Winkel zwischen zwei Geraden < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Durch einen Berg führt die geradlinige Tunnelstrecke [mm] P_{1}P_{2} [/mm] mit [mm] P_{1}(100;20;100) [/mm] und [mm] P_{2}(400;200;90) [/mm] (siehe Skizze). Koordinateneinheit: 1m.
a) Berechnen Sie die Länge der Tunnelstrecke [mm] P_{1}P_{2}! [/mm] Stellen Sie eine Gleichung für die Gerade g auf, die durch die Punkte [mm] P_{1} [/mm] und [mm] P_{2} [/mm] geht!
b) Von einem Punkt [mm] Q(210;122;z_{Q}) [/mm] eines vertikal verlaufenden Schachtes aus soll in Richtung des Vektors [mm] \vec{a}=(2;-6;-3) [/mm] ein geradlinig verlaufender Entlüftungsstollen gebaut werden, der den Tunnel im Punkt S trifft. Berechnen Sie die Koordinaten von S!
c) Berechnen Sie die Höhe von [mm] z_{Q}, [/mm] von der aus der Bau des Entlüftungsstollens begonnen werden muss!
d) Berechnen Sie den Winkel zwischen dem vertikal verlaufenden Schacht und dem Entlüftungsstollens! |
Hallo,
Eigentlich dreht sich meine Frage um Teilaufgabe d), ich komme einfach nicht auf den richtigen Winkel!
a) [mm] \overrightarrow{P_{1}P_{2}}=(300;180;-10)
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|=350m
[/mm]
g: [mm] \vec{x}= \vektor{100 \\ 20 \\ 100}+s* \vektor{300 \\ 180 \\ -10}
[/mm]
b)
Schnittpunkt durch das GLS: g=h
h: [mm] \vec{x}= \vektor{210 \\ 122 \\ 111}+t* \vektor{2 \\ -6 \\ -3}
[/mm]
S(220;92;96)
c) [mm] z_{Q}=111 [/mm] (ergibt sich eigentlich schon in Teilaufgabe b)
d) Schnittwinkel zweier Vektoren! Der Richtungsvektor [mm] \vec{a} [/mm] und ? Ich weiß nicht welchen anderen Vektor ich heranziehen soll! In der Musterlösung steht ein Winkel von ca. 86°. Auf den komme ich nicht!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Andi,
also wenn ich das richtig sehe, dann ist doch hier nach dem Schnittwinkel derjenigen Geraden gesucht, die bei dir g und h heißen.
Wäre dir damit schon weitergeholfen? 
Gruß, Diophant
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Hallo,
erstmal danke für Deine Antwort und sorry für den Scan. Ist es ok, wenn ich die Zeichnung selbst (ab-)zeichne? (siehe unten).
Nein, denn das wäre ja nicht der gesuchte Schnittpunkt. Gerade g ist der Tunnel zwischen den Punkten [mm] P_{1} [/mm] und [mm] P_{2}, [/mm] Gerade h ist der Entlüftungsstollen durch die Punkte S, Q und mit dem Richtungsvektor [mm] \vec{a}. [/mm] Der vertikale Schacht ist eigentlich nur durch den Punkt Q beschrieben. Ich bin beim ersten Lesen davon ausgegangen, dass der vertikale Schacht ein senkrechter Schacht zum Entlüftungsstollen ist. Aber warum sollte man den Winkel dann berechnen. Ich brauche eine Gerade, auf der der Punkt Q liegt, damit ich einen "vertikalen" Richtungsvektor habe.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
> Hallo,
>
> erstmal danke für Deine Antwort und sorry für den Scan.
> Ist es ok, wenn ich die Zeichnung selbst (ab-)zeichne?
> (siehe unten).
ja: ratsam, und vollkommen in Ordnung.
> Nein, denn das wäre ja nicht der gesuchte Schnittpunkt.
> Gerade g ist der Tunnel zwischen den Punkten [mm]P_{1}[/mm] und
> [mm]P_{2},[/mm] Gerade h ist der Entlüftungsstollen durch die
> Punkte S, Q und mit dem Richtungsvektor [mm]\vec{a}.[/mm]
Aber der Winkel zwischen Entlüftungsstollen und Tunnel ist doch gesucht???
Sorry: wer lesen kann, ist klar im Vorteil^^.
Also, für den vertikalen Stollen nimm einfach den Einhgeitsvektor der [mm] x_3- [/mm] bzw. z-Achse
[mm] \vec{e}_3=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Gruß, Diophant
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Also, wenn ich den Schnittwinkel zwischen den Vektoren [mm] \vec{a} \vektor{2 \\ -6 \\ -3} [/mm] und [mm] \vec{e} \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] berechne, dann bekomme ich für den Schnittwinkel ca. 115,38° heraus.
Das stimmt irgendwie nicht mit meiner Musterlösung überein (ca. 86°). Ich hab da keinen Rat mehr! Habe alles durchprobiert.
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Hallo,
Dein Winkel stimmt.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:49 Sa 28.07.2012 | | Autor: | Mathe-Andi |
Ok, dann nehme ich es so hin
Auf jeden Fall wird bei dieser Aufgabe, die Definition und Verwendung von Einheitsvektoren deutlich: Um Vektoren durch ihre rechtwinkligen Komponenten zu beschreiben, insbesondere die Richtungen der Koordinatenachsen anzuzeigen.
Ich danke vielmals!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Fr 27.07.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Mathe-Andi,
du hast zu dem oben hochgeladenen Dateianhang angegeben, dass du der Urheber seist. Das ist jedoch ganz offensichtlich nicht der Fall. Ich musste deine Grafik daher sperren.
Bitte mache in Zukunft ausschließlich wahrheitsgemäße Angaben. Ein Bild, dass man eingescannt hat ist kein eigenes Werk und somit bist du hier nicht der Urheber.
Bitte habe Verständnis dafür, dass wir in diesen Fragen im Interesse und zum Schutz des Vereins vorhilfe.de, der dieses Forum betreibt, so rigoros sein müssen.
Gruß, Diophant
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