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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Windungszahl
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Windungszahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Fr 05.06.2009
Autor: tynia

Hallo. Habe eine allgemeine Frage zu Windungszahlen.

Die Windungszahl einer Kurve [mm] \gamma [/mm] in Bezug zu einem Punkt [mm] z_{0} [/mm] stellt die Anzahl der Umrundungen entgegen der Uhrzeigerrichtung um [mm] z_{0} [/mm] dar, wenn man dem Verlauf der Kurve folgt. Eine Umrundung in Uhrzeigerrichtung ergibt eine negative Windungszahl.

Ich habe jetzt folgendes Bild:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Wie muss ich mir das jetzt genau vorstellen. Stehe ich sozusagen im Punkt [mm] z_{0} [/mm] und drehe mich in Richtung der Pfeile???[verwirrt]

Kann mir das vielleicht jemand für Blöde erklären? Ich raffe es einfach nicht. Vielen dank schonmal.

LG
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Windungszahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 Fr 05.06.2009
Autor: rainerS

Hallo Tynia!

> Hallo. Habe eine allgemeine Frage zu Windungszahlen.
>
> Die Windungszahl einer Kurve [mm]\gamma[/mm] in Bezug zu einem Punkt
> [mm]z_{0}[/mm] stellt die Anzahl der Umrundungen entgegen der
> Uhrzeigerrichtung um [mm]z_{0}[/mm] dar, wenn man dem Verlauf der
> Kurve folgt. Eine Umrundung in Uhrzeigerrichtung ergibt
> eine negative Windungszahl.
>  
> Ich habe jetzt folgendes Bild:
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> Wie muss ich mir das jetzt genau vorstellen. Stehe ich
> sozusagen im Punkt [mm]z_{0}[/mm] und drehe mich in Richtung der
> Pfeile???[verwirrt]

So ungefähr: du stehst im Punkt [mm] $z_0$ [/mm] und bist mit einem Faden mit jemandem verbunden, der die Kurve einmal entlangläuft, bis der Ausgangspunkt wieder erreicht ist. Die Windungszahl gibt an, wie oft sich der Faden dabei um dich herumwickelt.

Viel Spaß beim Ausprobieren! ;-)

Viele Grüße
   Rainer
Bezug
                
Bezug
Windungszahl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:36 Fr 05.06.2009
Autor: tynia

Genau so eine Antwort habe ich gebraucht :-) Vielen Dank. Ich habs verstanden.
Bezug
                
Bezug
Windungszahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:50 Fr 05.06.2009
Autor: tynia

Ok. ich habe doch noch ne Frage. Wenn ich [mm] z_{0} [/mm] gegeben habe, verstehe ich das ja. Aber was ist, wenn ich sowas gegeben habe:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Betrachte ich dann da den Ursprung, also 0 ?

In der Aufgabe heißt es, dass ich das Wegintegral [mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{d\varphi}{\varphi}} [/mm] für den skizzierten Rundweg [mm] \gamma [/mm] berechnen soll. Dazu brauche ich ja erstmal die Windungszahl und dann setzte ich ja einfach in die Formel ein.

Also, um welchen Punkt betrachte ich das jetzt genau? Hoffe du kannst mir das sagen.

Danke schonmal.

LG
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Windungszahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:11 Fr 05.06.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> Ok. ich habe doch noch ne Frage. Wenn ich [mm]z_{0}[/mm] gegeben
> habe, verstehe ich das ja. Aber was ist, wenn ich sowas
> gegeben habe:
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> Betrachte ich dann da den Ursprung, also 0 ?
>  
> In der Aufgabe heißt es, dass ich das Wegintegral
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{\bruch{d\varphi}{\varphi}}[/mm] für den
> skizzierten Rundweg [mm]\gamma[/mm] berechnen soll. Dazu brauche ich
> ja erstmal die Windungszahl und dann setzte ich ja einfach
> in die Formel ein.
>  
> Also, um welchen Punkt betrachte ich das jetzt genau? Hoffe
> du kannst mir das sagen.

Vergleiche mit der Cauchyschen Integralformel:

  [mm] \integral_{\gamma} \bruch{f(z)}{z-z_0} dz = n(\gamma,z_0)*2\pi i f(z_0) [/mm],

also geht es hier um [mm] $z_0=0$ [/mm] und die Windungszahl um den Punkt 0.

Viele Grüße
   Rainer
Bezug
                                
Bezug
Windungszahl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:24 Fr 05.06.2009
Autor: tynia

Vielen Dank. [happy]
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