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Hi
Kann mir jemand sagen wie ich die Lotfußpunkte zweier WINDSCHIEFER Geraden finden kann?
Mit Lotfußpunkte meine ich die Punkte bei denen der Abstand zwischen den Geraden am kürzesten ist!
Die Formel aus dem Buch [ (q-p)*n0 ] liefert ja leider nur den Abstand.
Danke im Voraus Moritz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Rudi,
die Frage kann ich dir so allgemein nicht beantworten, weil es mehrere Methoden gibt.
Prinzipiell musst du wissen wie du auf einer gegebenen Geraden g herausfindest, wo der Lotfußpunkt sich befindet, wenn du von einem vorgegebenen Punkt P aus das Lot auf g fällst.
Wenn du das kannst, dann musst du in eurer bisherigen Methode den Punkt P durch einen allgemeinen Punkt auf der Geraden h ersetzen. Umgekehrt soll ja auch auf h ein Lotfußpunkt gefunden werden, d.h. in einer zweiten Gleichung nimmst du jetzt einen allgemeinen Punkt auf g und suchst den Lotfußpunkt auf h.
Das gemeinsame Lot hat die Eigenschaft, dass die allgemeinen Punkte auf g und h gleich den jeweiligen Fußpunkten sind.
Beispiel:
[mm]g:\vec{x}=\pmat{1\\0\\0}+\lambda\pmat{0\\1\\2}[/mm]
[mm]h:\vec{x}=\pmat{0\\3\\1}+\mu\pmat{1\\2\\1}[/mm]
Dann ist der allgemeine Punkt P auf g [mm]\pmat{1\\\lambda\\2\lambda}[/mm]
und der allgemeine Punkt Q auf h [mm]\pmat{\mu\\3+2\mu\\1+\mu}[/mm]
Jetzt bekommst du zwei Gleichungen für den Vektor [mm]\vec{PQ}[/mm].
Die erste besagt, dass [mm]\vec{PQ}\perp\pmat{0\\1\\2}[/mm],
die zweite, dass [mm]\vec{PQ}\perp\pmat{1\\1\\1}[/mm].
Der Vektor [mm]\vec{PQ}[/mm] ist dabei
[mm]\vec{Q}-\vec{P}=\pmat{-1+\mu\\3-\lambda+2\mu\\1-2\lambda+\mu}[/mm]
Ab jetzt musst du selber rechnen, bzw. deine eigene Aufgabe entsprechend bearbeiten.
Hugo
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Hallo Rudi!
Also, die zwei Geraden sind:
[mm]\vec{x}_{1}=\vec{p}_{1}+r_{1}\vec{u}_{1}[/mm]
[mm]\vec{x}_{2}=\vec{p}_{2}+r_{2}\vec{u}_{2}[/mm]
Der gemeinsame Normalenvektor [mm]\vec{n}[/mm] hat die Eigenschaft:
[mm]\vec{n}*\vec{u}_{1}=\vec{n}*\vec{u}_{2}=0[/mm]
Die Normalengerade habe die Gleichung:
[mm]\vec{x}=\vec{m}+t\vec{n}[/mm]
Wenn wir die Normalengerade mit unserer zwei bekannten Geraden schneiden, erhalten wir
[mm]\vec{p}_{1}+r_{1}\vec{u}_{1}=\vec{m}+t_{1}\vec{n}[/mm]
[mm]\vec{p}_{2}+r_{2}\vec{u}_{2}=\vec{m}+t_{2}\vec{n}[/mm]
Von hier müssen wir [mm]r_{1}[/mm] und [mm]r_{2}[/mm] bestimmen.
Wenn wir die zwei Gleichungen substrahieren, und die so erhaltene Gleichung ein bischen bearbeiten:
[mm]r_{2}\vec{u}_{2}-r_{1}\vec{u}_{1}+(t_{1}-t_{2})\vec{n}=(\vec{p}_{1}-\vec{p}_{2})[/mm]
Wir multiplizieren skalar diese Gleichung einmal mit [mm]\vec{u}_{1}[/mm] und einmal mit [mm]\vec{u}_{2}[/mm] und Lösen nach [mm]r_{1}[/mm] und [mm]r_{2}[/mm].
[mm]r_{1}=\bruch{(\vec{p}_{2}-\vec{p}_{1})*\left((\vec{u}_{2}^{2})\vec{u}_{1}-(\vec{u}_{1}*\vec{u}_{2})\vec{u}_{2}\right)}{\vec{u}_{1}^{2}\vec{u}_{2}^{2}-(\vec{u}_{1}*\vec{u}_{2})^{2}}[/mm]
und wenn wir in dieser Gleichung die Indizes 1 und 2 vertauschen, erhalten wir [mm]r_{2}[/mm].
Wenn wir [mm]r_{1}[/mm] und [mm]r_{2}[/mm] in die entsprechenden Geradengleichungen einsetzen, erhalten wir die Koordinaten der zwei Lotfußpunkte.
Schöne Grüße, 
Ladis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Do 04.11.2004 | | Autor: | tomgomongo |
Hey
Danke für die schnellen Antworten.
Die erste Lösung ist glaub ich nicht die welche mein Lehrer haben will.
Aber die 2te Lösung scheint mir recht logisch zu sein.
Muss ich jetzt mal ausprobieren.
thanks tomgomongo
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> Die erste Lösung ist glaub ich nicht die welche mein
> Lehrer haben will.
Oh nein! (heul) (schluchz) (wimmer)
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Bei deiner Umformung von
$ [mm] r_{2}\vec{u}_{2}-r_{1}\vec{u}_{1}+(t_{1}-t_{2})\vec{n}=(\vec{p}_{1}-\vec{p}_{2}) [/mm] $
zu $ [mm] r_{1}=\bruch{(\vec{p}_{2}-\vec{p}_{1})\cdot{}\left((\vec{u}_{2}^{2})\vec{u}_{1}-(\vec{u}_{1}\cdot{}\vec{u}_{2})\vec{u}_{2}\right)}{\vec{u}_{1}^{2}\vec{u}_{2}^{2}-(\vec{u}_{1}\cdot{}\vec{u}_{2})^{2}} [/mm] $
wo bleibt da das r2????
versteh ich nicht wie du des wegzauberst.
thanks tomgomongo
Ps:gibts eigentlich nicht ne einfachere Lösung dazu?
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Hallo Moritz!
Also gut, ich werde alle einzelnen Schritte aufzeigen.
Ich gehe von folgender Gleichung aus:
(1) [mm]r_{2}\vec{u}_{2}-r_{1}\vec{u}_{1}+(t_{1}-t_{2})\vec{n}=(\vec{p}_{1}-\vec{p}_{2})[/mm]
Ich multipliziere skalar Gleichung (1) mit [mm]\vec{u}_{2}[/mm] und nachher mit [mm]\vec{u}_{1}[/mm], und berücksichtige, dass diese Vektoren senkrecht zur Normalenvektor sind (Skalarprodukt null):
(2) [mm]r_{2}(\vec{u}_{2}^{2})-r_{1}(\vec{u}_{1}*\vec{u}_{2})=(\vec{p}_{1}-\vec{p}_{2})*\vec{u}_{2}[/mm]
(3) [mm]r_{2}(\vec{u}_{1}*\vec{u}_{2})-r_{1}(\vec{u}_{1}^{2})=(\vec{p}_{1}-\vec{p}_{2})*\vec{u}_{1}[/mm]
Jetzt mache ich folgendes, um [mm]r_{2}[/mm] zu eliminieren:
[mm](3)*(-\vec{u}_{2}^{2})+(2)*(\vec{u}_{1}*\vec{u}_{2}) [/mm]
Daraus folgt:
(4) [mm]r_{1}(\vec{u}_{1}^{2}\vec{u}_{2}^{2})-r_{1}(\vec{u}_{1}*\vec{u}_{2})^{2}=(\vec{p}_{1}-\vec{p}_{2})*[(\vec{u}_{1}*\vec{u}_{2})\vec{u}_{2}-(\vec{u}_{2}^{2})\vec{u}_{1}][/mm]
[mm]r_{1}[\vec{u}_{1}^{2}\vec{u}_{2}^{2}-(\vec{u}_{1}*\vec{u}_{2})^{2}]=(\vec{p}_{1}-\vec{p}_{2})*[(\vec{u}_{1}*\vec{u}_{2})\vec{u}_{2}-(\vec{u}_{2}^{2})\vec{u}_{1}][/mm]
(5) [mm]r_{1}=\bruch{(\vec{p}_{1}-\vec{p}_{2})*[(\vec{u}_{1}*\vec{u}_{2})\vec{u}_{2}-(\vec{u}_{2}^{2})\vec{u}_{1}]}{\vec{u}_{1}^{2}\vec{u}_{2}^{2}-(\vec{u}_{1}*\vec{u}_{2})^{2}}[/mm]
Wie gesagt, die Gleichung (1) gilt auch wenn man die Indizes 1 und 2 vertauscht. Also, wenn man diese Operation in Gleichung (5) macht, erhält man auch eine gültige Gleichung. Und so hat man sofort die Lösung für [mm]r_{2}[/mm] ohne die ganzen ähnlichen Berechnungen ausführen zu müssen. Das ist der Vorteil der geeigneten Bezeichnungen (mittels Indizes).
(6) [mm]r_{2}=\bruch{(\vec{p}_{2}-\vec{p}_{1})*[(\vec{u}_{2}*\vec{u}_{1})\vec{u}_{1}-(\vec{u}_{1}^{2})\vec{u}_{2}]}{\vec{u}_{2}^{2}\vec{u}_{1}^{2}-(\vec{u}_{2}*\vec{u}_{1})^{2}}[/mm]
Alles klar? ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]")
Schöne Grüße,
Ladis
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Hi
Kennt jemand ne Herleitung für die Abstandsformel windschiefer Geraden?
(q-p)*nO
Danke Moritz
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Do 04.11.2004 | | Autor: | Rahul_N |
Servus.
Diese Formel muss weniger hergeleitet werden als verstanden.
[mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] = c
Bei der skalaren Multiplikation wird der Betrag eines Vektors mit der projektion des anderen Vektors auf den ersten vektoren multipliziert.
Wenn du also einen Vektor mit einem Normalvektor multiplizierst machst du nix anderes als die den betrag von dem normal vektor (was ja 1 ist) mit der projektion des anderen vektoren auf den normal vektor. diese Projektion ist im 3 dimensionalen Raums nix anderes als der gesuchte abstand. (Vom Abstand zweier windschiefer geraden ist ja bekannt, dass die orthogonale Strecke die kürzeste ist)
was mit der formel (q-p)*nO
also gemacht wird ist also nix anderes als die projektion von q-p auf n0
was der Abstand ist.
Ich versteh nicht wie man bilder hochläd sonst würd ich was hochladen was vielleicht besser verständlich ist.
Naja hoffe ich war verständlich genug :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 So 07.11.2004 | | Autor: | tomgomongo |
Hi
mich interessiert obs da nicht noch en einfachere Art gibt um die Fußpunkte zu berechnen. In meinem Buch hab ich jetzt noch ne Aufgabe gefunden und da steht noch en Tipp.(Siehe Bild AUFGABE B!!)
Da steht dass Strecke/Vektor HG und Richtungsvektor der Geraden h ne Ebene aufspannen die g schneidet.
kann des jemand auf diese Art berechnen??Ich habs nicht geschafft.
ok jetzt hab ichs doch gelöst bekommen.
wenns jemand interessiert: einfach ne Ebene auf die Gerade h stellen :
E: Punkt von h+ s(Richtungsvektor von h)+t(Normalenvektor aus g+h)
dann einfach mit der Geraden g schneiden.
Gruß tomgomongo
Ps:hoffentlich klappt des mit dem Bild
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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