Winkel zweier Vektoren rechnen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Di 25.08.2009 | | Autor: | chico6 |
| Aufgabe | | Erfinde 3 Geradengleichungen und bestimme den Winkel zwischen Allen! |
So lautet die Aufgabe zu etwas neuem. Nämlich einen Winkel bestimmen zwischen Vektoren. Wir haben es einmal ausprobiert , jedoch nur mit 2 Vektoren. Jedoch habe ich den Zwischenschritt nicht verstanden.
Zunächst mal gab der Lehrer uns diese Formel:
[mm] \bruch{\vec{a} * \vec{b}}{l\vec{a}l * l\vec{b}l} [/mm] = [mm] cos\alpha (\vec{a},\vec{b})
[/mm]
Die "l´s" sollen die Betragsstriche sein, da ich diese hier nicht gefunden habe.
Mit dieser Formel weiß ich jedoch nicht viel anzufangen.
Zuersteinmal Vektor a mal Vektor b, das ist klar, dann jedoch durch die in Betragsstriche stehenden selben Vektoren... Wie kann ich das verstehen?
Zumal wir das Ergebnis im Taschenrechner haben sollen und dann die Cos hoch -1 taste drücken sollen.
Ich bitte um Hilfe! Vielen Dank schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wenn ich es doch nur könnte :s
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Hallo
> Erfinde 3 Geradengleichungen und bestimme den Winkel
> zwischen Allen!
> So lautet die Aufgabe zu etwas neuem. Nämlich einen
> Winkel bestimmen zwischen Vektoren. Wir haben es einmal
> ausprobiert , jedoch nur mit 2 Vektoren. Jedoch habe ich
> den Zwischenschritt nicht verstanden.
> Zunächst mal gab der Lehrer uns diese Formel:
>
> [mm]\bruch{\vec{a} * \vec{b}}{l\vec{a}l * l\vec{b}l}[/mm] =
> [mm]cos\alpha (\vec{a},\vec{b})[/mm]
>
> Die "l´s" sollen die Betragsstriche sein, da ich diese
> hier nicht gefunden habe.
> Mit dieser Formel weiß ich jedoch nicht viel anzufangen.
> Zuersteinmal Vektor a mal Vektor b, das ist klar, dann
> jedoch durch die in Betragsstriche stehenden selben
> Vektoren... Wie kann ich das verstehen?
> Zumal wir das Ergebnis im Taschenrechner haben sollen und
> dann die Cos hoch -1 taste drücken sollen.
> Ich bitte um Hilfe! Vielen Dank schonmal!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Wenn ich es doch nur könnte :s
>
>
Nun, du musst hierfür 2 Sachen wissen...
1) Wie ist das Skalarprodukt zweier Vektoren definiert? (Zähler)
2) Wie ist der Betrag eines Vektors definiert? (Nenner)
Nehmen wir 2 Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} \\ y_{1}} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{x_{2} \\ y_{2}}
[/mm]
Dann ist ihr Skalarprodukt [mm] \vec{a}*\vec{b} [/mm] = [mm] x_{1}x_{2} [/mm] + [mm] y_{1}y_{2}
[/mm]
Und der Betrag, also die Länge des Vektors, ist nach Pythagoras zu berechnen als [mm] |\vec{a}| [/mm] = [mm] \wurzel{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}
[/mm]
Jetzt denke dir diese 3 Geraden aus, so dass sie nicht parallel zueinander sind ^^ (Wir sind noch im [mm] \IR^{2}, [/mm] oder?) und bestimme die Schnittwinkel.
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mi 26.08.2009 | | Autor: | chico6 |
Wenn ich jetzt statt 2 , 3D bin, also 3 Zahlen habe, sodass es eine Ebene ergibt, muss ich dann bei der Länge so rechnen, dass ich zuerst die Länge von Vektor a und danach die Länge von Vektor b einzeln ausrechne und diese beiden dann mal nehme?
Gruß Chico6
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Hallo
> Wenn ich jetzt statt 2 , 3D bin, also 3 Zahlen habe, sodass
> es eine Ebene ergibt, muss ich dann bei der Länge so
> rechnen, dass ich zuerst die Länge von Vektor a und danach
> die Länge von Vektor b einzeln ausrechne und diese beiden
> dann mal nehme?
>
> Gruß Chico6
Moment.. auch in 2D berechnet sich die Länge eines Vektors durch die Wurzel der Summe der Quadrate der Komponenten.. im 3D ändert sich das nicht.. also:
- 2D: [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y} \to |\vec{a}| [/mm] = [mm] \wurzel{x^{2} + y^{2}}
[/mm]
- 3D: [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\ z} \to |\vec{a}| [/mm] = [mm] \wurzel{x^{2} + y^{2} + z^{2}}
[/mm]
Also auch in 2D musst du die Beträge, also die Längen der Vektoren, separatn voneinander berechnen!
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mi 26.08.2009 | | Autor: | chico6 |
Danke für die schnelle Antwort und sorry wenn ich nerven sollte, aber ich hätte da noch eine Frage:
Wenn ich 3 Geradengleichungen hab, und ich soll den Winkel zwischen jeweils 2 berechnen, wie verbinde ich 2 von den Geradengleichungen?
Also wenn ich
[mm] \vec{a} \* \vec{b} [/mm]
nehme, heisst das, dass a von der ersten G.gleichung nehme und b von der anderen oder wie?
Ich hoffe du verstehst meine Frage ^^.
Grüsse , Chico6
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Hallo
> Danke für die schnelle Antwort und sorry wenn ich nerven
> sollte, aber ich hätte da noch eine Frage:
>
Ach was.. für Fragen ist dieses Forum ja gerade da! :)
> Wenn ich 3 Geradengleichungen hab, und ich soll den Winkel
> zwischen jeweils 2 berechnen, wie verbinde ich 2 von den
> Geradengleichungen?
> Also wenn ich
>
> [mm]\vec{a} \* \vec{b}[/mm]
>
> nehme, heisst das, dass a von der ersten G.gleichung nehme
> und b von der anderen oder wie?
> Ich hoffe du verstehst meine Frage ^^.
>
Nun, deine Geraden sehen ja folgendermassen aus: g: [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \lambda\vec{b}
[/mm]
[mm] \vec{a} [/mm] ist hier ein Ortsvektor, [mm] \lambda [/mm] ist ein Parameter und [mm] \vec{b} [/mm] ist der Richtungsvektor der Gerade... was du nun berechnen musst, wenn du 2 Geraden hast
g: [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \lambda\vec{b}
[/mm]
h: [mm] \vec{c} [/mm] + [mm] \mu\vec{d}
[/mm]
dann musst du den Winkel zwischen den Richtungsvektoren, also zwischen [mm] \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{d} [/mm] berechnen!
> Grüsse , Chico6
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Mi 26.08.2009 | | Autor: | chico6 |
Weil es so schön ist, eine weitere Frage ^^.
Nunja eine Aussage meines Lehrers zu den Aufgaben verwirrt mich.
Die G.gleichungen sollen den selben! Ortsvektor haben, aber in verschiedene Richtungsvektoren haben. Was für eine Rolle spielt denn nun der Ortsvektor?
Gruß, Chico6
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Hallo
> Weil es so schön ist, eine weitere Frage ^^.
> Nunja eine Aussage meines Lehrers zu den Aufgaben verwirrt
> mich.
> Die G.gleichungen sollen den selben! Ortsvektor haben,
> aber in verschiedene Richtungsvektoren haben. Was für eine
> Rolle spielt denn nun der Ortsvektor?
>
Das ist eine schöne Möglichkeit, parallele Geraden zu vermeiden ^^
Wenn alle Geraden den gleichen Ortsvektor haben, bedeutet dies doch gerade, dass sie sich an diesem einen Punkt schneiden! Also, 3 Geradengleichungen aufstellen mit dem gleichen Ortsvektor und verschiedene Richtungsvektoren.. Achte dabei darauf, dass du nicht für die Richtungsvektoren einfach Vielfache voneinander nimmst, sonst werden die Geraden identisch :)
> Gruß, Chico6
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Mi 26.08.2009 | | Autor: | chico6 |
Aber welche Rolle spielt der Ortsvektor in der Rechnung?
Und meine Gleichungen lauten so (hab jetzt erstmal 2):
g1: [mm] \vec{x}= \vektor{5 \\ 7 \\ -1} [/mm] + [mm] \lambda \* \vektor{2 \\ 9 \\ 3}
[/mm]
g2: [mm] \vec{x}= \vektor{5 \\ 7 \\ -1} [/mm] + [mm] \lambda \* \vektor{-5 \\ 3 \\ 12}
[/mm]
Dabei habe ich mit unserem Beispiel gearbeitet, wobei wir da nur ein Ergebnis hatten und keine Rechnung :s (Also im Unterricht)
Wenn ich jetzt nur die Richtungsvektoren nehme und die zusammenrechne, und dann noch die Länge von denen, dann kommt bei mir irgendwie am Ende maError im TR ^^ klappt irgendwie nicht wie ich es will...
Also könnte ich zur Hilfe evtl. erfahren, wie die Formel lautet, mit meinen Zahlen? Das wäre jedenfalls mehr als nett :)
(Sitze schon über ne Stunde an der Aufgabe :O)
Danke, Gruß , Chico6
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo chico!
Bei der Berechnung der Winkel zwischen einzelnen Geraden spielt der jeweilige Ortsvektor keine Rolle.
Um überhaupt einen Schnittwinkel zweier Geraden berechnen und ermitteln zu können, müssen diese beiden Geraden auch wirklich einen gemeinsamen Schnittpunkt haben.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Mi 26.08.2009 | | Autor: | chico6 |
Gut das schonmal zu wissen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Mi 26.08.2009 | | Autor: | chico6 |
Ich werd wohl morgen nochmal fragen, wie das alles funktioniert... hmm naja egal trotzde vorerst Danke für die Hilfe!!
Gruß , Chico6
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Hallo
> Aber welche Rolle spielt der Ortsvektor in der Rechnung?
> Und meine Gleichungen lauten so (hab jetzt erstmal 2):
>
> g1: [mm]\vec{x}= \vektor{5 \\ 7 \\ -1}[/mm] + [mm]\lambda \* \vektor{2 \\ 9 \\ 3}[/mm]
>
> g2: [mm]\vec{x}= \vektor{5 \\ 7 \\ -1}[/mm] + [mm]\lambda \* \vektor{-5 \\ 3 \\ 12}[/mm]
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> Dabei habe ich mit unserem Beispiel gearbeitet, wobei wir
> da nur ein Ergebnis hatten und keine Rechnung :s (Also im
> Unterricht)
> Wenn ich jetzt nur die Richtungsvektoren nehme und die
> zusammenrechne, und dann noch die Länge von denen, dann
> kommt bei mir irgendwie am Ende maError im TR ^^ klappt
> irgendwie nicht wie ich es will...
> Also könnte ich zur Hilfe evtl. erfahren, wie die Formel
> lautet, mit meinen Zahlen? Das wäre jedenfalls mehr als
> nett :)
Also.. du hast jetzt 2 Richtungsvektoren... der Richtungsvektor von g1: [mm] r_{1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 9 \\ 3} [/mm] und der von g2: [mm] r_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-5 \\ 3 \\ 12}
[/mm]
Also.. die Formel lautet ja:
[mm] cos(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{\vec{r_{1}}*\vec{r_{2}}}{|\vec{r_{1}}|*|\vec{r_{2}}|}
[/mm]
Skalarprodukt [mm] \vec{r_{1}}*\vec{r_{2}} [/mm] = 2*-5 + 9*3 + 3*12 = 53
[mm] |\vec{r_{1}}| [/mm] = [mm] \wurzel{2^{2} + 9^{2} + 3^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{94}
[/mm]
[mm] |\vec{r_{2}}| [/mm] = [mm] \wurzel{-5^{2} + 3^{2} + 12^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{178}
[/mm]
So.. jetzt musst aber du den Winkel berechnen ;) und dann gleich ne dritte Gerade erfinden und selbst die Beträge und so berechnen!
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> (Sitze schon über ne Stunde an der Aufgabe :O)
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> Danke, Gruß , Chico6
Grüsse, Amaro
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