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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Fr 17.06.2005 | | Autor: | elachen |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Komme mit den folgenden Aufgaben nicht klar.
(a=alpha b= beta)
A) Entwickeln Sie eine Formel für sin 3a, in der nur sin a und cos a vorkommen.
B) Leiten Sie folgende Formel aus den Additionstheoremen des Sinus und Cosinus her.
tan (a+b)= tan a + tan b / 1- tan a tan b
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Fr 17.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Elachen,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Eine kurze, nette Begrüßung und auch eigene Lösungsansätze wären aber sehr schön gewesen (siehe auch in unseren Forenregeln).
Ansatz:
[mm] $\sin(3\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \sin(\alpha+2\alpha)$ [/mm] sowie [mm] $\sin(2\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \sin(\alpha+\alpha)$ [/mm] bzw. [mm] $\cos(2\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \cos(\alpha+\alpha)$
[/mm]
Für Deine Aufgabe A.) benötigst Du folgende "Formeln":
[mm] $\sin(\alpha+\beta) [/mm] \ = \ [mm] \sin(\alpha)*\cos(\beta) [/mm] + [mm] \cos(\alpha)*\sin(\alpha)$
[/mm]
[mm] $\cos(\alpha+\beta) [/mm] \ = \ [mm] \cos(\alpha)*\cos(\beta) [/mm] - [mm] \sin(\alpha)*\sin(\alpha)$
[/mm]
[mm] $\sin^2(\alpha) [/mm] + [mm] \cos^2(\alpha) [/mm] \ = \ 1$ [mm] $\gdw$ $\cos^2(\alpha) [/mm] \ = \ 1 - [mm] \sin^2(\alpha)$
[/mm]
Schaffst Du das nun alleine weiter? Was erhältst Du?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Sa 18.06.2005 | | Autor: | elachen |
Hallo Loddar,
Vielen Dank für deine Antwort.
Leider habe ich immer noch einige Problme. Ich setze die ganze Zeit relativ ziellos etwas ein und weiß eigentlich gar nicht was ich erreichen will. Soll in der Ergebnisformel wirklich nur einmal sin a und einmal cos a vorkommen? Also zum Beispiel sin a * cos a oder sina + cos a. Schaff es nicht auf so ein Ergebnis zu kommen.
Wär echt lieb wenn du mir nochmal helfen könntest.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Sa 18.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Elachen!
> Soll in der Ergebnisformel wirklich nur einmal sin a und
> einmal cos a vorkommen?
> Also zum Beispiel sin a * cos a oder sina + cos a.
Es soll ein Ausdruck entstehen, bei dem das Argument jeweils nur [mm] $\red{1}*\alpha [/mm] \ = \ [mm] \alpha$ [/mm] beträgt.
In unserem Fall ergibt sich ein Ausdruck, der auch nur noch die Sinusfunktion (allerdings in höherer Potenz) enthält.
Ich werde Dir mal die Lösung (als Kontrolle) vorgeben, damit Du auch weißt, wo Du letztendlich landen sollst:
[mm] [center]$\sin(3\alpha) [/mm] \ = \ [mm] 3\sin(\alpha) [/mm] - [mm] 4\sin^3(\alpha)$[/center]
[/mm]
Beginnen wir mal mit den ersten beiden Schritten:
[mm] $\sin(3\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \sin(\red{\alpha}+\blue{2\alpha}) [/mm] \ = \ [mm] \sin(\red{\alpha})*\cos(\blue{2\alpha}) [/mm] + [mm] \cos(\red{\alpha}) [/mm] * [mm] \sin(\blue{2\alpha})$
[/mm]
Nun nochmals diese Additionstheoreme anwenden für [mm] $\sin(2\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \sin(\alpha+\alpha) [/mm] \ = \ ...$ bzw. [mm] $\cos(2\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \cos(\alpha+\alpha) [/mm] \ = \ ...$
Die entsprechenden Formeln habe ich Dir oben angegeben.
Um zu guter letzt auch noch den cos aus der Formel zu werfen, wendest Du diese Formel an: [mm] $\cos^2(\alpha) [/mm] \ = \ 1 - [mm] \sin^2(\alpha)$
[/mm]
Nun solltest Du aber etwas weiter kommen, oder?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Mo 20.06.2005 | | Autor: | elachen |
Hey Loddar,
habe die Aufgaben nun endlich hinbekommen.
Vielen Dank nochmal...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Fr 17.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Für die zweite Aufgabe habe ich Dir die benötigten Formel oben bereits genannt. Dann wenden wir die Definition des tan an: [mm] $\tan(x) [/mm] \ := \ [mm] \bruch{\sin(x)}{\cos(x)}$
[/mm]
Damit wird: [mm] $\tan(\alpha+\beta) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} [/mm] \ = \ ...$
Nun die o.g Additionstheoreme anwenden und im Zähler entsprechend erweitern, um die tan-Definition wieder rückwärts anwenden zu können.
Auf jeden Fall ist es hier hilfreich, das gewünschte Ergebnis immer im Auge zu behalten!
Wenn Du noch Fragen/Probleme hast, poste doch bitte Deine (Zwischen-)Ergebnisse ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Sa 18.06.2005 | | Autor: | elachen |
Hi
Leider bin ich auch hier nicht viel weiter gekommen. Das einzige was ich hab ist:
[mm] tan(\alpha+\beta)=\bruch{sin(\alpha+\beta)}{cos(\alpha+\beta)}=\bruch{sin\alpha*cos\beta+cos\alpha*sin\beta}{cos\alpha-sin\alpha*sin\beta}=\bruch{sin\alpha+cos \alpha}{cos\alpha-sin\alpha}
[/mm]
Wie kann man denn da weiter machen?
(Sorry wenn ich mich so blöd anstelle, aber weiß das wirklich nicht)
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Gern geschehen ...
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