Wieviel Zahlen? < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Di 22.03.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Wie viele 12-stellige Zahlen, bei denen die Ziffer 9 höchstens zweimal auftritt und die Summe der beiden ersten Ziffern genau 7 beträgt, lassen sich aus den Ziffern 1, 2, ..., 9 bilden? |
Hi Leute!
Ich hab keine Ahnung wie man da ran geht. Könnt ihr mir helfen?
[mm] $\frac{1! \cdot 2! ... \cdot 12!}{9!}$ [/mm] ist doch aber schon mal die Anzahl aller möglichen Zahlen, oder?
Aber wie komm ich jetzt darauf, dass erstmal nur die 9 zweimal Auftritt?
|
|
| |
|
Moin bandchef,
> Wie viele 12-stellige Zahlen, bei denen die Ziffer 9
> höchstens zweimal auftritt und die Summe der beiden ersten
> Ziffern genau 7 beträgt, lassen sich aus den Ziffern 1, 2,
> ..., 9 bilden?
> Hi Leute!
>
> Ich hab keine Ahnung wie man da ran geht. Könnt ihr mir
> helfen?
Überlege dir
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass die ersten beiden Ziffern zusammen 7 ergeben? Kann dabei eine 9 vorkommen? (nein!)
b) Es verbleiben 10 Ziffern. Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass davon 0,1,2 Ziffern 9 sind (Kombinationen)?
>
> [mm]\frac{1! \cdot 2! ... \cdot 12!}{9!}[/mm] ist doch aber schon
> mal die Anzahl aller möglichen Zahlen, oder?
>
> Aber wie komm ich jetzt darauf, dass erstmal nur die 9 zweimal Auftritt?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Di 22.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Dass die ersten beiden Ziffern zusammen 7 ergeben gibt es max. 6 möglichkeiten, nicht wahr?
Sieht doch so aus:
1+6 = 7
2+5 = 7
3+4 = 7
4+3 = 7
5+2 = 7
6+1 = 7
Aber, wie gehts da jetzt weiter?
|
|
|
| |
|
> Dass die ersten beiden Ziffern zusammen 7 ergeben gibt es
> max. 6 möglichkeiten, nicht wahr?
>
> Sieht doch so aus:
>
> 1+6 = 7
> 2+5 = 7
> 3+4 = 7
> 4+3 = 7
> 5+2 = 7
> 6+1 = 7
zzgl 7+0=7 (EDIT)
>
> Aber, wie gehts da jetzt weiter?
Steht oben. Es kann 0,1,2 Neunen in den gesuchten Zahlen geben. Jetzt musst du nur noch die möglichen Positionen unter den letzten 10 Ziffern ermitteln (Tipp: Kombinationen)
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Di 22.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Es sieht doch dann so aus:
0+7 = 7
1+6 = 7
2+5 = 7
3+4 = 7
4+3 = 7
5+2 = 7
6+1 = 7
7+0 = 7
Das wären ja jetzt 8 Möglichkeiten, oder?
Wenn es jetzt keine, eine einzige bzw. zwei 9er geben soll, kann ich die Positionen da jetzt wie ermitteln? Ich kann mir ja da jetzt nicht alle irgend möglichen Zahlen aufmalen, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo bandchef,
> Es sieht doch dann so aus:
>
> 0+7 = 7
> 1+6 = 7
> 2+5 = 7
> 3+4 = 7
> 4+3 = 7
> 5+2 = 7
> 6+1 = 7
> 7+0 = 7
>
> Das wären ja jetzt 8 Möglichkeiten, oder?
Es gibt doch nur die Ziffern 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Demnach nur 6 Möglichkeiten.
>
> Wenn es jetzt keine, eine einzige bzw. zwei 9er geben soll,
> kann ich die Positionen da jetzt wie ermitteln? Ich kann
> mir ja da jetzt nicht alle irgend möglichen Zahlen
> aufmalen, oder?
Aufmalen ist nicht das Mittel der Wahl.
Wenn es eine 9 gibt, dann kann
die an ... verschiedenen Plätzen stehen.
Wenn es zwei 9en git, dann gibt es ... Möglichkeiten,
diese auf 10 Plätze zu verteilen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Mi 23.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Zitat: "Wenn es eine 9 gibt, dann kann die an ... verschiedenen Plätzen stehen."
Dann gibt es 10 verschiedene Plätze an der sie stehen kann.
Wenn ich zwei 9er hab dann sieht das ganze so aus:
[mm] $\vektor{8 \\ 2} [/mm] = 28$
Ist das soweit richtig? Wie gehts jetzt weiter?
|
|
|
| |
|
Hallo bandchef,
> Zitat: "Wenn es eine 9 gibt, dann kann die an ...
> verschiedenen Plätzen stehen."
>
> Dann gibt es 10 verschiedene Plätze an der sie stehen
> kann.
>
Ja.
>
> Wenn ich zwei 9er hab dann sieht das ganze so aus:
>
> [mm]\vektor{8 \\ 2} = 28[/mm]
>
Nein, das ist dann [mm]\vektor{\red{10} \\ 2} = 45[/mm]
>
> Ist das soweit richtig? Wie gehts jetzt weiter?
>
Für jeden der übrigen Plätze stehen nur noch 8 Ziffern zur Verfügung.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mi 23.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich fass mal kurz zusammen:
- für die ersten beiden Ziffern gibts 6 Möglichkeiten der Anordnung
- für eine 9 gibts 10 Möglichkeiten der Anordnung
- für die beiden 9en gibts [mm] $\vektor{10 \\ 2} [/mm] = 45 Möglichkeiten der Anordnung
Zitat: "Für jeden der übrigen Plätze stehen nur noch 8 Ziffern zur Verfügung."
Wie rechne ich da jetzt die Möglichkeiten aus? Das is schon alles ziemlich fies...
|
|
|
| |
|
Hallo bandchef,
> Ich fass mal kurz zusammen:
>
> - für die ersten beiden Ziffern gibts 6 Möglichkeiten der
> Anordnung
> - für eine 9 gibts 10 Möglichkeiten der Anordnung
> - für die beiden 9en gibts [mm]$\vektor{10 \\ 2}[/mm] = 45
> Möglichkeiten der Anordnung
>
> Zitat: "Für jeden der übrigen Plätze stehen nur noch 8
> Ziffern zur Verfügung."
>
> Wie rechne ich da jetzt die Möglichkeiten aus? Das is
> schon alles ziemlich fies...
Im Falle einer 9 stehen noch 9 Plätze zur Verfügung.
Für diese 9 Plätze gibt es je 8 Möglichkeiten, d.h.
[mm]10*8^{9}[/mm] Möglichkeiten für diese 10 Plätze
im Falle einer 9.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Mi 23.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Hab ich jetzt irgendwie nicht verstanden...
- für die ersten beiden Ziffern gibts 6 Möglichkeiten der Anordnung
Richtig?
- für eine 9 gibts $10 [mm] \cdot 8^9$ [/mm] Möglichkeiten der Anordnung
Richtig?
- für die beiden 9en gibts [mm] $\vektor{10 \\ 2} [/mm] $ = 45 Möglichkeiten der Anordnung
Richtig?
Und was ist jetzt mit den anderen 8 übrig bleibenden Plätzen für die es keine Zahleneinschränkung gibt?
|
|
|
| |
|
Hallo bandchef,
> Hab ich jetzt irgendwie nicht verstanden...
>
> - für die ersten beiden Ziffern gibts 6 Möglichkeiten der
> Anordnung
>
> Richtig?
>
Ja.
>
> - für eine 9 gibts [mm]10 \cdot 8^9[/mm] Möglichkeiten der
> Anordnung
>
> Richtig?
>
>
Ebenfalls ja.
>
> - für die beiden 9en gibts [mm]\vektor{10 \\ 2}[/mm] = 45
> Möglichkeiten der Anordnung
>
> Richtig?
>
>
>
> Und was ist jetzt mit den anderen 8 übrig bleibenden
> Plätzen für die es keine Zahleneinschränkung gibt?
Für jeden dieser 8 Plätze gibt es ebenfalls 8 Möglichkeiten.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Mi 23.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Zitat: "Für jeden dieser 8 Plätze gibt es ebenfalls 8 Möglichkeiten."
Also quasi [mm] $8^8 [/mm] = 16777216$ ?
So, dann hab ich nun:
- für die beiden ersten Ziffern -> 6 Möglichkeiten
- für eine 9 -> $10 [mm] \cdot 8^9 [/mm] = 1342177280$ Möglichkeiten
- für beide 9en -> [mm] \vektor{10 \\ 2} [/mm] = 45 Möglichkeiten
- für die übrig bleibenden Stellen -> [mm] $8^8 [/mm] = 16777216$
Wie bekomm ich nun alle möglichen Zahlenkombination raus? Einfach addieren? Das wären dann 6 + 1342177280 + 45 + 16777216 = 1358954547 Möglichkeiten. Ist das jetzt richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo bandchef,
> Zitat: "Für jeden dieser 8 Plätze gibt es ebenfalls 8
> Möglichkeiten."
>
> Also quasi [mm]8^8 = 16777216[/mm] ?
>
Ja.
>
> So, dann hab ich nun:
>
> - für die beiden ersten Ziffern -> 6 Möglichkeiten
> - für eine 9 -> [mm]10 \cdot 8^9 = 1342177280[/mm] Möglichkeiten
> - für beide 9en -> [mm]\vektor{10 \\ 2}[/mm] = 45 Möglichkeiten
> - für die übrig bleibenden Stellen -> [mm]8^8 = 16777216[/mm]
>
> Wie bekomm ich nun alle möglichen Zahlenkombination raus?
> Einfach addieren? Das wären dann 6 + 1342177280 + 45 +
> 16777216 = 1358954547 Möglichkeiten. Ist das jetzt
> richtig?
Hier muss Du rechnen:
[mm]6 \blue{*} \left(1342177280 + 45 \blue{*} 16777216\right)[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Mi 23.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Warum muss ich das hier rechnen?
$ 6 [mm] \blue{\cdot{}} \left(1342177280 + 45 \blue{\cdot{}} 16777216\right) [/mm] $
|
|
|
| |
|
Hallo bandchef,
> Warum muss ich das hier rechnen?
>
> [mm]6 \blue{\cdot{}} \left(1342177280 + 45 \blue{\cdot{}} 16777216\right)[/mm]
Innerhalb des Falles einer 9 multiplizieren sich die 10 Möglichkeiten
mit den Möglichkeiten für die übrigen 9 Plätze.
Dasselbe für den Falle zweier 9en.
Diese Möglichkeiten sind jetzt zu addieren.
Das Ergebnis hier von ist mit den Möglichkeiten
der ersten beiden Plätze zu multiplizieren.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
