Variable den Exponenten -1
> hat? Dann ist es doch nicht lösbar, da man nicht durch 0
> teilen kann, oder?
Die Regel, die Du ansprichst, gilt nicht für den Exponenten -1.
Für den Exponenten -1 ist deshalb diese Regel nicht anzuwenden,
sondern es gilt:
[mm]\integral_{T1}^{T2}{T^{-1} \ dt}=\left {\ln\left(T\right)}\right|_{T1}^{T2}[/mm]
Gruss
MathePower
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