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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 Sa 25.06.2011 | | Autor: | nem86 |
Mittels des skalarproduktes von 2 Vektoren lässt sich doch der Kosinus des Winkels zwischen den Beiden bestimmen:
[mm] cos(\alpha) [/mm] = [mm] \vec{a}*\vec{b} [/mm] / [mm] |\vec{a}|*|\vec{b}|
[/mm]
Gibt es in diesem Sinne auch eine Beziehung für den Sinus des Winkels? (Ich könnte einfach den winkel berechnen und dann den sinus nehmen, aber mal angenommen die Option gibt es nicht :) )
Mir gab jemand die Formel:
[mm] sin(\alpha) [/mm] = (Ax*Bx - Ay*By) / [mm] |\vec{a}|*|\vec{b}|
[/mm]
Wobei Ax, Ay,... die x- und y-Koordinaten der Vektoren sind. Allerdinsg erschliesst sich mir nicht warum das so sein sollte. Kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
die Formel kann meiner Ansicht nach nicht stimmen. Betrachtet man zwei Vektoren [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b}, [/mm] so ergeben die Winkel zwischen [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] sowie zwischen [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] -\overrightarrow{b} [/mm] in der Summe 180°. Damit die von dir angegebene Formel ihre Richtigkeit hätte müssten es 90° sein.
Überlege dir mal ein Problem im [mm] \IR^3, [/mm] wo man dies ausnutzen könnte.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo nochmal,
ich habe das falsch verstanden. Wenn du das so meinst:
[mm]sin(\phi)=\frac{a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}}{|\overrightarrow{a}|*|\overrightarrow{b}|}[/mm]
dann stimmt das natürlich genau aus dem von mir erwähnten Grund: für [mm] \alpha+\beta=90° [/mm] gilt ja [mm] sin(\alpha)=cos(\beta). [/mm] Mache dir das am besten an Hand einer Zeichnung klar.
EDIT:
Meine obigen Überlegungen beruhten auf einem Irrtum und ich halte die angegebene Formel für falsch.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Sa 25.06.2011 | | Autor: | nem86 |
Danke erstmal. Das Problem mit der Zeichnung ist, ich kann mir unter dem Skalarprodukt "optisch" nichts vorstellen. Laut der Begründung [mm] \alpha+\beta=90° [/mm] stimmt diese Formel also, aber warum zwei Winkel?
Mal in Anders-Logisch:
Ergibt sich durch das minus im Zähler der "restliche Winkel" zum eigentlichen Skalarprodukt? und deswegen kann man dann den Sinus nehmen?
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Hallo,
ich habe es oben schon editiert: ich bin da einem gedanklichen Irrtum aufgesessen. Wie Leopold_Gast auch, halte ich die von dir im Themenstart angegebene Formel für falsch.
In welchem Zusammenhang wurde das denn behauptet bzw. aufgestellt?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Sa 25.06.2011 | | Autor: | nem86 |
Also ich brauche den Sinus vom Winkel. (Der Winkel, ist natürlich der zwischen den beiden Vektoren, der kleinere immer)
Die Formel hat mir der Betreuer meiner Studienarbeit gegeben :)
Da ichs aber 1. auch nciht verstehe und 2. ihm manchmal nicht so ganz traue, dachte ich, frage ich mal hier nach.
Es gitb wohl auch eine Sinusbeziehung mit dme Kreuzprodukt, aber ich habe nur einen zweidimensionalen Vektorraum.
Edit:
mir fällt grad auf:
stimmt denn die aussage sin(a)=sin(b) wenn a+b=90° sind?
Denn ich hab im Ganzen ein rechtwinkliges Dreieck, und schon macht das ganze ja dann sinn. wenn man die Vektoren der gegenüberliegenden Dreiecksseite und der Hypotenuse nimmt. Dann wäre aber die Berechnungsformel prinzipiell diesselbe wie beim cosinus oben.
Kann mir noch wer folgen? :D
(Ist schwer zu erklären ohne Skizze)
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Wenn man den Cosinus eines Winkels hat, hat man doch automatisch den Sinus:
trigonometrischer Pythagoras
[mm]\sin \varphi = \sqrt{1 - \cos^2 \varphi} \, , \ \ 0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Sa 25.06.2011 | | Autor: | nem86 |
So nun hab eich mal skizziert was ich meine. Wenn ich euch richtig verstanden habe,dann hat ich ne Erleuchtung und das müsste so passen:
CAx, CAy, ... sind dabei natürlich wie bereits oben die x und y Koordinaten, für die Skalarproduktberechnung
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo nem86,
> So nun hab eich mal skizziert was ich meine. Wenn ich euch
> richtig verstanden habe,dann hat ich ne Erleuchtung und das
> müsste so passen:
Das passt auch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> CAx, CAy, ... sind dabei natürlich wie bereits oben die x
> und y Koordinaten, für die Skalarproduktberechnung
Gruss
MathePower
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Diese Formel kann nicht stimmen. Und was soll überhaupt [mm]\varphi[/mm] für ein Winkel sein?
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Offenbar hat der Urheber der Formel das Kreuzprodukt gemeint, in dem der Sinus vorkommt.
Definition:
[mm] \vektor{a \\ b \\ c} \times \vektor{d \\ e \\ f} [/mm] = [mm] \vektor{bf - ce \\ cd - af \\ ae - bd}
[/mm]
Nennen wir den ersten Vektor [mm] \overrightarrow{A}, [/mm] den zweiten [mm] \overrightarrow{B} [/mm] und das Ergebnis [mm] \overrightarrow{C}, [/mm] so gilt:
Das Kreuzprodukt (nicht: Skalarprodukt) [mm] \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} [/mm] Gibt einen Vektor [mm] \overrightarrow{C}, [/mm] dessen Länge das Produkt der Längen der Ausgangsvektoren mal Sin des Winkels zwischen ihnen ist.
Mit anderen Worten: [mm] |\overrightarrow{C}| [/mm] = [mm] |\overrightarrow{A}|*|\overrightarrow{B}|*sin(Winkel(\overrightarrow{A},\overrightarrow{C}))
[/mm]
Dividierst du also [mm] |\overrightarrow{C}| [/mm] durch [mm] |\overrightarrow{A}|*|\overrightarrow{B}|, [/mm] so erhältst du wie gewünscht [mm] sin(Winkel(\overrightarrow{A},\overrightarrow{C})).
[/mm]
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