Winkel zwischen den Raumdiagonalen eines Quaders < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Fr 20.08.2004 | | Autor: | spir |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo!
Ich bin in der 11. Klasse am Gymnasium und wir schreiben nächste Woche einen Test über jegliches, was wir in Mathe bis jetzt hatten (sprich Termumformungen, Gleichungen, Funktionen, Geometrie,...).
Dazu haben wir Übungsblätter und Lösungsblätter erhalten, auf denen jedoch nur die Lösung- und nicht der Lösungsweg vermerkt ist.
Zuerst die Frage:
"Gegeben ist ein Quader mit den Seitenlängen von a=10cm, b=8cm und c=6cm. Berechne die Winkel zwischen den Raumdiagonalen!".
Ich habe die Raumdiagonalen mit e und f bezeichnet und mithilfe des Tafelswerkes die Formel
e=[mm]\wurzel{a²+b²+c²}[/mm] gefunden
e wäre bei mir somit rund 14,14213562 cm lang.
Ich habe vorausgesetzt, dass sich e und f halbieren und [mm] \bruch{e}{2} [/mm] bzw. [mm] \bruch{f}{2} [/mm] somit rund 7,071067812cm lang ist.
Nun hab ich versucht, mit Hilfe von Winkelbeziehungen, dem Cosinussatz, etc. die Winkel zu berechnen, aber es kommt immer was falsches raus und leider finde ich meinen Denkfehler nicht.
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand zumindest einen Ansatz geben könnte und mich weiterbringen würde!
DANKE!!!!!!!!!!!!!!!
p.s.:Die Lösungen sind laut Lösungsblatt: 68,9°, 68,9°, 89,08° und 50,22°
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Statt mit dem Taschenrechner zu rechnen, ist hier symbolisches Rechnen angesagt. Man sieht dann mehr:
[mm]e=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{200}=\sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{2}=10\sqrt{2}[/mm]
Nennen wir den Quader ABCDEFGH mit dem Rechteck ABCD als Bodenfläche und EFGH als Deckenfläche, wobei E über A liegen soll. Es seien M die Mitte des Quaders und [mm]a=\overline{AB}, \ b=\overline{BC}, \ c=\overline{CG}[/mm]. Im Dreieck ABM sei [mm]\varphi[/mm] der Winkel bei M, also einer der Winkel zwischen den Raumdiagonalen. ABM ist gleichschenklig, wird also durch die Symmetrieachse in rechtwinklige Dreiecke zerlegt. Du kannst dann [mm]\varphi[/mm] ganz einfach über den Sinus im rechtwinkligen Dreieck berechnen, indem du den Term für [mm]\sin{\left(\bruch{1}{2}\varphi\right)}[/mm] aufstellst. Du erhältst [mm]\bruch{1}{2}\varphi=45°[/mm], also [mm]\varphi=90°[/mm].
Dieses zunächst erstaunliche Ergebnis ist dann doch nicht weiter verwunderlich, wenn du die Länge [mm]d=\overline{BG}[/mm] berechnest (Pythagoras). Du wirst feststellen, daß d=a=10 (cm) ist. Daher ist das Dreieck ABG gleichschenklig, die Raumdiagonale BH also Symmetrieachse von ABG und damit senkrecht zu AG. (Das wäre hier übrigens eine Möglichkeit, ganz ohne Trigonometrie den Winkel zwischen den Raumdiagonalen zu erhalten. Dies funktioniert natürlich nur in diesem speziellen Fall.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:57 Sa 21.08.2004 | | Autor: | spir |
Guten Morgen!
Erstmal danke für die Antwort, ich hatte mit Hilfe von Sinus auch schon [mm]\varphi [/mm] = 90° ermittelt (an den guten alten Pythagoras hab ich gar nicht gedacht), jedoch ist auf meinem Lösungsblatt keiner der Winkel genau 90° groß (am ehesten dran ist 89,08°).
1° darf man ja sowieso danebenliegen, mich hat nur gewundert, dass bei mir immer exakt 90° für [mm]\varphi [/mm] rausgekommen sind!
Liebe Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Sa 21.08.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Spir
ich denke, die Aufgabe sollte etwa so angegangen werden:
Man überlegt sich, dass je zwei Raumdiagonalen auf einer Ebene liegen. Diese Ebenen ergeben als Schnittfläche mit dem Quader je ein Rechteck.
Nehmen wir mal ein Beispiel heraus: die Raumdiagonalen [mm] $\overline{AG}$ [/mm] und [mm] $\overline{BH}$ [/mm] schneiden das Rechteck $ABGH$ heraus.
Die Seitenlängen dieses Rechteckse lassen sich einfach berechnen: Mit den Quaderkantenlängen $a$, $b$ und $c$ ergibt sich für die eine Rechteckseite $a$, und für die andere Rechteckseite [mm] $\wurzel{b^{2}+c^{2}}$.
[/mm]
Für den Winkel der Diagonalen gilt dann (bitte Zeichnung machen)
[mm] $\tan{\bruch{\alpha}{2}}=\bruch{\wurzel{b^{2}+c^{2}}}{a}$
[/mm]
oder:
[mm] $\alpha=2\arctan{\bruch{\wurzel{b^{2}+c^{2}}}{a}}$
[/mm]
Der andere Winkel in diesem Rechteck ist dann einfach die Ergänzung auf 180 Grad.
Diese Ueberlegung kannst du jetzt einfach für die anderen Raumdiagonalen machen, also:
[mm] $\tan{\bruch{\beta}{2}}=\bruch{\wurzel{a^{2}+c^{2}}}{b}$
[/mm]
und
[mm] $\tan{\bruch{\gamma}{2}}=\bruch{\wurzel{a^{2}+b^{2}}}{c}$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
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