Winkelhalbierende < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Mi 14.10.2009 | | Autor: | Dinker |
Bestimmen Sie je eine Koordinatengleichung der beiden wilkelhalbierenden W1 und W2 für die (sich schneidenden) Ebenen E: x -2y + 2z = 9
F: x + 4y -8z = 9
Hab mal den Winkel der normalen bestimmt.
[mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 2 } [/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 4 \\ -8 } [/mm]
[mm] \bruch{1-8-16}{3+9} [/mm] = cos [mm] \alpha
[/mm]
Das geht gar nicht!!!
Was mache ich falsch?
Wie würde ich weiter rechnen?
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Hallo Dinker,
> Bestimmen Sie je eine Koordinatengleichung der beiden
> wilkelhalbierenden W1 und W2 für die (sich schneidenden)
> Ebenen E: x -2y + 2z = 9
>
> F: x + 4y -8z = 9
>
> Hab mal den Winkel der normalen bestimmt.
>
> [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 2 }[/mm]
>
> [mm]\vektor{1 \\ 4 \\ -8 }[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{1-8-16}{3+9}[/mm] = cos [mm]\alpha[/mm]
Hier muß ein "*" im Nenner stehen:
[mm]\bruch{1-8-16}{3 \red{\*}9} = \cos\left(\alpha\right)[/mm]
>
> Das geht gar nicht!!!
>
> Was mache ich falsch?
>
> Wie würde ich weiter rechnen?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Mi 14.10.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Das gibt etwa 31.586°, dann die WInkelhalbierende 15.79° Doch wie kann ich nun die Koordinatengleichung bestimmen?
Mal nun den Schnittpunkt
und dann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Mi 14.10.2009 | | Autor: | weduwe |
üblicherweise bestimmt man einen normalenvektor der winkelhalbierenden mit hilfe der normierten normalenvektoren der beiden ebenen:
[mm] \vec{w}_{1,2}=\vec{n}_{10}\pm\vec{n}_{20}
[/mm]
jetzt benötigst du noch einen gemeinsamen punkt der beiden ebenen
(z.b. schnittgerade suchen)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 So 18.10.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Kannst du es mr vorrechnen? Ich habe überhaupt nicht den Durchblick, was zu machen ist.
Ich weiss es ist hier nicht gern gesehen, aber es hilft mir am besten weiter, wenn ich mal weiss wie man das macht, damit ich dann auch kompliziertere Dinge rechnen kann
Danke
Gruss Dinker
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Hallo Dinker,
Die Idee ist diese:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die dicken Linien sind die beiden Ebenen, von der Seite betrachtet. Wenn man ihre beiden Normalenvektoren auf dieselbe Länge bringt (im Normalfall 1), kann man die addieren, und erhält somit einen Richtungsvektor (hier mit i bezeichnet), der genau in die Richtung der Winkelhalbierenden zeigt (Auf dem Bild die dünne Gerade, ist etwas ungenau  .
Du musst also zunächst diesen Richtungsvektor der Winkelhalbierenden berechnen mit:
[mm] $\vec{w} [/mm] = [mm] \frac{1}{|\vec{n_{1}}|}*\vec{n_{1}} [/mm] + [mm] \frac{1}{|\vec{n_{2}}|}*\vec{n_{2}}$
[/mm]
[mm] (n_{1} [/mm] und [mm] n_{2} [/mm] sind die beiden Normalenvektoren der Ebenen).
Nun brauchst du aber noch den Punkt I in der Zeichnung, also einen Punkt, der auf der Schnittgeraden der Ebenen liegt. Die bekommst du zum Beispiel damit heraus, indem du das Gleichungssystem löst, dass durch die beiden Koordinatengleichungen der Ebene beschrieben wird, oder indem du eine Ebene in Parameterform umwandelst und dann in die andere Ebene in Koordinateneinsetzt.
Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:19 Mo 19.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich brauchst du die Schnittgerade,bzw deren Richtungsvektor als zweiten Vektor der Ebene und nen Punkt, nicht nur nen Punkt.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
> eigentlich brauchst du die Schnittgerade,bzw deren
> Richtungsvektor als zweiten Vektor der Ebene und nen Punkt,
> nicht nur nen Punkt.
Ich ging davon aus, dass hier Winkelhalbierende in Form von Geraden gesucht sind (weiß auch nicht warum, aber es steht eben nicht explizit in der Aufgabenstellung, dass dies nicht der Fall ist).
Falls eine winkelhalbierende Ebene gesucht ist, hast du natürlich recht.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo Ich glaube es ist eine Gerade die Meinung.
w = [mm] \bruch{1}{9} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 4 \\ -8} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 2}
[/mm]
Nun suche ich einen Punkt
2y - 2z + 9 + 4y -8z = 9
y = 5/3 z
z = 0
P(9;0;0)
Also ich multipilziere den Vektor w mit 9, damit ich Gerades Zeugs erhalte
Gerade: [mm] \vektor{9 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] s*\vektor{4 \\ -2 \\ -2}
[/mm]
Kann das etwa hinkommen?
Danke
Gruss Dinker
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Hallo Dinker,
> Hallo Ich glaube es ist eine Gerade die Meinung.
>
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> w = [mm]\bruch{1}{9}[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 4 \\ -8}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}[/mm] *
> [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 2}[/mm]
>
>
> Nun suche ich einen Punkt
>
>
>
> 2y - 2z + 9 + 4y -8z = 9
>
> y = 5/3 z
>
> z = 0
>
> P(9;0;0)
>
> Also ich multipilziere den Vektor w mit 9, damit ich
> Gerades Zeugs erhalte
>
> Gerade: [mm]\vektor{9 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]s*\vektor{4 \\ -2 \\ -2}[/mm]
>
> Kann das etwa hinkommen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du hast nun eine Gerade berechnet, die die beiden Ebenen "winkelhalbiert" 
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Kann mir noch jemand schnell sagen, was ich machen muss, wenn ich eine Ebene berechnen will, die die beiden Ebenen halbiert?
Danke
Gruss DInker
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Hallo Dinker,
> Kann mir noch jemand schnell sagen, was ich machen muss,
> wenn ich eine Ebene berechnen will, die die beiden Ebenen
> halbiert?
Was meinst du mit "Halbieren"? Eine winkelhalbierende Ebene?
Dann brauchst du noch den Richtungsvektor der Schnittgeraden der beiden gegebenen Ebenen, den du zum Beispiel durch Berechnung eines zweiten Punktes erhältst, der auf der Schnittgeraden liegt.
Der Richtungsvektor der Winkelhalbierenden, die du im vorherigen Post berechnet hast, und der Richtungsvektor der Schnittgeraden der beiden Ebenen bilden dann die Spannvektoren der neuen winkelhalbierenden Ebene.
Grüße,
Stefan
PS.: In der Aufgabe ist ja von zwei verschiedenen Winkelhalbierenden W1 und W2 die Rede. Wie du dir sicher anschaulich vorstellen kannst (oder mit Hilfe meiner Skizze in einem Post weiter oben), kannst du die Ebenen einmal bei ihrem Schnittwinkel < 90° halbieren und einmal bei dem Schnittwinkel > 90°. Den entsprechenden anderen Richtungsvektor der Winkelhalbierenden erhältst du, indem du einen der beiden Normalenvektoren umdrehst, also mal (-1) rechnest und dann nochmal dieselben Operationen ausführst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 Mo 19.10.2009 | | Autor: | weduwe |
wegen [mm] \vec{w}_{1,2}=\vec{n}_ {10}\pm\vec{n}_{20} [/mm] genügt doch nur 1 punkt (der schnittgeraden).
z.b sieht man sofort den punkt P(9/0/0)
was mit [mm] \vec{w}_1=\vektor{-2\\1\\1} [/mm] eine der beiden winkelhalbierenden ebenen ergibt:
[mm] (\vec{x}-\vektor{9\\0\\0})\cdot\vektor{-2\\1\\1}=0
[/mm]
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